Berechnung Orthogonalbasis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Sa 05.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | Es seien K ein Körper der Charakteristik ungleich 2. Es sei [mm] \Phi_A(x,y)=x^TAy [/mm] mit A= [mm] \pmat{ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 }. [/mm] Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von [mm] K^3 [/mm] bezüglich [mm] \Phi_A [/mm] |
Ich wollte fragen, ob mein Ansatz so richtig ist:
Für eine Orthogonalbasis muss in der Darstellungsmatrix auf der Diagonalen irgendwelche Zahlen stehen und sonst Nullen.
[mm] \Phi_A(x,y)=x^TAy [/mm] gilt, die Dimension ja 3 ist (also drei Basen benötigt werden),
und ein allgemeiner Vektor meiner Meinung die Darstellung w= [mm] \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} [/mm] hat, habe ich diesen einfach eingesetzt:
[mm] \Phi(\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3},\vektor {a_4 \\ a_5 \\ a_6}=0
[/mm]
mit [mm] \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} =w_1 [/mm] und [mm] {a_4 \\ a_5 \\ a_6}=w_2 [/mm]
Dann erhalte ich: [mm] -a_2a_4+2a_2a_4=0. [/mm] Daraus folgt: [mm] a_2=a_3.
[/mm]
Das würde ich für die "Nicht-Diagonalen-Elemente" immer so weiter machen und für die Diagonalelemente wähle ich einfach ein beliebiges Element.
Ist das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 So 06.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Könnte hier vielleicht bitte jemand drüberschauen?
Vielen Dank
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> Es seien K ein Körper der Charakteristik ungleich 2. Es
> sei [mm]\Phi_A(x,y)=x^TAy[/mm] mit A= [mm]\pmat{ 0 & -1 & 2 \\
-1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 }.[/mm]
> Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von [mm]K^3[/mm] bezüglich
> [mm]\Phi_A[/mm]
> Ich wollte fragen, ob mein Ansatz so richtig ist:
>
> Für eine Orthogonalbasis muss in der Darstellungsmatrix
> auf der Diagonalen irgendwelche Zahlen stehen und sonst
> Nullen.
Hallo,
genau.
Deine Matrix ist symmetrisch. Also gibt es eine OGB aus Eigenvektoren.
Bestimme eine solche, normiere. Damit hast Du das gesuchte.
Also: Eigenwerte , Eigenvektoren, ggf. orthogonalisieren, normieren.
>
> [mm]\Phi_A(x,y)=x^TAy[/mm] gilt, die Dimension ja 3 ist (also drei
> Basen benötigt werden),
Nein. Man braucht nur eine Basis. Diese besteht aber aus drei Basisvektoren.
LG Angela
> und ein allgemeiner Vektor meiner Meinung die Darstellung
> w= [mm]\vektor{a_1 \\
a_2 \\
a_3}[/mm] hat, habe ich diesen einfach
> eingesetzt:
>
> [mm]\Phi(\vektor{a_1 \\
a_2 \\
a_3},\vektor {a_4 \\
a_5 \\
a_6}=0[/mm]
>
> mit [mm]\vektor{a_1 \\
a_2 \\
a_3} =w_1[/mm] und [mm]{a_4 \\
a_5 \\
a_6}=w_2[/mm]
> Dann erhalte ich: [mm]-a_2a_4+2a_2a_4=0.[/mm] Daraus folgt:
> [mm]a_2=a_3.[/mm]
> Das würde ich für die "Nicht-Diagonalen-Elemente" immer
> so weiter machen und für die Diagonalelemente wähle ich
> einfach ein beliebiges Element.
>
> Ist das richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:48 Mo 07.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ein Eigenvektor zu der Matrix A ist
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Da Eigenvektoren schon senkrecht stehen, muss nciht orthogonalisiert werden. Normieren ergibt dann:
1/(Norm vom [mm] Vektor)*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Das mache ich für alle Eigenvektoren und erhalte dann eine Orthogonalbasis. Richtig?
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Hallo,
beachte, daß meine Antwort, auf die Du Dich beziehst, falsch war: wir benötigen eine Basis, die bzgl. [mm] \phi_A [/mm] orthogonal ist und nicht das, was ich erzählt habe!
LG Angela
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> Es seien K ein Körper der Charakteristik ungleich 2. Es
> sei [mm]\Phi_A(x,y)=x^TAy[/mm] mit A= [mm]\pmat{ 0 & -1 & 2 \\
-1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 }.[/mm]
> Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von [mm]K^3[/mm] bezüglich
> [mm]\Phi_A[/mm]
Hallo,
ich hab' Dir zuvor leider auf eine hier nicht gestellte Frage geantwortet.
Die Situation: Du hast hier eine symmetrische Bilinearform gegeben, und Du weißt aus der Vorlesung, daß es zu jeder symmetrischen Bilinearform eine Orthogonalbasis gibt - diese gilt es hier zu finden.
Du suchst also eine Basis [mm] B:=(b_1, b_2, b_3) [/mm] des [mm] K^3 [/mm] so,
daß die drei Vektoren paarweise orthogonal bzgl. [mm] \phi_A [/mm] sind, es ist also [mm] \phi_A(b_i, b_j)=0 [/mm] für [mm] i\not= [/mm] j.
EDIT: der in meiner ersten Antwort gegebene Rat war doch gut.
Mach es so, wie ich dort gesagt habe.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mo 07.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Aber wenn ich [mm] b_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] als Basisvektor wähle, dann gilt doch [mm] \Phi(b_1,b_1)=0, [/mm] was nicht den Forderungen einer Orthogonalbasis entspricht.
Ich komme mit der Aufabe nicht recht klar.
Kann ich dieses Verfahren hier anwenden: https://matheraum.de/read?i=375415 ? Allerdings erscheint mir diese Matrix positiv definit zu sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 07.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ich habe jetzt einmal die Eigenvektoren bestimmt.
Sie lauten:
[mm] b_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] b_2=\vektor{-1 \\ 1 - \wurzel{3}\\ 1}
[/mm]
[mm] b_3=\vektor{-1 \\ 1+ \wurzel{3}\\ 1}
[/mm]
Das Skalarprodukt ist jeweils 0, was dann Orthogonalität bedeuten würde. Aber das kann man so also nicht machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Mo 07.05.2012 | | Autor: | davux |
Angela hat ja die Antwort zurückgenommen, wo es darum ging über die Eigenvektoren zu gehen. Das war auch ein Gedanke von mir, aber man wäre ja mit den Eigenvektoren nicht fertig gewesen. Nur ist das nicht das Problem. Es geht ja nicht um den [mm] \IR^3, [/mm] sondern um K mit einer Charakterisierung ungleich 2.
Die Idee einfach Vektoren mehr oder weniger zu raten oder richtig zusammensetzen hatte ich auch schon, zusammen anderen Gedanken.
Also ich bin jetzt davon überzeugt, da wir das Gram-Schmidt-Verfahren nicht so recht kennengelernt haben, dafür aber das Erhardt-Schmidt-Verfahren können wir uns ja überlegen, wie dieses anzupassen wäre für den gegebenen Fall. Außerdem wollte ich noch einen anderen Ansatz verfolgen, wie man denn auf den Ausgangsvektor kommen könnte und für die ONB-Vektoren eine Grundlage formulieren kann.
Aber du hast da schon einen richtigen Vektor (dein [mm] b_1) [/mm] als Ansatz gefunden.
Diesen wählen wir als [mm] $w_1\in [/mm] V$ mit [mm] $\Phi(w_1,w_1)\not=0$.
[/mm]
Nun sparen wir uns die Normierung und
Wähle [mm] $w_2=v_2-\lambda_1 w_1$
[/mm]
[mm] $0=\Phi (w_1,w_2)=\Phi (w_1,v_2)-\lambda_1\Phi(w_1,w_1)
[/mm]
[mm] $\lambda_1=\bruch{\Phi(w_1,v_2)}{\Phi(w_1,w_1)}$
[/mm]
[mm] $v_2=w_2-\bruch{\Phi(w_1,v_2)}{\Phi(w_1,w_1)}w_1$
[/mm]
Und so weiter, denke ich. Schau nochmal in den Aufzeichnungen. Ich wollte das auf jeden Fall jetzt so ausprobieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 07.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Welchen Vektor nimmst du für [mm] v_2?
[/mm]
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Hallo,
wie bereits gesagt, funktioniert die Sache mit den Eigenvektoren über [mm] K=\IR [/mm] oder [mm] K=\IC [/mm] gut, in allgemeinen Körpern K scheitert man. (Was soll die Wurzel sein? Das klappt ja schon mit [mm] K=\IQ [/mm] nicht.)
Das Gram-Schmidt-Verfahren für Orthogonalisierung scheint mir doch eine nicht so üble Idee zu sein.
Wenn man bzgl. eines Skalarproduktes zu orthogonalisieren hat, kann man mit einer beliebigen Basis starten. Das funktioniert hier nicht, Du hast selbst gemerkt, daß [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] für Orthogonalisierung bzgl. [mm] \phi_A [/mm] als erster Startvektor untauglich ist, weil man ja nicht durch 0 dividieren darf.
Aber ein Start mit [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] scheint mir zu funktionieren, und dann muß man noch einen passenden dritten finden.
Sollte doch mit etwas Probieren klappen.
LG Angela
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Hallo,
ich war gestern offenbar etwas im Dämmer.
Das Bestimmen der Eigenvektoren ist durchaus eine gute Idee, jedenfalls, wenn man sich im [mm] \IR^3 [/mm] bewegt.
> Ich habe jetzt einmal die Eigenvektoren bestimmt.
> Sie lauten:
> [mm]b_1=\vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm]
> [mm]b_2=\vektor{-1 \\
1 - \wurzel{3}\\
1}[/mm]
>
> [mm]b_3=\vektor{-1 \\
1+ \wurzel{3}\\
1}[/mm]
>
> Das Skalarprodukt ist jeweils 0, was dann Orthogonalität
> bedeuten würde. Aber das kann man so also nicht machen?
Das Skalarprodukt paarweise verschiedener Vektoren ist hier 0, die vektoren sind linear unabhängig, also sind sie eine OGB bzgl des Standardskalarproduktes. Das ist aber nicht das, was uns hier in erster Linie interessiert!
Interessant ist die Eigenschaft, daß [mm] \pmat{b_1&b_2&b_}^{T}*A*\pmat{b_1&b_2&b_} [/mm] eine Diagonalmatrix ist, daß also gilt
[mm] 0=b_i{T}Ab_j=\phi_A(b_i, b_j) [/mm] für [mm] i\not=j.
[/mm]
Somit sind die drei Vektoren auch orthogonal bzgl. [mm] \phi_A, [/mm] und das wolltest Du haben.
Allerdings beschleicht mich das Gefühl, daß man für einen beliebigen Körper K nochmal neu nachdenken müßte...
LG Angela
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> Aber wenn ich [mm]b_1=\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm] als Basisvektor
> wähle, dann gilt doch [mm]\Phi(b_1,b_1)=0,[/mm] was nicht den
> Forderungen einer Orthogonalbasis entspricht.
Hallo,
[mm] \phi(b_1,b_1) [/mm] widerspricht nicht den Forderungen einer Orthogonalbasis!
Es ist hier nur gefordert, daß die Vektoren bzgl [mm] \phi [/mm] orthogonal sind.
>
> Ich komme mit der Aufabe nicht recht klar.
> Kann ich dieses Verfahren hier anwenden:
> https://matheraum.de/read?i=375415 ? Allerdings erscheint
> mir diese Matrix positiv definit zu sein.
Gram-Schmidt funktioniert hier nicht, denn beim Dividieren durch [mm] [/mm] kann es sein, daß man durch 0 dividieren muß.
LG Angela
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