Berechnung eines Integrales < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}{i^{2} dt} [/mm] ist allgemein zu berechnen |
= [mm] \bruch{i^{2}}{T} \integral_{0}^{T}{sin^{2} (wt)dt}
[/mm]
Nur wie fahre ich nun fort. Das Integral von [mm] sin^2 [/mm] ist klar, aber von wt?
Kann mir dabei jemand helfen?
|
|
| |
|
> [mm]\bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}{i^{2} dt}[/mm] ist allgemein zu
> berechnen
> = [mm]\bruch{i^{2}}{T} \integral_{0}^{T}{sin^{2} (wt)dt}[/mm]
>
> Nur wie fahre ich nun fort. Das Integral von [mm]sin^2[/mm] ist
> klar, aber von wt?
>
> Kann mir dabei jemand helfen?
substituiere u=w*t
|
|
|
| |
|
also [mm] \bruch{du}{dt} [/mm] = w ergibt dt = [mm] \bruch{du}{w} [/mm]
[mm] \bruch{i^{2}}{T} \integral_{0}^{T}{sin^{2} (u) \bruch{du}{w}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo peter0009,
> also [mm]\bruch{du}{dt}[/mm] = w ergibt dt = [mm]\bruch{du}{w}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{i^{2}}{T} \integral_{0}^{T}{sin^{2} (u) \bruch{du}{w}}[/mm]
Das ist bis auf die falschen Grenzen richtig, ziehe nun das [mm] $\frac{1}{w}$ [/mm] auch noch vor das Integral und integriere dann.
Entweder du berechnest alles ohne Grenzen, machst dann die Resubstitution und setzt die alten Grenzen ein oder du substituierst die Grenzen mit:
untere war $t=0$ - das gibt mit $u=wt$ also [mm] $u=w\cdot{}0=0$
[/mm]
obere $t=T [mm] \Rightarrow [/mm] u=...$
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
das heisst
[mm] \bruch{i^{2}}{Tw} \integral_{0}^{T}{sin^{2} (u) du}
[/mm]
[mm] \bruch{i^{2}}{Tw} [/mm] * [mm] \bruch{u}{2} [/mm] - [mm] \bruch{sin(u) * cos (u)}{2}
[/mm]
korrekt?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> das heisst
>
> [mm]\bruch{i^{2}}{Tw} \integral_{0}^{T}{sin^{2} (u) du}[/mm]
die Grenzen sind und bleiben falsch!
>
> [mm] $\bruch{i^{2}}{Tw} \cdot{}\red{\left[} \bruch{u}{2}- \bruch{sin(u) \cdot{} cos (u)}{2}\red{\right]}$
[/mm]
Nun resubstituieren und die Grenzen in t einsetzen oder halt nicht resubstituieren und die Grenzen in u umrechnen und diese dann einsetzen
>
> korrekt?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Okay. Die Grenzen hatte ich fälschlicherweise einfach wieder mitkopiert.
u = w * T
ergibt
[mm] \bruch{i^2}{wT} [/mm] * wT - [mm] \bruch{sin (wT) * cos (wT)}{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Okay. Die Grenzen hatte ich fälschlicherweise einfach
> wieder mitkopiert.
>
> u = w * T
>
> ergibt
>
> [mm]\bruch{i^2}{wT}[/mm] * wT - [mm]\bruch{sin (wT) * cos (wT)}{2}[/mm]
Fast, da fehlt zum einen wieder die große Klammer, zum anderen ist dir ein [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] abhanden gekommen, oder nicht?
Oben stand noch [mm] $\frac{u}{2}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{wt}{2}$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ja klar, das stimmt. [mm] \bruch{1}{2} [/mm] habe ich unterschlagen.
Ich frage mich jetzt trotzdem noch wie ich auf die Lösung [mm] \bruch{i^2}{2} [/mm] komme, die ich herausbekommen sollte.
|
|
|
| |
|
Hallo peter0009,
> Ja klar, das stimmt. [mm]\bruch{1}{2}[/mm] habe ich unterschlagen.
>
> Ich frage mich jetzt trotzdem noch wie ich auf die Lösung
> [mm]\bruch{i^2}{2}[/mm] komme, die ich herausbekommen sollte.
Nun, es gilt [mm]w*T=2\pi[/mm].
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Mo 07.09.2009 | | Autor: | peter0009 |
Hmm logisch. Da hätte ich auch selbst drauf kommen können.
Danke jedenfalls an alle für die umfassende Hilfestellung.
|
|
|
| |
|
> Ja klar, das stimmt. [mm]\bruch{1}{2}[/mm] habe ich unterschlagen.
>
> Ich frage mich jetzt trotzdem noch wie ich auf die Lösung
> [mm]\bruch{i^2}{2}[/mm] komme, die ich herausbekommen sollte.
zum einen hast du während der rechnung nicht zwischen i und î unterschieden. und zum anderen fällt der sinusterm weg, weil T [mm] \in \IZ [/mm] wie MathePower schon angedeutet hat 0 ergibt
|
|
|
| |
|
Wieso ist es denn so wichtig das es sich um î handelt ?
Und kleiner Nachtrag: Was würde sich denn ändern wenn der sin (wt) Term als Betrag gegeben ist. Muss ich dann alles quadrieren um die Betragstriche weg zu bekommen und dann gleichermaßen weiterrechnen?
|
|
|
| |
|
> Wieso ist es denn so wichtig das es sich um î handelt ?
>
$ [mm] \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}{i^{2} dt} [/mm] $ das war die ausgangsaufgabe. und für den momentanwert einer sinusspannung (um die es hier mit sicherheit geht) setzt man dann für i ein: [mm] i=\text{î}*sin(\omega*t)
[/mm]
> Und kleiner Nachtrag: Was würde sich denn ändern wenn der
> sin (wt) Term als Betrag gegeben ist. Muss ich dann alles
> quadrieren um die Betragstriche weg zu bekommen und dann
> gleichermaßen weiterrechnen?
schreib mal als formel auf was du hier genau meinst?
|
|
|
| |
|
die Aufgabe lautet
[mm] \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T} [/mm] | î sin (wt)|dt
|
|
|
| |
|
> die Aufgabe lautet
>
> [mm]\bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}[/mm] | î sin (wt)|dt
einfach quadrieren um den betrag wegzubekommen kannst du im integral nicht.
du solltest das integral in 2 teile spalten.
im bereich 0 bis T/2 ist der sinus ja positiv, von T/2 bis T negativ
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 10:29 Di 08.09.2009 | | Autor: | peter0009 |
Sorry, musste gestern Abend weg, deshalb erst heute morgen die Antwort
[mm] \bruch{i}{T} \integral_{0}^{\bruch{T}{2}} [/mm] sin (wt) dt + [mm] \integral_{\bruch{T}{2}}^{T} [/mm] 0 dt
und dann kann ich ja ähnlich wie bei der vorherigen Aufgabe rechnen, nur mit anderen Grenzen ...
[mm] \bruch{i}{wT} \integral_{0}^{\bruch{T}{2}} [/mm] sin (u) du
[mm] \bruch{i}{wT} [/mm] [ cos (u) ]
[mm] \bruch{i}{wT} [/mm] [ 1 + 1]
[mm] \bruch{2 i}{wT}
[/mm]
ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Mo 07.09.2009 | | Autor: | peter0009 |
dann müsste sich der sin * cos term ja irgendwie wegkürzen oder 0 ergeben
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | [mm] \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T} [/mm] | î sin (wt) | dt
ist zu lösen |
ich habe raus:
[mm] \bruch{i}{T} \integral_{0}^{\bruch{T}{2}} [/mm] sin (wt) dt + [mm] \integral_{\bruch{T}{2}}^{T} [/mm] 0 dt
[mm] \bruch{i}{wT} \integral_{0}^{\bruch{T}{2}} [/mm] sin (u) du
[mm] \bruch{i}{wT} [/mm] [ cos (u) ]
[mm] \bruch{i}{wT} [/mm] [ 1 + 1 ]
[mm] \bruch{2 i}{wT} [/mm]
kann mir jemand sagen ob das richtig ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Di 08.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}[/mm] | î sin (wt) | dt
>
> ist zu lösen
> ich habe raus:
>
> [mm]\bruch{i}{T} \integral_{0}^{\bruch{T}{2}}[/mm] sin (wt) dt +
> [mm]\integral_{\bruch{T}{2}}^{T}[/mm] 0 dt
der erste Teil ist richtig, der zweite falsch , der Betrag von sin ist doch zwischen T/2 und T nicht 0 sondern dasselbe wie zwischen 0 und T/2.
Du hast also einfach dein erstes Integral doppelt.
> [mm]\bruch{i}{wT} \integral_{0}^{\bruch{T}{2}}[/mm] sin (u) du
>
> [mm]\bruch{i}{wT}[/mm] [ cos (u) ]
>
> [mm]\bruch{i}{wT}[/mm] [ 1 + 1 ]
>
> [mm]\bruch{2 i}{wT}[/mm]
Dein Resultat ist fuer das Integral bis T/2 richtig, die Stammfkt ist aber -cosu nicht cos u. beim Einsetzen ists dann wieder richtig.
du solltest [mm] \omega*T [/mm] noch vereinfachen! wegen [mm] \omega=2\pi/T
[/mm]
>
> kann mir jemand sagen ob das richtig ist?
halb richtig, aber nur im Ergebnis.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
[mm] \bruch{i}{wT} \integral_{0}^{\bruch{T}{2}} [/mm] sin (u) du + [mm] \integral_{\bruch{T}{2}}^{T} [/mm] sin (u) du
[mm] \bruch{i}{wT} [/mm] [ - cos (u) - cos (u) ]
[mm] \bruch{i}{w2\pi} [/mm] [ - cos (u) ] + [ - cos (u) ]
[mm] \bruch{i}{w2\pi} [/mm] [ 1 + 1 - 1 - 1 ]
bleibt 0 oder ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Di 08.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Das kann doch gar nicht stimmen: wenn ich zwei positive Werte addiere, kommt wieder etwas positives heraus.
Es gilt hier mit Auflösung des Betrages:
[mm] $$\integral_0^T{\left| \ \sin(\omega*t) \ \right| \ dt}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \integral_0^{\bruch{T}{2}}{\left| \ \sin(\omega*t) \ \right| \ dt}+\integral_{\bruch{T}{2}}^T{\left| \ \sin(\omega*t) \ \right| \ dt}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \integral_0^{\bruch{T}{2}}{+ \ \sin(\omega*t) \ dt}+\integral_{\bruch{T}{2}}^T{\red{-} \ \sin(\omega*t) \ dt}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \integral_0^{\bruch{T}{2}}{\sin(\omega*t) \ dt}-\integral_{\bruch{T}{2}}^T{\sin(\omega*t) \ dt}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
[mm] \integral_0^{\bruch{T}{2}}{+ \ \sin(\omega\cdot{}t) \ dt}+\integral_{\bruch{T}{2}}^T{\red{-} \ \sin(\omega\cdot{}t) \ dt}
[/mm]
[mm] \integral_0^{\bruch{T}{2}}{\sin(\omega\cdot{}t) \ dt}-\integral_{\bruch{T}{2}}^T{\sin(\omega\cdot{}t) \ dt}
[/mm]
[ - cos (u) ] - [ - cos (u) ]
[ 1 + 1 + 1 - 1 ]
bleibt [mm] \bruch{2 i}{wT}
[/mm]
also [mm] \bruch{ i }{ \pi }
[/mm]
nun korrekt?
|
|
|
| |
|
> [mm]\integral_0^{\bruch{T}{2}}{+ \ \sin(\omega\cdot{}t) \ dt}+\integral_{\bruch{T}{2}}^T{\red{-} \ \sin(\omega\cdot{}t) \ dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_0^{\bruch{T}{2}}{\sin(\omega\cdot{}t) \ dt}-\integral_{\bruch{T}{2}}^T{\sin(\omega\cdot{}t) \ dt}[/mm]
>
> [ - cos (u) ] - [ - cos (u) ]
>
> [ 1 + 1 + 1 - 1 ]
>
> bleibt [mm]\bruch{2 i}{wT}[/mm]
>
> also [mm]\bruch{ i }{ \pi }[/mm]
>
> nun korrekt?
ich habe keine ahnung was da nun eigentlich gerechnet wurde?
î und 1/T sind auf einmal weg vorm integral und kommen am ende wieder hin, was integriert wird und was nicht weiss man auch nicht sorecht und das ergebnis stimmt leider auch nicht
|
|
|
| |
|
[mm] \bruch{i}{wT} \integral_0^{\bruch{T}{2}}{\sin(\omega\cdot{}t) \ dt}-\integral_{\bruch{T}{2}}^T{\sin(\omega\cdot{}t) \ dt}
[/mm]
[mm] \bruch{i}{wT} [/mm] [ - cos (u) ] - [ - cos (u) ] -> den ersten Teil habe ich spareshalber immer weggelassen, denn der war ja klar
[mm] \bruch{i}{wT} [/mm] [ 1 + 1 + 1 - 1 ]
[mm] \bruch{2 i}{wT}
[/mm]
wo genau liegt nun der Fehler?
|
|
|
| |
|
> [mm]\bruch{i}{wT} \integral_0^{\bruch{T}{2}}{\sin(\omega\cdot{}t) \ dt}-\integral_{\bruch{T}{2}}^T{\sin(\omega\cdot{}t) \ dt}[/mm]
>
das i muss erstmal überall î lauten, da es ja hier um den amplitudenwert geht [mm] (i=\text{î}*sin(\omega*t)). [/mm] i steht so nur für einen momentanwert
> [mm]\bruch{i}{wT}[/mm] [ - cos (u) ] - [ - cos (u) ] -> den
> ersten Teil habe ich spareshalber immer weggelassen, denn
> der war ja klar
>
> [mm]\bruch{i}{wT}[/mm] [ 1 + 1 + 1 [mm] \red{+} [/mm] 1 ]
hier ist wohl ein vorzeichenfehler unterlaufen
>
> [mm]\bruch{2 i}{wT}[/mm]
wie man dann auf dieses ergebnis kommt mit obiger rechnung ist mir schleierhaft, jedoch ist es nun [mm] \frac{\text{î}*4}{\omega*T}=\frac{\text{î}*2}{\pi}
[/mm]
evtl hilft http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichrichtwert auch noch ein wenig 
>
> wo genau liegt nun der Fehler?
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Mi 09.09.2009 | | Autor: | peter0009 |
Also 1+1+1-1 = 2 daher komm ich natürlich auf [mm] \bruch{2i}{wT} [/mm] ...
durch den vorzeichenfehler kommt natürlich [mm] \bruch{4i}{wT} [/mm] heraus ok
Danke für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Di 08.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Bitte hier keine Fragen doppelt einstellen.
Siehe dazu auch unsere Forenregeln.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Di 08.09.2009 | | Autor: | peter0009 |
Alles klar. Ich dachte da bislang keine Antwort kam, stelle ich die Frage noch einmal übersichtlich und wollte die alte eigentlich löschen, aber das geht scheinbar nicht ne?!
|
|
|
|
