Berechnung von Grenzwerten < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Sa 14.01.2012 | | Autor: | dudu93 |
Hallo, ich habe mal eine kleine Frage, die mich schon länger beschäftigt hat.
Und zwar habe ich gehört, dass man bei der Berechnung von Grenzwerten immer die höchste Potenz ausklammern muss (beim Betrachten von Zähler UND Nenner). Aber ich habe auch gehört, dass man nur den Nenner betrachten sollte und dort die höchste Potenz ausklammert. Meine Frage: Was ist denn nun richtig?
Hier eine Demonstration:
lim x->unendlich = [mm] \bruch{3x^2 - 2}{x + 1} [/mm]
Wenn ich dort [mm] x^2 [/mm] ausklammere, dann ergibt sich [mm] \bruch{3}{unendlich} [/mm] = 0
Wenn ich x ausklammere, dann kommt raus: [mm] \bruch{unendlich}{1} [/mm] = unendlich
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Hallo,
> Hallo, ich habe mal eine kleine Frage, die mich schon
> länger beschäftigt hat.
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> Und zwar habe ich gehört, dass man bei der Berechnung von
> Grenzwerten immer die höchste Potenz ausklammern muss
> (beim Betrachten von Zähler UND Nenner). Aber ich habe
> auch gehört, dass man nur den Nenner betrachten sollte und
> dort die höchste Potenz ausklammert. Meine Frage: Was ist
> denn nun richtig?
s.u.
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> Hier eine Demonstration:
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> lim x->unendlich = [mm]\bruch{3x^2 - 2}{x + 1}[/mm]
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> Wenn ich dort [mm]x^2[/mm] ausklammere, dann ergibt sich
> [mm]\bruch{3}{unendlich}[/mm] = 0
Das ist falsch. Wenn man [mm] $x^2$ [/mm] ausklammert erhält man den Bruch
[mm] $\frac{3-\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$.
[/mm]
Hier kann ich bei Bildung des Grenzwertes jetzt aber nicht die Regel
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n \to \infty}a_n}{\lim\limits_{n \to \infty}b_n}$ [/mm] anwenden, denn der Grenzwert des Nenners ist $0$.
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> Wenn ich x ausklammere, dann kommt raus:
> [mm]\bruch{unendlich}{1}[/mm] = unendlich
Das Ergebnis stimmt, den Rechenweg würde ich so nicht aufschreiben.
Das hat den Grund, dass unendlich keine reelle Zahl ist, man kann damit also eigentlich nicht multiplizieren bzw. wie gewohnt rechnen. Wenn ihr das in der Schule so aufschreibt, dann ist das vom Lehrer didaktisch schlecht.
(Man kann damit nämlich dann sowas machen: unendlich + unendlich=unendlich, aber auch unendlich + unendlich = 2unendlich=unendlich, nach Teilen durch unendlich erhalten wir dann 2=1, was natürlich falsch ist.)
Zu deiner Ausgangsfrage:
Dein oberstes Ziel sollte immer sein so auszuklammern, das der Nenner nicht gegen Null geht. Bei $x [mm] \to \pm \infty$ [/mm] sollte man dann "meistens" die höchste Potenz des Nenners im gesamten Bruch ausklammern.
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