Berechnen von Summen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Sa 17.11.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechnen Sie
a) den Grenzwert der Folge (falls existent):
[mm] \summe_{i=0}^{n} (\bruch{4}{5})^{i}
[/mm]
b) den Grenzwert der Folge (falls existent):
[mm] \bruch{3^{n+1} + 4^{n+1}}{3^n +4^n} [/mm] |
Moin,
zu a)
habe ich die Lösung vorliegen., verstehe aber nicht die Formel, die dort angewandt wird:
[mm] \summe_{i=0}^{n} (\bruch{4}{5})^{i} [/mm] = [mm] \bruch{1 - (\bruch{4}{5})^{n+1}}{1 - \bruch{4}{5}}
[/mm]
gibt es da irgendeinen zusammenhang mit [mm] s_{n} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] * [mm] \bruch{q^n -1}{q - 1} [/mm] ?
zu b)
... [mm] \bruch{3^{n+1} + 4^{n+1}}{3^n +4^n} [/mm]
habe ich keine idee. gut, ich könnte
den zähler in 3* [mm] 3^n [/mm] + [mm] 4*4^n [/mm] zerlegen. aber wozu?
kann weder kürzen noch ausklammern?
wie geht das?
danke für eure hilfe!!
gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Wolfgang,
Aufgabe a) gilt doch nach dieser Formel:
[mm] \sum_{k=0}^n a_0 \quad q^k [/mm] = [mm] a_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}, [/mm] wobei [mm] a_0 [/mm] = 1 und [mm] q=\frac{4}{5}.
[/mm]
(vgl. ![[]](/images/popup.gif) wiki)
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:12 Sa 17.11.2007 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
habe ich das richtig verstanden... Man multipliziert die Summe mit [mm] q^k [/mm] und kann dann die genannte Formel anwenden?
danke & gruss
wolfgang
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> Berechnen Sie
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> a) den Grenzwert der Folge (falls existent):
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> [mm]\summe_{i=0}^{n} (\bruch{4}{5})^{i}[/mm]
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> b) den Grenzwert der Folge (falls existent):
>
> [mm]\bruch{3^{n+1} + 4^{n+1}}{3^n +4^n}[/mm]
> Moin,
>
> zu a)
>
> habe ich die Lösung vorliegen., verstehe aber nicht die
> Formel, die dort angewandt wird:
>
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} (\bruch{4}{5})^{i}[/mm] = [mm]\bruch{1 - (\bruch{4}{5})^{n+1}}{1 - \bruch{4}{5}}[/mm]
>
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> gibt es da irgendeinen zusammenhang mit [mm]s_{n}[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] *
> [mm]\bruch{q^n -1}{q - 1}[/mm] ?
Hallo,
ja, das hat Dir ja Riley schon gesagt:
Es ist eine endliche geometrische Reihe.
Dein [mm] a_0 [/mm] ist 1 und Dein q (das, was potenziert wird) ist [mm] q=\bruch{4}{5}, [/mm] und das brauchst Du nun nur in "Rileys" Formel einzusetzen.
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> zu b)
>
> ... [mm]\bruch{3^{n+1} + 4^{n+1}}{3^n +4^n}[/mm]
>
> habe ich keine idee. gut, ich könnte
>
> den zähler in 3* [mm]3^n[/mm] + [mm]4*4^n[/mm] zerlegen. aber wozu?
Naja, immerhin beseitigt das Zweifel daran, daß das Ding konvergiert:
[mm] =\bruch{3* (3^n+ 4^n)}{3^n +4^n} \le\bruch{3^{n+1} + 4^{n+1}}{3^n +4^n}=\bruch{3* 3^n+ 4*4^n}{3^n +4^n}\le \bruch{4* (3^n+ 4^n)}{3^n +4^n}=4
[/mm]
Aber um den Grenzwert zu ermitteln, tue dies:
[mm] \bruch{3^{n+1} + 4^{n+1}}{3^n +4^n}=\bruch{3^{n+1}}{3^n +4^n} [/mm] + [mm] \bruch{4^{n+1}}{3^n +4^n},
[/mm]
und nun wende auf die beiden Terme jeweils den einschlägigen "Trick" mit dem Dividieren in Zähler und Nenner an.
Gruß v. Angela
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> kann weder kürzen noch ausklammern?
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> wie geht das?
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> danke für eure hilfe!!
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> gruß
> wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Sa 17.11.2007 | | Autor: | hase-hh |
Gut,
zu b) habe ich jetzt als Lösung berechnet:
[mm] \bruch{3^{n+1}+4^{n+1}}{3^n+4^n} [/mm] =
1. ausdruck zerlegen in zwei brüche
= [mm] \bruch{3^{n+1}}{3^n+4^n} [/mm] + [mm] \bruch{4^{n+1}}{3^n+4^n} [/mm]
2. teilen 1. bruch durch [mm] 3^n; [/mm] 2. bruch durch [mm] 4^n
[/mm]
= [mm] \bruch{3^n*3}{3^n*(1 +\bruch{4^n}{3^n})} [/mm] + [mm] \bruch{4^n*4}{4^n*(\bruch{3^n}{4^n}+1)} [/mm]
= [mm] \bruch{3}{1 +(\bruch{4}{3})^n} [/mm] + [mm] \bruch{4}{(\bruch{3}{4})^n+1} [/mm]
3. für n -> [mm] \infty [/mm]
geht der erste bruch gegen 0 (nenner wächst über alle grenzen)
geht der zweite bruch gegen 4 (der summand im nenner [mm] (\bruch{3}{4})^n [/mm] geht gegen 0, so dass nur noch [mm] \bruch{4}{1} [/mm] übrig bleibt)
also ist der grenzwert =4 !
stimmt das?
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> also ist der grenzwert =4 !
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> stimmt das?
Ich hab's jedenfalls genauso gemacht wie Du und Dein Ergebnis bekommen.
Ich denke, wir können davon ausgehen, daß es stimmt.
Gruß v. Angela
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