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| Aufgabe | | Berechne folgendes unbest. Integral: [mm] \integral\wurzel{1+(x^2)}dx [/mm] |
würde gerne wissen, wie man auf die folgende Lösung dieses Integrals kommt: 1/2 ( [mm] (\wurzel{1+(x^2)}*x)+arcsinh(x) [/mm] )
wäre über einen Hinweis auf sämtl. Zwischenschritte sehr dankbar, weiß einfach nicht, wie man da drauf kommt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechne folgendes unbest. Integral:
> [mm]\integral\wurzel{1+(x^2)}dx[/mm]
> würde gerne wissen, wie man auf die folgende Lösung dieses
> Integrals kommt: 1/2 ( [mm](\wurzel{1+(x^2)}*x)+arcsinh(x)[/mm] )
> wäre über einen Hinweis auf sämtl. Zwischenschritte sehr
> dankbar, weiß einfach nicht, wie man da drauf kommt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das Rechnen "sämtl. Zwischenschritte" möchte ich doch gern Dir überlassen...
Die wesentliche Idee dürfte sein, daß man am Anfang auf die Idee kommt mit [mm] x=\sinh(t) [/mm] zu substituieren.
Woher die Idee? Im Idealfall weiß man, daß cosh^2t - sinh^2t=1 ist.
Danach geht's dann mit partieller Integration weiter.
Wenn Du nicht weiterkommst, poste bitte, was Du bis dahin gerechnet hast.
Wenn man das weiß, kann man sinnvoll weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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schon mal danke! aber auf folgendes bin ich noch gestoßen:
In der Formelsammlung steht als allgemeine lsg für int. über [mm] sqrt[a^2+x^2] [/mm] dx folgender ausdruck:
[mm] x/2*sqrt[a^2+x^2] [/mm] + [mm] (a^2)/2 [/mm] ln [mm] (x+sqrt[a^2+x^2]) [/mm] + C
hätte eigentlich gedacht, dass mein o.g. Integral diesem allgemeinen Integral in der Formels. entsprechen müsste, wenn man 1 als [mm] a^2 [/mm] sieht, oder steht des [mm] a^2 [/mm] gar nicht für einen allgemeinen Platzhalter?
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> schon mal danke! aber auf folgendes bin ich noch gestoßen:
> In der Formelsammlung steht als allgemeine lsg für int.
> über [mm]sqrt[a^2+x^2][/mm] dx folgender ausdruck:
>
> [mm]x/2*sqrt[a^2+x^2][/mm] + [mm](a^2)/2[/mm] ln [mm](x+sqrt[a^2+x^2])[/mm] + C
>
> hätte eigentlich gedacht, dass mein o.g. Integral diesem
> allgemeinen Integral in der Formels. entsprechen müsste,
> wenn man 1 als [mm]a^2[/mm] sieht, oder steht des [mm]a^2[/mm] gar nicht für
> einen allgemeinen Platzhalter?
Hallo,
doch, das ist schon richtig.
Du stellst diese Frage nicht, aber ich denke mal, daß das dahintersteckt: jetzt fragst Du Dich, was von beidem richtig ist. Stimmt's?
Hast Du schon in Erwägung gezogen, daß beides stimmt?
Herausfinden kannst Du das ja durch Ableiten. Es muß beide Male [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] herauskommen, wenn beides Stammfunktionen sind.
Du könntest auch beide der Dir gelieferten Stammfunktionen mal plotten.
Wenn Du weißt, daß [mm] \sinh [/mm] x etwas mit der e-Funktion zu tun hat, ist der ln, der oben auftaucht, wahrscheinlich gar nicht so erstaunlich.
Gruß v. Angela
P.S.: Unterhalb des Eingabefensters findest Du die Eingabehilfen für den Formeleditor. Integrale, Wurzeln, fast nix ist unmöglich...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Di 04.11.2008 | | Autor: | sepp-sepp |
ja sowas hab ich vermutet. Also dann vielen vielen dank, hat mir sehr geholfen.
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Hallo! es geht nochmal um das Integral [mm]\int\wurzel{1+x^2}\,dx[/mm]. Auf den freundlichen Hinweis von angela h.b. hab ich x mit sinh(t) substituiert, sodass ich dann [mm] 1+sinh^2(t) [/mm] mit [mm] cosh^2(t) [/mm] ersetzt habe, wovon meiner meinung nach nach dem Ziehen der Wurzel noch cosh(t) übrig bleibt, was sich dann mit dem cosh(t) im Nenner kürzt, sodass nur noch [mm] \int\1\,dt [/mm] stehen bleibt, was dann nach der Integration t ergibt und nach resubstitution den arcsinh(x) ergibt. wo ist der Fehler, denn diese Lsg stimmt nicht!?
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Hallo sepp-sepp!
Es kürzt sich hier nichts heraus nach der Substitution. Es verbleibt als neues Integral:
[mm] $$\integral{\cosh^2(t) \ dt}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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aha. wie kommst du da drauf? wenn ich sinht= x substituiere, muss ich doch umformen dt/dx=?, damit ich das dx ersetzen kann. weiß eiz nur nird so ganz wie i des machen soll. muss i da nicht zuerst umformen t=arsinhx und dann dt/dx, was wieder 1/ [mm] sqrt(1+x^2) [/mm] ergäbe und dann nach dem umstellen so aussähe: [mm] dx=dt*sqrt(x^2+1)
[/mm]
oder bin i total am falschen trip? wäre über eine erklärung sehr dankbar
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> aha. wie kommst du da drauf? wenn ich sinht= x
> substituiere,...
Hallo,
... ersetzt Du überall im Integral das x durch sinht.
Überlegen mußt Du Dir noch, wodurch Du dx ersetzt.
Dies bekommst Du so heraus:
[mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{d}{dx}\sinh t=\cosh [/mm] t ==> [mm] dx=\cosh [/mm] t *dt.
Gruß v. Angela
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