Berechnung von Integralen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man zeige [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {e^{-(x^{2})/2} dx} [/mm] = [mm] \wurzel{2pi}.
[/mm]
Hinweis: Man berechne das zweidimensionale Riemann-Integral
[mm] \integral_{\IR^2}^{} {e^{-(x^{2}+y^{2})/2} d(x,y)} [/mm] durch Übergang zu Polarkoordinaten und bringe letzteres Integral mit dem zu berechnenden in Verbindung. |
Ich habe den Hinweis verfolgt,
habe also x = cos [mm] \alpha [/mm] und y = sin [mm] \alpha [/mm] gesetzt, wobei ich dann für [mm] cos^{ 2} \alpha [/mm] + [mm] sin^{2} \alpha [/mm] = 1 erhielt. Ich habe dann erst nach [mm] \alpha [/mm] in den Grenzen von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] integriert und erhalte somit folgendes Integral:
[mm] 2\pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\infty} {e^{(-(r^2)/2)} dr},
[/mm]
also dasselbe wie in der Aufgabenstellung zu lösen ist, nur mit geänderten Grenzen. Trotz Substitutionen und partieller Integration komme ich nicht weiter.
Existiert dieses Integral überhaupt (aufschreibbar) und wenn ja, wie sieht es aus? Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Di 17.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Schau dir die Transformationsformel bitte noch einmal in Ruhe an.
Du hast vergessen die Determinante der Jacobi-Matrix der Polarkoordinatentransformation ins Spiel zu bringen. Diese ist $r$, wie man mit Hilfe der Beziehung [mm] $\cos^2(\alpha) [/mm] + [mm] \sin^2(\alpha)=1$ [/mm] leicht sieht.
Danach wirst du sehen, dass sich das Integral leicht (etwa mit Substitution oder scharfem Hinschauen) lösen lässt.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
