Berechnung im Dreieck < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Mo 26.05.2008 | | Autor: | effe |
| Aufgabe | Die Wiimote erkennt bis zu 4 Punkte über den 2 dimensionalen Kamerasensor. Es ist geplant das drei dieser Punkte mit gleichen Abstand auf einer Linie liegen. Daraus lassen sich dann mit der Kamera zwei Dreiecke bilden die sich eine Kante teilen und in einer Ebene liegen.
Grafik:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aus dem Kamerasensordaten lassen sich die Winkel [mm]\alpha,\alpha '[/mm] berechnen, die kantenlänge d ist aus der Konstruktion bekannt. Desweiteren ist über [mm]\beta[/mm] und [mm]\beta '[/mm] bekannt das [mm]\beta '= 180° - \beta[/mm] mein Ziel ist es [mm]\beta[/mm] und z(siehe grafik) zu berechnen. |
Mein Lösungsansatz war bis hierher: Ich stelle für [mm]\alpha , \alpha ', \beta , \beta '[/mm] und d zunächst zwei formeln für z auf.
(Krongruenzsatz: SWW)
z=d(cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+cos([mm]\beta[/mm]))
z'=d(cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]\beta '[/mm])+cos([mm]\beta' [/mm]))
=d(cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]-\beta[/mm])-cos([mm]\beta [/mm]))
Nun setze ich beide Gleichungen gleich
da z = z' gilt.
es ergibt sich daraus dann
d(cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+cos([mm]\beta[/mm])) = d(cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]-\beta[/mm])-cos([mm]\beta [/mm]))
dies lässt sich dann noch zusammenkürzen zu:
cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+ 2 cos([mm]\beta[/mm]) = cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]-\beta[/mm])
Leider habe ich keine Ahnung wie ich hier jetzt weiterrechnen soll un [mm]\beta[/mm] zu berechnen. Ich währe sehr dankbar wenn jemand mir hier helfen könnte da ich wenn ich hier nicht weiterkomme [mm]\beta[/mm] nur näherungsweise berechnet bekomme und das nicht annähernd so schön ist wie über diesen Weg.
gruß Effe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Die Wiimote erkennt bis zu 4 Punkte über den 2
> dimensionalen Kamerasensor. Es ist geplant das drei dieser
> Punkte mit gleichen Abstand auf einer Linie liegen. Daraus
> lassen sich dann mit der Kamera zwei Dreiecke bilden die
> sich eine Kante teilen und in einer Ebene liegen.
> Grafik:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Aus dem Kamerasensordaten lassen sich die Winkel
> [mm]\alpha,\alpha '[/mm] berechnen, die kantenlänge d ist aus der
> Konstruktion bekannt. Desweiteren ist über [mm]\beta[/mm] und [mm]\beta '[/mm]
> bekannt das [mm]\beta '= 180° - \beta[/mm] mein Ziel ist es [mm]\beta[/mm]
> und z(siehe grafik) zu berechnen.
> Mein Lösungsansatz war bis hierher: Ich stelle für [mm]\alpha , \alpha ', \beta , \beta '[/mm]
> und d zunächst zwei formeln für z auf.
> (Krongruenzsatz: SWW)
> z=d(cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+cos([mm]\beta[/mm]))
>
> z'=d(cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]\beta '[/mm])+cos([mm]\beta' [/mm]))
> =d(cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]-\beta[/mm])-cos([mm]\beta [/mm]))
>
> Nun setze ich beide Gleichungen gleich
> da z = z' gilt.
>
> es ergibt sich daraus dann
> d(cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+cos([mm]\beta[/mm])) = d(cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]-\beta[/mm])-cos([mm]\beta [/mm]))
>
> dies lässt sich dann noch zusammenkürzen zu:
> cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+ 2 cos([mm]\beta[/mm]) = cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]-\beta[/mm])
>
> Leider habe ich keine Ahnung wie ich hier jetzt
> weiterrechnen soll un [mm]\beta[/mm] zu berechnen. Ich währe sehr
> dankbar wenn jemand mir hier helfen könnte da ich wenn ich
> hier nicht weiterkomme [mm]\beta[/mm] nur näherungsweise berechnet
> bekomme und das nicht annähernd so schön ist wie über
> diesen Weg.
>
> gruß Effe
Zunächst einmal:
interessante Aufgabe und interessanter Lösungsansatz !
Am Schluss hast du die Gleichung
cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+ 2 cos([mm]\beta[/mm]) = cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]-\beta[/mm])
wobei ja [mm] \alpha [/mm] und [mm] \alpha' [/mm] bekannt sein sollen.
Wegen [mm] sin(-\beta) [/mm] = [mm] -sin(\beta) [/mm] kommt man auf die Gleichung:
[mm] sin(\beta)*(cot(\alpha)+cot(\alpha'))+2*cos(\beta)=0
[/mm]
Nach Division durch [mm] cos(\beta):
[/mm]
[mm] tan(\beta)*(cot(\alpha)+cot(\alpha'))+2=0
[/mm]
Daraus lässt sich [mm] \beta [/mm] leicht berechnen...
P.S.: Die vorgehenden Rechnungen habe ich nicht im Detail geprüft !
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Mo 26.05.2008 | | Autor: | effe |
Vielen Dank für die rasche Antwort!
Das ging ja echt fix.
Mal sehen wir gut ich jetzt weiter vorankomme.
Vielen Dank! Effe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Di 17.06.2008 | | Autor: | effe |
Ich musste die Gleichung nochmal neu aufstellen da ich bei Bestimmung des Dreieckes einen Denkfehler hatte:
zunächst ergibt sich aus dem Kongruenzsatz mit zwei Winkeln und einer bekannten Seite a gegenüber des Winkels [mm] $\alpha$ [/mm] für die seite X zwischen den Winkeln die Formel
$X = [mm] a(cot(\alpha)\cdot sin(\beta)+cos(\beta))$
[/mm]
$X' = [mm] a(cot(\alpha')\cdot sin(\beta')+cos(\beta'))$
[/mm]
wobei man für $X'$ durch [mm] $\beta' [/mm] = 180 - [mm] \beta$ [/mm] durch umformen die folgende Gleichung erhält:(hier saß der zweite Fehler)
$X' = [mm] a(cot(\alpha')\cdot sin(\beta)-cos(\beta))$
[/mm]
durch gleichsetzen von $X=X'$ erhält man:
[mm] $a(cot(\alpha)\cdot sin(\beta)+cos(\beta)) [/mm] = [mm] a(cot(\alpha')\cdot sin(\beta)-cos(\beta))$
[/mm]
dies ist gleich:
[mm] $cot(\alpha)\cdot sin(\beta) [/mm] - [mm] \cot(\alpha') \cdot \sin(\beta)=-2\cdot cos(\beta)$
[/mm]
Ausklammern
[mm] $(cot(\alpha) [/mm] - [mm] \cot(\alpha')) \cdot \sin(\beta)=-2\cdot cos(\beta)$
[/mm]
durch division durch [mm] $sin(\beta)$ [/mm] lässt sich die Gleichung dann wie folgt umformen:
[mm] $cot(\alpha) [/mm] - [mm] \cot(\alpha') [/mm] = [mm] -2\cdot \frac{cos(\beta)}{sin(\beta)}$
[/mm]
[mm] $\frac{\cot(\alpha') - cot(\alpha)}{2} [/mm] = [mm] \cdot \frac{cos(\beta)}{sin(\beta)}= cot{\beta} [/mm] = [mm] tan(90°-\beta)$
[/mm]
(hinweis [mm] tan(90°-\beta) [/mm] verwende ich da es in den meisten Rechnern leichter erreichbar ist als der [mm] cot(\beta))
[/mm]
dann erhalten wir schließlich:
[mm] $\beta=90°-\tan^{-1}(\frac{\cot(\alpha') - cot(\alpha)}{2})$
[/mm]
viele Grüße an Interresierte Effe
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> durch division durch [mm]sin(\beta)[/mm] lässt sich die Gleichung
> dann wie folgt umformen:
> [mm]cot(\alpha) - \cot(\alpha') = -2\cdot \frac{cos(\beta)}{sin(\beta)}[/mm]
>
> [mm]\frac{\cot(\alpha') - cot(\alpha)}{2} = \cdot \frac{cos(\beta)}{sin(\beta)}= cot{\beta} = tan(90°-\beta)[/mm]
benütze doch lieber die Formel [mm] cot(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{1}{tan(\beta)} [/mm] !
>
> (hinweis [mm]tan(90°-\beta)[/mm] verwende ich da es in den meisten
> Rechnern leichter erreichbar ist als der [mm]cot(\beta))[/mm]
> dann erhalten wir schließlich:
> [mm]\beta=90°-\tan^{-1}(\frac{\cot(\alpha') - cot(\alpha)}{2})[/mm]
oder: [mm]\beta=\tan^{-1}\left(\frac{2}{\cot(\alpha') - cot(\alpha)}\right)[/mm] = [mm]\ \tan^{-1}\left(\frac{2}{\bruch{1}{\tan(\alpha')} - \bruch{1}{\tan(\alpha)}}\right)[/mm]
= [mm]\ \tan^{-1}\left(\frac{2*\tan(\alpha)*\tan(\alpha')}{\tan(\alpha)-\tan(\alpha')}}\right)[/mm]
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") al-Chw.
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Hallo effe,
ich habe bei meiner Antwort vor drei Wochen deine Rechnungen
nicht im Einzelnen geprüft, sondern dir nur einen Tipp zum
weiterrechnen gegeben.
Ich habe das Ganze jetzt nochmals durchgeschaut:
> > Die Wiimote erkennt bis zu 4 Punkte über den 2
> > dimensionalen Kamerasensor. Es ist geplant das drei dieser
> > Punkte mit gleichen Abstand auf einer Linie liegen. Daraus
> > lassen sich dann mit der Kamera zwei Dreiecke bilden die
> > sich eine Kante teilen und in einer Ebene liegen.
> > Grafik:
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > Aus dem Kamerasensordaten lassen sich die Winkel
> > [mm]\alpha,\alpha '[/mm] berechnen, die kantenlänge d ist aus der
> > Konstruktion bekannt. Desweiteren ist über [mm]\beta[/mm] und [mm]\beta '[/mm]
> > bekannt das [mm]\beta '= 180° - \beta[/mm] mein Ziel ist es [mm]\beta[/mm]
> > und z(siehe grafik) zu berechnen.
> > Mein Lösungsansatz war bis hierher: Ich stelle für
> [mm]\alpha , \alpha ', \beta , \beta '[/mm]
> > und d zunächst zwei formeln für z auf.
> > (Kongruenzsatz: SWW)
> > z=d(cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+cos([mm]\beta[/mm])) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > z'=d(cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]\beta '[/mm])+cos([mm]\beta' [/mm]))
> >
> =d(cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]-\beta[/mm])-cos([mm]\beta [/mm])) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für den Winkel [mm] \beta' [/mm] = [mm] 180°-\beta [/mm] gilt: [mm] cos(\beta')=-cos(\beta), [/mm] aber [mm] sin(\beta')=sin(\beta)
[/mm]
> >
> > Nun setze ich beide Gleichungen gleich da z = z' gilt.
> >
> > es ergibt sich daraus dann
> > d(cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+cos([mm]\beta[/mm])) = d(cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]-\beta[/mm])-cos([mm]\beta [/mm]))
richtig heisst dies nun:
d(cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+cos([mm]\beta[/mm])) = d(cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]\beta[/mm])-cos([mm]\beta [/mm]))
>
> >
> > dies lässt sich dann noch zusammenkürzen zu:
> > cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+ 2 cos([mm]\beta[/mm]) = cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]-\beta[/mm])
richtig wäre:
cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+ 2 cos([mm]\beta[/mm]) = cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]\beta[/mm])
>
Am Schluss hast du die Gleichung (jetzt richtig):
>
cot([mm]\alpha[/mm])sin([mm]\beta[/mm])+ 2 cos([mm]\beta[/mm]) = cot([mm]\alpha '[/mm])sin([mm]\beta[/mm])
> [mm]2*cos(\beta)=sin(\beta)*(cot(\alpha')-cot(\alpha))[/mm]
>
> Nach Division durch [mm]cos(\beta):[/mm]
>
> [mm]2=tan(\beta)*(cot(\alpha')-cot(\alpha))[/mm]
>
> Daraus lässt sich [mm]\beta[/mm] leicht berechnen...
nämlich: [mm] tan(\beta)=\bruch{2}{cot(\alpha')-cot(\alpha)}
[/mm]
und also [mm] \beta=arctan\left( \bruch{2}{cot(\alpha')-cot(\alpha)}\right)
[/mm]
Diese Formeln versagen natürlich, wenn [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha' [/mm] ; in diesem
Fall ist aber einfach [mm] \beta=90° [/mm] falls [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha' \not= [/mm] 0 und
[mm] \beta\in\{0°,180°\} [/mm] falls [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha' \not= [/mm] 0 .
>
> P.S.: Die vorgehenden Rechnungen habe ich nicht im Detail
> geprüft !
..... was hiermit nachgeholt wäre !
LG Al-Chwarizmi
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