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| Aufgabe | Beim Lotto "6 aus 49" wird nach den 6 Zahlen immer noch eine Zusatzzahl gezogen. Ein Spieler tippt jedoch nur sechs Zahlen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das Ereignis "3 Richtige plus Zusatzzahl" ein?
!Vollständige Formulierung und Begründung des wahrscheinlichkeitstheoretischen Modells! |
Hallo!
Ich habe ein Problem bei der Lösung dieser Aufgabe und wollte euch um Rat fragen.
Also, der Raum der Ergebnisse ist die Menge aller Möglichkeiten, 7 aus 49 zu ziehen:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{A\subset\{1,...,49\}||A| = 7\}$
[/mm]
Da jede Lotto-Ziehung gleichwahrscheinlich ist, handelt es sich hier bei [mm] \IP [/mm] um eine Laplace-Verteilung, d.h. es gilt für [mm] $A\in\mathcal{P}(\Omega)$:
[/mm]
[mm] $\IP(X) [/mm] = [mm] \frac{|X|}{|\Omega|}$
[/mm]
Da beim Ziehen von Lottozahlen die Reihenfolge nicht relevant ist, und auch nicht zurückgelegt wird, ist [mm] $|\Omega| [/mm] = [mm] \vektor{49\\ 7}$, [/mm] also [mm] $\IP(X) [/mm] = [mm] \frac{|X|}{\vektor{49\\ 7}}$.
[/mm]
Ich dachte eigentlich, dass es bis hierher okay wäre, aber ich stoße nun auf Probleme, mein Ereignis X zur Lösung der Aufgabe geeignet zu definieren.
Vielleicht so: Sei o.E. 1,2,3,4,5,6 die "Richtigen" und 7 die Zusatzzahl. Dann ist
$X:= [mm] \{A\in\mathcal{P}(\Omega)||A| = 6\mbox{ und } A = B\cup C\cup \{7\}\mbox { mit } B \subset \{1,2,3,4,5,6\}, |B| = 3 \mbox{ und } C \subset\{8,...,49\}, |C| = 2\}$
[/mm]
???
O Gott, in Angesicht dieses Murkses zweifle ich an mir selbst :-( ...
Ich merke auch gerade, dass das mit dem [mm] \vektor{49\\ 7} [/mm] im Nenner gar nicht hinhauen kann, weil der Spieler ja nur 6 Zahlen ankreuzt. Wie soll ich damit umgehen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beim Lotto "6 aus 49" wird nach den 6 Zahlen immer noch
> eine Zusatzzahl gezogen. Ein Spieler tippt jedoch nur sechs
> Zahlen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das Ereignis
> "3 Richtige plus Zusatzzahl" ein?
Mal eine Frage dazu: heisst das, dass von den 6 Zahlen die er getippt hat, drei mit Zahlen der 6 gezogenen uebereinstimmt und eine der getippten Zahlen mit der Zufallszahl uebereinstimmt?
> !Vollständige Formulierung und Begründung des
> wahrscheinlichkeitstheoretischen Modells!
> Hallo!
>
> Ich habe ein Problem bei der Lösung dieser Aufgabe und
> wollte euch um Rat fragen.
>
> Also, der Raum der Ergebnisse ist die Menge aller
> Möglichkeiten, 7 aus 49 zu ziehen:
>
> [mm]\Omega = \{A\subset\{1,...,49\}||A| = 7\}[/mm]
Vorsicht: die Zusatzzahl ist hier unter den anderen 6 Zahlen nicht identifizierbar. Du solltest besser sowas wie [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ (A, x) \mid A \subseteq \{ 1, \dots, 49 \}, x \in \{ 1, \dots, 49 \} \setminus A, |A| = 6 \}$ [/mm] nehmen.
Dieses [mm] $\Omega$ [/mm] hat 7 mal so viele Elemente wie dein [mm] $\Omega$.
[/mm]
> Da jede Lotto-Ziehung gleichwahrscheinlich ist, handelt es
> sich hier bei [mm]\IP[/mm] um eine Laplace-Verteilung, d.h. es gilt
> für [mm]A\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm]:
>
> [mm]\IP(X) = \frac{|X|}{|\Omega|}[/mm]
>
> Da beim Ziehen von Lottozahlen die Reihenfolge nicht
> relevant ist, und auch nicht zurückgelegt wird, ist
> [mm]|\Omega| = \vektor{49\\ 7}[/mm], also [mm]\IP(X) = \frac{|X|}{\vektor{49\\ 7}}[/mm].
Hier haettest du dann [mm] $\IP(X) [/mm] = [mm] \frac{|X|}{7 \binom{49}{7}}$.
[/mm]
> Ich dachte eigentlich, dass es bis hierher okay wäre, aber
> ich stoße nun auf Probleme, mein Ereignis X zur Lösung
> der Aufgabe geeignet zu definieren.
Mit dem neuen [mm] $\Omega$ [/mm] sollte dir das leichter fallen :)
Vielleicht noch: da es egal ist welche Zahlen der Spieler ankreuzt, kannst du davon ausgehen das er $1$ bis $6$ angekreuzt hat.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
> Mal eine Frage dazu: heisst das, dass von den 6 Zahlen die
> er getippt hat, drei mit Zahlen der 6 gezogenen
> uebereinstimmt und eine der getippten Zahlen mit der
> Zufallszahl uebereinstimmt?
Ja, das soll es heißen (so interpretiere ich die Aufgabenstellung).
> > [mm]\Omega = \{A\subset\{1,...,49\}||A| = 7\}[/mm]
>
> Vorsicht: die Zusatzzahl ist hier unter den anderen 6
> Zahlen nicht identifizierbar. Du solltest besser sowas wie
> [mm]\Omega = \{ (A, x) \mid A \subseteq \{ 1, \dots, 49 \}, x \in \{ 1, \dots, 49 \} \setminus A, |A| = 6 \}[/mm]
> nehmen.
Ich glaube, so geht das nicht. Weil hier kann x ja mit einer der vorherigen Zahlen übereinstimmen. Bei Wikipedia steht aber zum Beispiel: "Die Zusatzzahl wird aus den restlichen 43 Kugeln als siebte". Daher kommt deine 7fache Anzahl an Möglichkeiten.
Aber auf jeden Fall schonmal danke dafür an dich, dass du mich darauf hingewiesen hast, dass man die Zufallszahl separiert betrachten muss.
Trotzdem würde ich behaupten, dass das Ereignis zunächst so etwas in der Art bleibt:
$ X:= [mm] \{A\in\mathcal{P}(\Omega)||A| = 6\mbox{ und } A = B\cup C\cup \{7\}\mbox { mit } B \subset \{1,2,3,4,5,6\}, |B| = 3 \mbox{ und } C \subset\{8,...,49\}, |C| = 2\} [/mm] $
Nur habe ich jetzt eben ein Problem damit, dass der Spieler sozusagen "unerlaubt" nur 6 Zahlen ankreuzt. Was muss ich da machen?
Danke für Eure Mühe,
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Mal eine Frage dazu: heisst das, dass von den 6 Zahlen die
> > er getippt hat, drei mit Zahlen der 6 gezogenen
> > uebereinstimmt und eine der getippten Zahlen mit der
> > Zufallszahl uebereinstimmt?
>
> Ja, das soll es heißen (so interpretiere ich die
> Aufgabenstellung).
Ok, gut :)
> > > [mm]\Omega = \{A\subset\{1,...,49\}||A| = 7\}[/mm]
> >
> > Vorsicht: die Zusatzzahl ist hier unter den anderen 6
> > Zahlen nicht identifizierbar. Du solltest besser sowas wie
> > [mm]\Omega = \{ (A, x) \mid A \subseteq \{ 1, \dots, 49 \}, x \in \{ 1, \dots, 49 \} \setminus A, |A| = 6 \}[/mm]
> > nehmen.
>
> Ich glaube, so geht das nicht. Weil hier kann x ja mit
> einer der vorherigen Zahlen übereinstimmen.
Nein, eben nicht: $x$ ist ein Element aus [mm] $\{ 1, \dots, 49 \} \setminus [/mm] A$.
> Bei Wikipedia
> steht aber zum Beispiel: "Die Zusatzzahl wird aus den
> restlichen 43 Kugeln als siebte". Daher kommt deine 7fache
> Anzahl an Möglichkeiten.
Ja: du ziehst erst 6 Zahlen (die Menge $A$), und dann noch eine siebte (das $x$). Und bei Nr. 7 ist es wichtig zu wissen, welche das ist, d.h. du kannst nicht anstelle $(A, x)$ einfach eine 7-elementige Teilmenge von [mm] $\{ 1, \dots, 49 \}$ [/mm] nehmen!
> Aber auf jeden Fall schonmal danke dafür an dich, dass du
> mich darauf hingewiesen hast, dass man die Zufallszahl
> separiert betrachten muss.
>
> Trotzdem würde ich behaupten, dass das Ereignis zunächst
> so etwas in der Art bleibt:
>
> [mm]X:= \{A\in\mathcal{P}(\Omega)||A| = 6\mbox{ und } A = B\cup C\cup \{7\}\mbox { mit } B \subset \{1,2,3,4,5,6\}, |B| = 3 \mbox{ und } C \subset\{8,...,49\}, |C| = 2\}[/mm]
Was genau soll diese Menge modellieren? Also was ist $A$? Das was der Spieler getippt hat (wenn $1, [mm] \dots, [/mm] 6$ die ersten sechs Ziehungen sind und 7 die Zusatzzahl)?
So kannst du das natuerlich auch machen. Der Wahrscheinlichkeitsraum ist dann die Menge der 6-elementigen Teilmengen von [mm] $\{ 1, \dots, 49 \}$.
[/mm]
> Nur habe ich jetzt eben ein Problem damit, dass der Spieler
> sozusagen "unerlaubt" nur 6 Zahlen ankreuzt. Was muss ich
> da machen?
Du musst dir erstmal klar machen, was fuer ein Modell des Wahrscheinlichkeitsraum du verwendest, und vor allem, was die Elemente des Wahrscheinlichkeitsraumes aussagen sollen -- was der Spieler getippt hat oder was gezogen wurde. Irgendwie scheinst du mal das eine, mal das andere nehmen zu wollen.
LG Felix
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Hallo Felix!
> > > > [mm]\Omega = \{A\subset\{1,...,49\}||A| = 7\}[/mm]
> > >
> > > Vorsicht: die Zusatzzahl ist hier unter den anderen 6
> > > Zahlen nicht identifizierbar. Du solltest besser sowas wie
> > > [mm]\Omega = \{ (A, x) \mid A \subseteq \{ 1, \dots, 49 \}, x \in \{ 1, \dots, 49 \} \setminus A, |A| = 6 \}[/mm]
> > > nehmen.
> >
> > Ich glaube, so geht das nicht. Weil hier kann x ja mit
> > einer der vorherigen Zahlen übereinstimmen.
>
> Nein, eben nicht: [mm]x[/mm] ist ein Element aus [mm]\{ 1, \dots, 49 \} \setminus A[/mm].
Oh, tut mir leid, ich hatte deine "außer A" nicht gesehen!
> > [mm]X:= \{A\in\mathcal{P}(\Omega)||A| = 6\mbox{ und } A = B\cup C\cup \{7\}\mbox { mit } B \subset \{1,2,3,4,5,6\}, |B| = 3 \mbox{ und } C \subset\{8,...,49\}, |C| = 2\}[/mm]
>
> Was genau soll diese Menge modellieren? Also was ist [mm]A[/mm]? Das
> was der Spieler getippt hat (wenn [mm]1, \dots, 6[/mm] die ersten
> sechs Ziehungen sind und 7 die Zusatzzahl)?
Genau so habe ich das gemeint.
> So kannst du das natuerlich auch machen. Der
> Wahrscheinlichkeitsraum ist dann die Menge der
> 6-elementigen Teilmengen von [mm]\{ 1, \dots, 49 \}[/mm].
... Und zwar diesmal ohne Unterscheidung zur Zusatzzahl? (muss der Spieler die nicht extra ankreuzen?).
Wäre es dann so:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ A \mid A \subseteq \{ 1, \dots, 49 \}, |A| = 6 \}$
[/mm]
Was ich jetzt aber noch nicht verstehe: Ich würde es ja jetzt aus Spielersicht modellieren, und somit wäre dann die Wahrscheinlichkeit (Laplace-Verteilung) ja [mm] \IP(X) [/mm] = [mm] \frac{|X|}{|A|}. [/mm] Spielt es denn aber nicht eine Rolle, dass er nur 6 ankreuzt, also dass er gewissermaßen einen "Freiwurf" hat? Irgendwie verknotet sich da noch etwas in meinem Hirn.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:21 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > > > > [mm]\Omega = \{A\subset\{1,...,49\}||A| = 7\}[/mm]
> > > >
> > > > Vorsicht: die Zusatzzahl ist hier unter den anderen 6
> > > > Zahlen nicht identifizierbar. Du solltest besser sowas wie
> > > > [mm]\Omega = \{ (A, x) \mid A \subseteq \{ 1, \dots, 49 \}, x \in \{ 1, \dots, 49 \} \setminus A, |A| = 6 \}[/mm]
> > > > nehmen.
> > >
> > > Ich glaube, so geht das nicht. Weil hier kann x ja mit
> > > einer der vorherigen Zahlen übereinstimmen.
> >
> > Nein, eben nicht: [mm]x[/mm] ist ein Element aus [mm]\{ 1, \dots, 49 \} \setminus A[/mm].
>
> Oh, tut mir leid, ich hatte deine "außer A" nicht
> gesehen!
>
> > > [mm]X:= \{A\in\mathcal{P}(\Omega)||A| = 6\mbox{ und } A = B\cup C\cup \{7\}\mbox { mit } B \subset \{1,2,3,4,5,6\}, |B| = 3 \mbox{ und } C \subset\{8,...,49\}, |C| = 2\}[/mm]
>
> >
> > Was genau soll diese Menge modellieren? Also was ist [mm]A[/mm]? Das
> > was der Spieler getippt hat (wenn [mm]1, \dots, 6[/mm] die ersten
> > sechs Ziehungen sind und 7 die Zusatzzahl)?
>
> Genau so habe ich das gemeint.
Ok.
> > So kannst du das natuerlich auch machen. Der
> > Wahrscheinlichkeitsraum ist dann die Menge der
> > 6-elementigen Teilmengen von [mm]\{ 1, \dots, 49 \}[/mm].
>
> ... Und zwar diesmal ohne Unterscheidung zur Zusatzzahl?
> (muss der Spieler die nicht extra ankreuzen?).
> Wäre es dann so:
>
> [mm]\Omega = \{ A \mid A \subseteq \{ 1, \dots, 49 \}, |A| = 6 \}[/mm]
>
> Was ich jetzt aber noch nicht verstehe: Ich würde es ja
> jetzt aus Spielersicht modellieren,
Ok.
> und somit wäre dann
> die Wahrscheinlichkeit (Laplace-Verteilung) ja [mm]\IP(X)[/mm] =
> [mm]\frac{|X|}{|A|}.[/mm] Spielt es denn aber nicht eine Rolle, dass
Du meinst [mm] $\frac{|X|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{|X|}{\binom{49}{6}}$.
[/mm]
> er nur 6 ankreuzt, also dass er gewissermaßen einen
> "Freiwurf" hat? Irgendwie verknotet sich da noch etwas in
> meinem Hirn.
Es spielt schon eine Rolle, da er somit nur 6 zieht anstelle 7.
LG Felix
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Hallo!
Danke für deine Antwort, Felix!
Ich glaube, ich komme der Lösung immer näher 
Das Modell aus Sicht des Spielers konstruiert, also allen seinen Möglichkeiten.
[mm]\Omega = \{ A \mid A \subseteq \{ 1, \dots, 49 \}, |A| = 6 \}[/mm]
Für [mm] $X\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] ist [mm] \IP(X) [/mm] = [mm] \fraq{|X|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{|X|}{\vektor{49\\6}}$, [/mm] da [mm] \IP [/mm] Laplace-verteilt ist.
Das spezielle Ereignis für den Spieler (o.E. seien 1,2,3,4,5,6 die Richtigen und 7 die Superzahl)
[mm]X:= \{A\in\mathcal{P}(\Omega)||A| = 6\mbox{ und } A = B\cup C\cup \{7\}\mbox { mit } B \subset \{1,2,3,4,5,6\}, |B| = 3 \mbox{ und } C \subset\{8,...,49\}, |C| = 2\}[/mm]
D.h. ausgerechnet:
[mm] $\IP(X) =\frac{|X|}{\vektor{49\\6}} [/mm] = [mm] \frac{\vektor{6\\ 3}*\vektor{1\\1}*\vektor{42\\2}}{\vektor{49\\6}}$
[/mm]
Aber hab' ich damit jetzt schon ausreichend berücksichtigt, dass beim eigentlichen Lotto 7 Kugeln gezogen werden, indem ich 6 Richtige und 1 Superzahl in der Formel verwende?
D.h., ist die obige Wahrscheinlichkeit die Lösung der Aufgabe?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Danke für deine Antwort, Felix!
> Ich glaube, ich komme der Lösung immer näher
>
> Das Modell aus Sicht des Spielers konstruiert, also allen
> seinen Möglichkeiten.
>
> [mm]\Omega = \{ A \mid A \subseteq \{ 1, \dots, 49 \}, |A| = 6 \}[/mm]
>
> Für [mm]$X\in\mathcal{P}(\Omega)$[/mm] ist [mm]\IP(X)[/mm] =
> [mm]\fraq{|X|}{|\Omega|}[/mm] = [mm]\frac{|X|}{\vektor{49\\6}}$,[/mm] da [mm]\IP[/mm]
> Laplace-verteilt ist.
>
> Das spezielle Ereignis für den Spieler (o.E. seien
> 1,2,3,4,5,6 die Richtigen und 7 die Superzahl)
>
> [mm]X:= \{A\in\mathcal{P}(\Omega)||A| = 6\mbox{ und } A = B\cup C\cup \{7\}\mbox { mit } B \subset \{1,2,3,4,5,6\}, |B| = 3 \mbox{ und } C \subset\{8,...,49\}, |C| = 2\}[/mm]
>
> D.h. ausgerechnet:
>
> [mm]\IP(X) =\frac{|X|}{\vektor{49\\6}} = \frac{\vektor{6\\ 3}*\vektor{1\\1}*\vektor{42\\2}}{\vektor{49\\6}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber hab' ich damit jetzt schon ausreichend
> berücksichtigt, dass beim eigentlichen Lotto 7 Kugeln
> gezogen werden, indem ich 6 Richtige und 1 Superzahl in der
> Formel verwende?
Ja, hast du damit.
> D.h., ist die obige Wahrscheinlichkeit die Lösung der
> Aufgabe?
Ja :)
LG Felix
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Ok, danke Felix, da habe ich wohl wieder viel zu kompliziert gedacht 
Grüße,
Stefan
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