Berechnung von Häufungswerten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie die Häufungswerte und insbesondere den lim sup x und den lim inf x:
[mm] x_n=\bruch{n^{(-1)^n}}{2*n + 1}*\cos\left(\bruch{n* \pi}{3}\right) [/mm] |
Wichtig: das im Zähler bedeutet n hoch -1 hoch n! Ich weiß nur nicht wie ich das schreiben soll.
Wir haben bis jetzt leider nur die Definition was ein Häufungswert ist gelernt, aber nicht wie man ihn berechnet oder abschätzt.
Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir den Ansatz oder die Idee wie ich das Lösen könnte geben würdet!
Danke im Voraus
Michael
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
Betrachte hier mal einzelne Teilfolgen, und zwar im Hinblick auf den Term mit [mm] $\cos(...)$ [/mm] sowie [mm] $n^{(-1)^n}$ [/mm] .
$$n \ = \ 0 \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] \cos\left(0*\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ +1$$
$$n \ = \ 1 \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] \cos\left(1*\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{1}{2}$$
[/mm]
$$n \ = \ 2 \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] \cos\left(2*\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}$$
[/mm]
$$n \ = \ 3 \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] \cos\left(1*\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ -1$$
$$n \ = \ 4 \ \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] \cos\left(2*\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}$$
[/mm]
usw.
Damit kannst Du die Folge [mm] $\left< \ x_n \ \right>$ [/mm] unterteilt darstellen:
[mm] $$x_n:=\begin{cases} \bruch{n^{(+1)}}{2\cdot{}n + 1}\cdot{}(+1) \ = \ \bruch{n}{2\cdot{}n + 1} , & \mbox{für } n \ = \ 6*k \mbox{ } \\ \\ \bruch{n^{(-1)}}{2\cdot{}n + 1}\cdot{}\left(+\bruch{1}{2}\right) \ = \ \bruch{1}{n*(2\cdot{}n + 1)*2}, & \mbox{für } n \ = \ 6*k+1 \mbox{ } \\ \\ ... \end{cases}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Kann ich jetzt daraus direkt schließen dass die Häufungswerte -1, 1, -1/2 und 1/2 sind oder wie rechne ich dann weiter.
Bei uns ist das Problem, dass wir in der Vorlesung nur die Definitionen erhalten, aber uns niemand sagt wie man s dann eigentlich berechnet. deswegen wirke ich hier auch so hilflos!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mike!
Hast Du Dir mal alle 6 Teilfolgen aufgeschrieben. Von diesen musst Du jeweils die Grenzwerte ermitteln: das sind die Häufungspunkte der Folge [mm] $\left< \ x_n \ \right>$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Mike_1988 |
ok danke. somit wäre dann alles wieder einmal zu 100% klar.
Die Häufungswerte sind somit 0, 1/2, -1/4, -1/2! wobei die 0 dreimal vorkommt.
Vielen Dank
Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Aleksa |
Hallo,
ich muss die Häufungswerte der folgenden Folge [mm] a_n= [/mm] n/(n+1) * sin [mm] (n\pi/ [/mm] 2) berechnen. Habe die Folge unterteilt , und habe für den sin Teil folgendes raus:
n: 0 -> o
n:1 -> 1
n:2-> 0
n:3-> -1
n:4->0
...
nun sind das ja nicht die Häufungswerte von der Folge. Wie berechne ich diese denn jetzt genau????
Was ich an dem vorgegeben Lösung nicht verstanden habe ist für n: 6k ??? warum???
Ich hoffe jemand kann mir helfen, danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aleksa!
So, wie oben musst Du nun die entsprechenden Teilfolgen (hier sind es 4 Stück) aufstellen und deren Grenzwerte bestimmen. Das sind dann die die gesuchten Häufungspunkte.
Der Term $n \ = \ 6*k$ kam in der obigen aufgabe zustande, da es ingesamt 6 Teilfolgen gab. und dieser Term gibt an, dass die entsprechende Teilfoge für alle vielfachen von $6_$ gilt.
Deine Teilfolgen lauten ja:
$$ [mm] a_n:=\bruch{n}{n+1}*\sin\left(\bruch{\pi}{2}*n\right)=\begin{cases} \bruch{n}{n+1}*0 \ = \ 0 , & \mbox{für } n \ = \ 4\cdot{}k \mbox{ } \\ \\ \bruch{n}{n+1}*1 \ = \ \bruch{n}{n+1}, & \mbox{für } n \ = \ 4\cdot{}k+1 \mbox{ } \\ \\ \bruch{n}{n+1}*0 \ = \ 0 , & \mbox{für } n \ = \ 4\cdot{}k+2 \mbox{ } \\ \\ \bruch{n}{n+1}*(-1) \ = \ -\bruch{n}{n+1}, & \mbox{für } n \ = \ 4\cdot{}k+3 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 So 18.11.2007 | | Autor: | Aleksa |
Super!
Vielen, vielen Dank!!!
Gruß Aleksa
|
|
|
|
