Berechnung der Bogenlänge < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=x^2
[/mm]
Bestimmen sie die Bogenlänge im Intervall [0;2] |
Hallo,
ich weiß, dass man die Bogenlänge mit √(1+(f'(x))²) ausgerechnet wird.
Also würde es heißen:
[mm] \int_{0}^{2} [/mm] √(1 + [mm] (2x)^2 )\, [/mm] dx
Das Ergebnis kann ich dann mittels eines Taschenrechners oder eines Computerprogrammes ausrechnen (in diesem Falle wäre es 4,65).
Mein Problem ist: Wie kann ich im Kopf die zugehörige Stammfunktion bilden .... gibt es da eine Technik oder ein paar Tipps????
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 21.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christoph,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wenn Du hier nicht in der Formelsammlung nachsehen willst, funktioniert dieses Integral mittels folgender Substitution:
$x \ := \ [mm] \bruch{1}{2}*\sinh(t)$ $\Rightarrow$ [/mm] $x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\cosh(t)$
[/mm]
Zudem benötigt man den Zusammenhang: [mm] $\cosh^2(t)-\sinh^2(t) [/mm] \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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MHm, also das was da steht habe ich nicht so verstanden .... bin zwar nicht schlecht in mathe aber erst in der 12. klasse kannst du mir dies nochmal in einfachen worten versuchen zu erklären????
Wäre echt nett
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Hallo Christoph1906,
> MHm, also das was da steht habe ich nicht so verstanden
> .... bin zwar nicht schlecht in mathe aber erst in der 12.
> klasse kannst du mir dies nochmal in einfachen worten
> versuchen zu erklären?
Also wir müssen Loddars Hinweis folgen und eine Substitution für dein Integral durchführen. Du betrachtest also statt der Integrationsvariable [mm]x[/mm] eine Funktion [mm]x(t)[/mm] und ersetzt somit alle [mm]x[/mm] im Integrationsausdruck durch den Funktionsterm, den du bzw. in diesem Falle Loddar, gewählt hast. Anschließend mußt du noch den Integrationsoperator anpassen, so daß dort statt [mm]\operatorname{d}\!x[/mm] [mm]\operatorname{d}\!t[/mm] steht. Dazu leitest du [mm]x(t)[/mm] ab. Es beruht jedenfalls auf folgender Idee (hoffentlich schreibe ich's einigermaßen sauber auf):
[mm]x'(t) = \frac{\partial x}{\partial t}(t) \gdw \partial x = x'(t) \partial t[/mm]
Außerdem mußt du auch die Integrationsgrenzen anpassen, indem du diese in die Umkehrfunktion von [mm]x(t)[/mm] einsetzt und berechnest. Die Umkehrfunktion ist hier der "Area Sinus Hyperbolicus" Also machen wir das mal:
[mm]\int_0^2{\sqrt{1+4x^2}\,\operatorname{d}\!x} = \int_0^{\operatorname{arsinh}(4)}{\sqrt{1+4\left(\frac{1}{2}\sinh t\right)^2}\frac{1}{2}\cosh t\,\operatorname{d}\!t} = \frac{1}{2}\int_0^{\operatorname{arsinh(4)}}{\sqrt{1+\sinh^2 t}\cosh t\,\operatorname{d}\!t}[/mm]
Jetzt benutze Loddars 2ten Hinweis. Und beachte außerdem, daß sich [mm]\cosh[/mm] und [mm]\sinh[/mm] beim Ableiten gegenseitig hervorbringen. Beispielsweise gilt:
[mm]\frac{\partial}{\partial z}\cosh z\sinh z = \sinh^2 z + \cosh^2 z = 1+\sinh^2 z -1+ \cosh^2 z = 2\cosh^2 z - 1[/mm]
und nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt dann:
[mm]\cosh z\sinh z = \int{\left(2\cosh^2 z - 1\right)\,\operatorname{d}\!z}[/mm]
Mit dieser letzten Gleichung müßtest du dein Integral nun bestimmen können.
Viele Grüße
Karl
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