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Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ICh sitze gerade vor folgender Aufgabe:
Berechnen Sie die exakten Werte von:
sin x für [mm]x \in \{ \bruch{\pi}{3},\bruch{\pi}{4},\bruch{\pi}{5}\}[/mm]
Als Tipp steht drunter:
Aus [mm](e^{ix})^{\bruch{\pi}{x}}=-1[/mm] folgen die Gleichungen für die gesuchten Zahlen. (eigentlich soll das eine ganz einfach Aufgabe sein.)
Dieser Tipp verwirrt mich mehr als das er mir weiterhilft, weil wenn ich es einfach x einsetze hab ich im Exponenten einen Doppelbruch stehen und ich weiss nicht wie ich den wieder wegbekommen soll.
Auch hab ich es über Additiontheoreme versucht, da ich mich dort aber immer auf andere Werte beziehe (von denen ich aber noch keinen ausgerechnet habe) geht das wohl auch nicht.
Wobei ich mich hierbei auch ziemlich an Wikipedia gehalten hab.
Grüße,
Mareike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Sa 26.01.2008 | | Autor: | ONeill |
Hallo Mareike!
Hast du vielleicht ein gutes Buch zur Hand, dass dir Polarkoordinaten beschreibt?
Im Prinzip zeigt dir der Tipp eine Art Umrechnung, muss jedoch zugeben, dass das Thema nicht meine stärke ist, vielleicht kannst du mit Google ja etwas weiterkommen oder wartest hier noch weiter auf Hilfe
Gruß ONeill
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 So 27.01.2008 | | Autor: | bamm |
Hallo,
ich weiß nicht ob das dir weiterhelfen wird, aber ich probiers mal ;) (wobei ich die Aufgabe jetzt auch nicht so einfach finde): Bei dem Term [mm]$ (e^{ix})^{\bruch{\pi}{x}}=-1 $[/mm] handelt es sich zumindest um eine Form der Eulerschen Identität. Kannst ja mal danach googeln, evtl. hattet ihr das ja sogar schon in eurem Unterricht? Wobei es sich bei euch um eine abgewandelte Form handelt, vlt. kommt man damit ja einfacher zum Ziel, hm. Bei der "normalen" Identität muss man sich auf jeden Fall die Symmetrie von Cosinus und Sinus zu Nutze machen. Wenn man nämlich jetzt mal ix durch -ix ersetzen würde, bleibt der Realanteil (also cos x) aufgrund der Symmetrie gleich, der Imaginäranteil (i*sin x) hingegen kriegt genau den negativen Funktionswert (also punktsymmetrisch zum Ursprung). Jetzt muss man einfach nur noch schauen welche Funktion man haben will (sinus oder cosinus) und dementsprechend [mm]e^{ix}[/mm] und [mm]e^{-ix}[/mm] voneinander abziehen oder addieren (und entsprechend noch teilen).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 So 27.01.2008 | | Autor: | abakus |
Mit dieser "e hoch i*"-Form komplexer Zahlen konnte ich mich auch nie anfreunden, ich mag es anschaulicher.
Versuchen wir es mal so: Denke dir eine beliebige komplexe Zahl mit dem Betrag 1. Diese liegt in der Gaußschen Zahlenebene auf einem Kreis um den Urprung mit dem Radius 1 und lässt sich darstellen mit
[mm] z=(x+iy)=1(\cos\phi [/mm] + [mm] i\sin\phi). [/mm] Wenn nun konkret nach dem Sinus von [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] gegragt ist, so ist das genau der Imaginärteil von der eben beschriebenen Zahl z.
Die Potenz [mm] z^3 [/mm] läst sich auf zwei verschiedene Arten berechnen.
Erstens:
[mm] z^3=(x+iy)^3=x^3+3x^2iy+3xi^2y^2+i^3y^3, [/mm] unter Berücksichtigung von i^=-1 ergibt sich nach Umsortieren der Summanden
[mm] z^3=(x^3-3xy^2)+i(-3x^2y-y^3)
[/mm]
Zweitens:
[mm] z^3=1(\cos\phi [/mm] + [mm] i\sin\phi)^3=\cos3\phi [/mm] + [mm] i\sin3\phi.
[/mm]
Da beide Darstellungen die selbe komplexe Zahl beschreiben, sind die jeweiligen Real- und Imaginärteile identisch, es gilt also
[mm] (x^3-3xy^2)=\cos3\phi [/mm] und [mm] i(-3x^2y-y^3)=i\sin3\phi.
[/mm]
Für [mm] \phi=\bruch{\pi}{3} [/mm] wird daraus
[mm] (x^3-3xy^2)=(\cos\pi=)-1 [/mm] und [mm] i(-3x^2y-y^3)=(i\sin\pi)=0.
[/mm]
Dieses Gleichungssystem musst du lösen und erhälst werte für x und y, wobei y dem Imaginärlteil deiner Zahl z (und damt dem Sinus von [mm] \pi/3) [/mm] entspricht.
Für [mm] \pi/4 [/mm] und [mm] \pi/5 [/mm] musst du in der Herleitung einsprechend die Potezen [mm] z^4 [/mm] und [mm] z^5 [/mm] bilden.
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N'abend erstmal danke für eure Antworten.
Ich habe gerade versucht das Gleichungssystem zu lösen von:
[mm](x^3-3xy^2) = (cos\pi ) = -1[/mm]
Beim ersten komm ich dann auf folgendes:
[mm]x^3-3xy^2 = -1[/mm]
[mm]-3y^2 = -\bruch{1}{x} - x^2[/mm]
[mm]y^2 = \bruch{\bruch{1}{x}}{3} - \bruch{x^2}{3} [/mm]
[mm]y= \wurzel[2]{\bruch{\bruch{1}{x}}{3} - \bruch{x^2}{3}}[/mm]
Beim zweiten komm ich unter Berücksichtigung das
[mm]cos z = \bruch{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) [/mm] ist, auf:
[mm]cos \pi = \bruch{e^{i\pi }}{2} + \bruch{e^{-i\pi }}{2} = -1[/mm]
[mm]e^{i\pi } +e^{-i\pi }= -2[/mm]
Ja und wie nun weiter eigentlich würde ich gerne auf [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] kommen.
Oder muss ich die cosinus seite mit dem Einheitskreis berechnen , weil dann hätte ich wieder ein x, welches ich dann in das andere einsetzen könnte.
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mo 28.01.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo Mareike,
es tut mir leid, ich habe einen dummen Vorzeichenfehler gemacht.
Es muss beim Imaginärteil heißen
[mm] \sin\phi=3x^2y-y^3 [/mm] (und nicht [mm] \sin\phi=-3x^2y-y^3).
[/mm]
Viele Grüße
abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mo 28.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mareike!
> N'abend erstmal danke für eure Antworten.
>
> Ich habe gerade versucht das Gleichungssystem zu lösen
> von:
> [mm](x^3-3xy^2) = (cos\pi ) = -1[/mm]
>
> Beim ersten komm ich dann auf folgendes:
> [mm]x^3-3xy^2 = -1[/mm]
> [mm]-3y^2 = -\bruch{1}{x} - x^2[/mm]
> [mm]y^2 = \bruch{\bruch{1}{x}}{3} - \bruch{x^2}{3}[/mm]
>
> [mm]y= \wurzel[2]{\bruch{\bruch{1}{x}}{3} - \bruch{x^2}{3}}[/mm]
Das ist richtig, hilft aber nicht so recht weiter.
Bedenke Folgendes: [mm]x = \cos\bruch{\pi}{3} [/mm], [mm]y= \sin\bruch{\pi}{3} [/mm], wegen [mm]\sin^2 \phi +\cos^2\phi=1[/mm] gilt auch [mm]x^2+y^2=1[/mm]. Daher kannst du die Gleichung so vereinfachen:
[mm] -1= x^3-3xy^2 =x^3 -3x(1-x^2) = 4x^3 -3x[/mm]
Diese Gleichung hat die zwei Lösungen [mm]x=-1[/mm] und [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm].
Dazu gehören dann [mm]y=0[/mm] und [mm]y=\pm\bruch{\sqrt{3}}{2}[/mm].
Diese drei Lösungen gehören zu den Winkeln [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm], [mm]\pi[/mm] und [mm]\bruch{5\pi}{3}[/mm].
Falls du dich wunderst, warum es drei Lösungen gibt. Das liegt einfach daran, dass du mit dieser Rechnung den Winkel [mm]\pi[/mm] durch 3 geteilt hast. Der Winkel [mm]\pi[/mm] lässt sich aber nicht von [mm]\pi+2\pi=3\pi[/mm] und [mm]\pi+4\pi=5\pi[/mm] unterscheiden, weil jedesmal eine zusätzliche ganze Umdrehung um [mm]2\pi[/mm] dazukommt. Beim Teilen durch 3 werden aber aus diesen drei gleichen Winkeln die drei unterschiedlichen Winkel [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm], [mm]\bruch{3\pi}{3}[/mm] und [mm]\bruch{5\pi}{3}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hi,
erstmal danke für eure Antworten und das mit den Vorzeichen passiert halt immer wieder, hätte selber ja auch genauer schauen müssen.
Und müsste beim Lösen der Gleichung nicht
x=-1 und [mm]x = \wurzel{\frac{1}{2}}[/mm]
rauskommen?
Denn ein x klammer ich aus und bekomm dann folgendes:
[mm]-1 = 4x^2-3[/mm]
[mm]2 = 4x^2[/mm]
[mm]x = \wurzel{\frac{1}{2}}[/mm]
Das Problem ist dann, dass ich dann für y
[mm]\pm 1,1303[/mm]
bekomm? (Bin ich jetzt schon zu blöd um eine Gleichung aufzulösen?)
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Di 29.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo mareike
bei [mm] -1=4x^3-3x [/mm] bzw [mm] 4x^3-3x+1=0 [/mm] gibts nichts auszuklammern, was man dann einfach weglassen kann.
Man muss -1 als Lösung raren und dann die fkt dritten grades durch (x+1) dividieren (Polynomdivision) um auf die andere(n) Lösung(en) zu kommen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:48 Di 29.01.2008 | | Autor: | mareike-f |
Oh nein bin ich blöd dankeschön. Ich hab die -1 übersehen.
Grüße,
Mareike
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