Berechnung einer Verteilungsf. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Di 14.09.2010 | | Autor: | JoHei86 |
| Aufgabe | Für [mm] c \in \IR [/mm] ist [mm]f_c[/mm] definiert als [mm]f_c(x)=2c*x*e^{(-(c*x)^2)} (x>0)[/mm].
(i) Bestimmen Sie die Menge aller Konstanten c, sodass [mm]f_c[/mm] eine Dichtefunktion ist.
(ii) Sei nun [mm]c=1[/mm]. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. |
Hallo ihr alle,
die oben angegebene Aufgabe war mal Teil einer Klausur bei uns und ich bin grade dabei, sie durchzurechen. Leider habe ich keine Lösungen dazu und kann mir daher keine Idee davon machen, ob meine bisherigen Gedanken richtig sind oder nicht. Ich würde mich daher sehr freuen, wenn ihr mal kurz darüber schauen würdet und mir sagen könntet, welchen Fehler ich insbesondere bei (ii) mache (ich bin wahrscheinlich einfach nur zu dumm), damit ich entsprechend noch mal ein bisschen rumrechnen kann.
Also: Zu (i) habe ich (jetzt etwas abgekürzt) folgendes Ergebnis heraus: [mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}2*c*x*e^{(-cx)} [/mm] dx = [mm] -e^{-c^2*x^2}/c$ [/mm] (mithilfe von Substitution [mm] $u=c^2*x^2$), [/mm] woraus ich dann folgere, dass c=1 gelten muss, weil ja dieses Integral = 1 gesetzt werden muss und ich dann versuche, das Integral so zu berechnen, indem ich es im Grenzwert betrachte und dann heraus bekomme: [mm] $lim_{t->\infty} [-1/c*1/e^{c^2*t^2}]_{0}^{t} [/mm] = 1/c$. Wie sehr das stimmt, kann ich leider nicht sagen, aber zumindest gilt schon mal für c=1 (wie es ja in (ii) gegeben ist), dass das Integral dann schon einmal =1 ist...
Allerdings scheine ich dabei irgendeinen kolossalen (Denk-)Fehler gemacht zu haben, denn wenn ich nun c=1 setze und erneut diese Funktion von oben integriere, um die Verteilungsfunktion herauszubekommen (ist das überhaupt richtig?), dann ergibt sich bei mir (mit ähnlicher Ersetzung [mm]u=x^2 => du=2x*dx[/mm]) folgendes: [mm] $\integral_{-\infty}^{y} 2xe^{-(x^2)} [/mm] dx = [mm] [-e^{-(x^2)}]_ {-\infty}^{y}$ [/mm] = [mm] \bruch{-1}{e^y^2}$. [/mm] Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste das also die Verteilungsfunktion sein. Was sie aber meines Erachtens nicht sein kann, da sie ja überall negativ (oder zumindest nicht positiv) ist und auch andere Voraussetzungen wie Grenzwert gegen unendlich = 1 etc. nicht erfüllt...
Ich habe schon bestimmt eine halbe Stunde rum gerätselt (und auch die Integrale mit Wolfram Alpha nachgerechnet), aber ich komme nicht darauf, was ich falsch mache. Ich würde mich wie gesagt wirklich sehr freuen, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet, denn ich habe so das Gefühl, dass eine solche Aufgabe auch in dieser Schwierigkeitsstufe mich gut und gerne auch in anderthalb Wochen erwarten wird.
Viele Grüße
Jonas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo JoHei,
du hast nur einen kleinen Denkfehler drinne!
[mm] $f_c(x)=2c*x*e^{-c^2x^2}$ ($\red{x>0}$)
[/mm]
D.h. für negative x hast du kein [mm] $f_c$
[/mm]
lg Kai
edit: Also Zeilenabstände und Farben passen bei dem neuen Editor nicht so richtig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:38 Di 14.09.2010 | | Autor: | JoHei86 |
Hallo Kai,
vielen Dank für deine schnelle Antwort! Man, da schreibe ich extra noch hin, dass die Funktion nur für x>0 definiert ist und merke nicht, dass das genau die Crux war...
Um das für alle, die das hier irgendwann mal lesen sollten, noch kurz aufzubereiten:
Die Verteilungsfunktion ist für $c=1$: [mm] $F_c^x(y) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{y} 2*1*x*e^{-(1*x)^2} [/mm] dx = [mm] [\bruch{-1}{e^x^2}]_{0}^{y} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{e^{y^2}} [/mm] + 1$ (mit Substitution [mm] $u=x^2 [/mm] => du=2x*dx$).
Schöne Grüße
Jonas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Di 14.09.2010 | | Autor: | JoHei86 |
| Aufgabe | Geben sei weiterhin das [mm] $f_c$ [/mm] aus der ersten Frage.
Berechnen Sie den Erwartungswert [mm] $E(e^{tX^2})$. [/mm] |
Liebe Kenner der Materie,
leider muss ich euch noch einmal mit dieser ollen Aufgabe von oben nerven. Gegeben ist wie vorher die Funktion [mm] $f_c$, [/mm] allerdings habe ich da jetzt dank Kais lieber Hilfe keine echten Probleme mehr gehabt bei einer weiteren Aufgabe, allerdings stellt mich jetzt diese Aufgabe irgendwie vor ein Rätsel. Ich weiß nämlich leider gar nicht, wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.
Für mich sieht das ganze so aus, als würde hier nach einer momenterzeugenden Funktion gefragt (die ja die Form [mm] $h(t)=E(e^{tX})$ [/mm] hat), allerdings sehe ich hier für mich leider keine Möglichkeit, da etwas sinnvolles zu berechnen, denn die einzige Bemerkung, die ich in unserem Skript finde ist die zu linear transformierten Zufallsvariablen $a+bX$, sodass dann [mm] $Ee^{t(a+bX)} [/mm] = [mm] e^{at}*E(e^{btX}) [/mm] = [mm] e^{at}*h(bt)$ [/mm] sein soll, aber hier habe ich ja [mm] $X^2$, [/mm] also ein Quadrat - und mir fällt leider nicht ein, wie ich irgendwie eine quadratische "Transformation" berechnen kann.
Es gibt bei uns den Satz, dass für eine stetige Funktion [mm]g(X)[/mm] sich der Erwartungswert berechnet als $E(g(X)) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] ... [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} g(t_1, [/mm] ..., [mm] t_n)f^{X}(t_1, [/mm] ..., [mm] t_n) dt_1 [/mm] ... [mm] dt_n$, [/mm] aber da weiß ich leider nicht, als was ich $g(X)$ wählen soll, denn mit [mm] $g(X)=e^{tX^2}$ [/mm] habe ich ja nichts gewonnen, oder?
Es wäre super nett von euch, wenn ihr euch durch diesen Wust einmal lesen und mir, falls euch grade etwas einfallen sollte, mir einen Tipp geben könntet.
Viele Grüße
Jonas
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Guten Abend,
> Geben sei weiterhin das [mm]f_c[/mm] aus der ersten Frage.
> Berechnen Sie den Erwartungswert [mm]E(e^{tX^2})[/mm].
>
> Liebe Kenner der Materie,
>
> leider muss ich euch noch einmal mit dieser ollen Aufgabe
> von oben nerven. Gegeben ist wie vorher die Funktion [mm]f_c[/mm],
> allerdings habe ich da jetzt dank Kais lieber Hilfe keine
> echten Probleme mehr gehabt bei einer weiteren Aufgabe,
> allerdings stellt mich jetzt diese Aufgabe irgendwie vor
> ein Rätsel. Ich weiß nämlich leider gar nicht, wie ich
> an diese Aufgabe heran gehen soll.
>
> Für mich sieht das ganze so aus, als würde hier nach
> einer momenterzeugenden Funktion gefragt (die ja die Form
> [mm]h(t)=E(e^{tX})[/mm] hat), allerdings sehe ich hier für mich
> leider keine Möglichkeit, da etwas sinnvolles zu
> berechnen, denn die einzige Bemerkung, die ich in unserem
> Skript finde ist die zu linear transformierten
> Zufallsvariablen [mm]a+bX[/mm], sodass dann [mm]Ee^{t(a+bX)} = e^{at}*E(e^{btX}) = e^{at}*h(bt)[/mm]
> sein soll, aber hier habe ich ja [mm]X^2[/mm], also ein Quadrat -
> und mir fällt leider nicht ein, wie ich irgendwie eine
> quadratische "Transformation" berechnen kann.
> Es gibt bei uns den Satz, dass für eine stetige Funktion
> [mm]g(X)[/mm] sich der Erwartungswert berechnet als [mm]E(g(X)) = \integral_{-\infty}^{\infty} ... \integral_{-\infty}^{\infty} g(t_1, ..., t_n)f^{X}(t_1, ..., t_n) dt_1 ... dt_n[/mm],
> aber da weiß ich leider nicht, als was ich [mm]g(X)[/mm] wählen
> soll, denn mit [mm]g(X)=e^{tX^2}[/mm] habe ich ja nichts gewonnen,
> oder?
>
> Es wäre super nett von euch, wenn ihr euch durch diesen
> Wust einmal lesen und mir, falls euch grade etwas einfallen
> sollte, mir einen Tipp geben könntet.
>
Du hast jetz ja eine Dichte oder nicht - dein [mm]f_c[/mm]!
Das was du brauchst ist wenn ich mich richtig erinnere [mm]E(f(X))=\int f(x) dP [/mm]
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> Viele Grüße
> Jonas
lg Kai
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