www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesBerechnung Basis von Span 1/2
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Berechnung Basis von Span 1/2
Berechnung Basis von Span 1/2 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Berechnung Basis von Span 1/2: Die Berechnung einer Basis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Di 22.02.2011
Autor: Semimathematiker

Aufgabe
Es seien

[mm] v_{1} [/mm] = (-2, -1, -2, [mm] -1)^T [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] = (-1, -1, -1, [mm] -1)^T [/mm] , [mm] v_{3}= [/mm] (-2, -4, -3, [mm] -6)^T [/mm] , [mm] v_{4} [/mm] = (1, 2, 2, [mm] 4)^T [/mm]

Vektoren des [mm] \IR^4 [/mm] . Berechne eine Basis von span [mm] (v_{1}, v_{2}) \cap [/mm] span [mm] (v_{1}, v_{2}) [/mm] .

Hallo zusammen,
als erstes habe ich eine Verständnisfrage. Wenn ich die beiden Spänne habe und daraus eine Schnittmenge bilde dann ist diese meiner Meinung nach lehr, also
span [mm] (v_{1}, v_{2}) \cap [/mm] span [mm] (v_{1}, v_{2}) [/mm]  = {0}

da die beiden linear unabhängig sind (was im weiteren ja auch wieder gut ist, da sie sonst keine Basis bilden könnten.
Also wie ist das denn nun zu verstehen??

Wenn ich dann weiterrechne und das ignoriere, nehme ich meine Spänne in eine Matrix [mm] A\in [/mm] M(4x4,K) und wende den Gaußalgorhythmus an bis ich die Matrix A durch elementare Zeilenumformungen in A^~ umgewandelt habe. Im (fast einzelnen sieht das dann so aus:

[mm] \pmat{ -2 & -1 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -3 & 2 \\ -1 & -1 & -6 & 4 } [/mm]   (im Weiteren nur die Transformationen (von links) dokumentiert. <-> bedeutet Zeilenwechsel, Zeilen in römischen Ziffern angegeben, die erste Ziffer gibt die veränderte Zeile an.)

A [mm] (\to [/mm] IV -1/2 I) [mm] (\to [/mm] II - 1/2 I)(III - I) (IV <-> III)(III - II)(IV - 1/3 III)

= A^~  = [mm] \pmat{ -2 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & - \bruch{1}{2} & 2 & \bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{3} } [/mm]

Diese transformierte Matrix gibt mir nun die Basis an mit ihren Basisvektoren:

[mm] v_{1} [/mm] = (-2, 0, 0, [mm] 0)^T [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] = (-1, [mm] -\bruch{1}{2}, [/mm] 0, [mm] 0)^T [/mm] , [mm] v_{3}= [/mm] (-2, -2, -3, [mm] 0)^T [/mm] , [mm] v_{4} [/mm] = (1, [mm] \bruch{3}{2}, [/mm] 2, [mm] \bruch{1}{3})^T [/mm] (Alle mit "Schlange" drüber)

Stimmt das soweit?
Wenn nicht und wir nehmen an, dass der Span nich wie in der Aufgabenstellung beschrieben ist, sondern einfach nur aus den oben angegebenen Vektoren besteht, dann ist das schon die Basis, oder?

Grüße
Semi

        
Bezug
Berechnung Basis von Span 1/2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Di 22.02.2011
Autor: kamaleonti

Moin,
> Es seien
>  
> [mm]v_{1}[/mm] = (-2, -1, -2, [mm]-1)^T[/mm] , [mm]v_{2}[/mm] = (-1, -1, -1, [mm]-1)^T[/mm] ,
> [mm]v_{3}=[/mm] (-2, -4, -3, [mm]-6)^T[/mm] , [mm]v_{4}[/mm] = (1, 2, 2, [mm]4)^T[/mm]
>  
> Vektoren des [mm]\IR^4[/mm] . Berechne eine Basis von span [mm](v_{1}, v_{2}) \cap[/mm]
> span [mm](v_{1}, v_{2})[/mm] .
>  Hallo zusammen,
> als erstes habe ich eine Verständnisfrage. Wenn ich die
> beiden Spänne habe und daraus eine Schnittmenge bilde dann
> ist diese meiner Meinung nach lehr, also
> span [mm](v_{1}, v_{2}) \cap[/mm] span [mm]\red{(v_{1}, v_{2})}[/mm]  = {0}

Kann es sein, dass du die Schnittmenge von [mm] span(v_1,v_2) [/mm] und [mm] span(v_3, v_4) [/mm] meinst? Dann gilt, das der Schnitt nur 0 enthält, wenn du gezeigt hast, dass sie linear unabhängig sind.

> da die beiden linear unabhängig sind (was im weiteren ja
> auch wieder gut ist, da sie sonst keine Basis bilden
> könnten.

> Also wie ist das denn nun zu verstehen??
>  
> Wenn ich dann weiterrechne und das ignoriere, nehme ich
> meine Spänne in eine Matrix [mm]A\in[/mm] M(4x4,K) und wende den
> Gaußalgorhythmus an bis ich die Matrix A durch elementare
> Zeilenumformungen in A^~ umgewandelt habe. Im (fast
> einzelnen sieht das dann so aus:
>  
> [mm]\pmat{ -2 & -1 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & -4 & 2 \\ -2 & -1 & -3 & 2 \\ -1 & -1 & -6 & 4 }[/mm]
>   (im Weiteren nur die Transformationen (von links)
> dokumentiert. <-> bedeutet Zeilenwechsel, Zeilen in
> römischen Ziffern angegeben, die erste Ziffer gibt die
> veränderte Zeile an.)
>  
> A [mm](\to[/mm] IV -1/2 I) [mm](\to[/mm] II - 1/2 I)(III - I) (IV <->
> III)(III - II)(IV - 1/3 III)
>  
> = A^~  = [mm]\pmat{ -2 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & - \bruch{1}{2} & 2 & \bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{3} }[/mm]

Ich vermute, hier hast du dich irgendwo verechnet. Wenn man die die erste Zeile 1/2 mal von der zweiten abzieht, kommt bei mir der Zeilenvektor [mm] (0,-\frac{1}{2}, [/mm] -3, [mm] \frac{3}{2}) [/mm] raus.

>
> Diese transformierte Matrix gibt mir nun die Basis an mit
> ihren Basisvektoren:
>  
> [mm]v_{1}[/mm] = (-2, 0, 0, [mm]0)^T[/mm] , [mm]v_{2}[/mm] = (-1, [mm]-\bruch{1}{2},[/mm] 0,
> [mm]0)^T[/mm] , [mm]v_{3}=[/mm] (-2, -2, -3, [mm]0)^T[/mm] , [mm]v_{4}[/mm] = (1, [mm]\bruch{3}{2},[/mm]
> 2, [mm]\bruch{1}{3})^T[/mm] (Alle mit "Schlange" drüber)
>  
> Stimmt das soweit?
>  Wenn nicht und wir nehmen an, dass der Span nich wie in
> der Aufgabenstellung beschrieben ist, sondern einfach nur
> aus den oben angegebenen Vektoren besteht, dann ist das
> schon die Basis, oder?

Du sollst eine Basis des Schnitts berechnen, nicht eine des von allen Vektoren erzeugten Raums.
Deine Herangehensweise ist etwas speziell, da du davon ausgehst, das der Schnitt die Dimension Null hat.
Wie wäre es, wenn du im Allgemeinen die Gleichung [mm] $\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2=\lambda_3 v_3+\lambda_4 v_4$ [/mm] löst?

>  
> Grüße
>  Semi

Gruß

Bezug
                
Bezug
Berechnung Basis von Span 1/2: Deine Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:03 Di 22.02.2011
Autor: Semimathematiker

Hi du,
Ja genau. Der Schnitt von [mm] Span(v_{1},v_{2}) [/mm] und [mm] Span(v_{3},v_{4}). [/mm]

Bei meiner ersten Lösung (nicht gepostet) hab ich das so gemacht wie du geschrieben hast, wobei ich schrittweise vorgegangen bin und [mm] v_{1} [/mm] mit [mm] v_{3}, v_{1} [/mm] mit [mm] v_{4}... [/mm] verglichen habe.

Raus kam dabei, dass sie lin. unabhängig sind (daraus folgt, dass der Schnitt der 0-Vektor ist und der bildet ja wieder nur auf den Nullvektor ab weil es sich um eine lineare Abbildung handelt und somit injektiv ist), woraus folgt, dass die Basis von [mm] Span(v_{1},v_{2}) [/mm] und [mm] Span(v_{3},v_{4}) [/mm] ebenfalls 0 ist.

Ich rechne gerne nochmal nach aber das sieht man doch auch so wenn man die ersten 2 Zeilen der Vektoren miteinander vergleicht.
Irre ich mich?
Viele Grüße
Semi

Bezug
                        
Bezug
Berechnung Basis von Span 1/2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:17 Di 22.02.2011
Autor: kamaleonti

Grüß dich,
> Hi du,
> Ja genau. Der Schnitt von [mm]Span(v_{1},v_{2})[/mm] und
> [mm]Span(v_{3},v_{4}).[/mm]
>  
> Bei meiner ersten Lösung (nicht gepostet) hab ich das so
> gemacht wie du geschrieben hast, wobei ich schrittweise
> vorgegangen bin und [mm]v_{1}[/mm] mit [mm]v_{3}, v_{1}[/mm] mit [mm]v_{4}...[/mm] verglichen habe.

Genauer muss auch ausgeschlossen werden, dass [mm] v_1, v_2 [/mm] Linearkombinationen von beiden Vektoren [mm] v_3,v_4 [/mm] sind. Dass es nicht geht, sieht man auch hier schnell, wenn man sich mal zwei Komponenten anschaut. Schreibst du ja selbst unten, sollte aber angegeben werden.

>  
> Raus kam dabei, dass sie lin. unabhängig sind (daraus
> folgt, dass der Schnitt der 0-Vektor ist und der bildet ja
> wieder nur auf den Nullvektor ab weil es sich um eine
> lineare Abbildung handelt und somit injektiv ist), woraus
> folgt, dass die Basis von [mm]Span(v_{1},v_{2})[/mm] und
> [mm]Span(v_{3},v_{4})[/mm] ebenfalls leer ist.

Jup.

>
> Ich rechne gerne nochmal nach aber das sieht man doch auch
> so wenn man die ersten 2 Zeilen der Vektoren miteinander
> vergleicht.
>  Irre ich mich?

Nein ;-)

> Viele Grüße
>  Semi

Gruß

Bezug
                                
Bezug
Berechnung Basis von Span 1/2: Deine Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 Di 22.02.2011
Autor: Semimathematiker

Hi du,
Danke für den Tipp. An die Linearkombinationen von [mm] v_{3},v_{4} [/mm] habe ich gar nicht gedacht. Die spannen ja schließlich zusammen einen Untervektorraum auf.
War also der Witz an der Aufgabe doch nur, dass die Basis aus dem 0-Vektor besteht.

Vielen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort!
Viele Grüße
Semi

Bezug
                                        
Bezug
Berechnung Basis von Span 1/2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:04 Do 24.02.2011
Autor: angela.h.b.


> War also der Witz an der Aufgabe doch nur, dass die Basis
> aus dem 0-Vektor besteht.

Hallo,

der Nullvektor ist in keiner Basis, denn er ist linear abhängig.

Gruß v. Angela


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]