Berechnung von Min , Max , Inf < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Di 24.03.2009 | | Autor: | Yuri17 |
| Aufgabe | Untersuche die Mengen auf Existens von Minimum, Maximum, Supremum und Infimum.
Gebe die Werte an.
a) M : = {x [mm] \in \IR [/mm] | x + [mm] \bruch{1}{x}\le [/mm] 2 }
b) A : = { [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch [/mm] {1}{m} | m,n [mm] \in \IN [/mm] } |
Ich habe Folgene Lösungen:
a)
inf M = [mm] -\infty [/mm]
Min M existiert nicht
sup M = Max M = 1
b)
max A = 2 = sup A
inf A = 0
Min A existiert nicht
Meine Frage:
Bei b) ist das Max A die Summe von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 2 (n,m = 1).
Bei a) ist beim Max M x=1 : Also 1 + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = 1 +1 [mm] \le [/mm] 2 .
Und hier beträgt Max M = 1 , obwohl bei x= 1 eine 2 herauskommt.
Das Maximum ist die kleinste obere Schranke und Element der Menge,
warum ist dann bei a) Max M = 1 und nicht 2 ???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Di 24.03.2009 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Untersuche die Mengen auf Existens von Minimum, Maximum,
> Supremum und Infimum.
> Gebe die Werte an.
>
> a) M : = {x [mm]\in \IR[/mm] | x + [mm]\bruch{1}{x}\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2 }
>
> b) A : = { [mm]\bruch{1}{n}[/mm] + [mm]\bruch[/mm] {1}{m} | m,n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Ich habe Folgene Lösungen:
>
> a)
> inf M = [mm]-\infty[/mm]
> Min M existiert nicht
>
> sup M = Max M = 1
>
> b)
> max A = 2 = sup A
>
> inf A = 0
> Min A existiert nicht
>
> Meine Frage:
> Bei b) ist das Max A die Summe von [mm]\bruch{1}{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{m}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 2 (n,m = 1).
>
> Bei a) ist beim Max M x=1 : Also 1 + [mm]\bruch{1}{x}[/mm] = 1 +1
> [mm]\le[/mm] 2 .
> Und hier beträgt Max M = 1 , obwohl bei x= 1 eine 2
> herauskommt.
>
> Das Maximum ist die kleinste obere Schranke und Element der
> Menge,
> warum ist dann bei a) Max M = 1 und nicht 2 ???
Hallo,
die Menge A ist eine Menge von x-Werten mit einer bestimmten Eigenschaft. Diese Eigenschaft wird von allen negativen Zahlen x und von der Zahl x=1 erfüllt. Also ist x die Größte Zahl dieser Menge (weil als einzige positiv).
Gruß Abakus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Di 24.03.2009 | | Autor: | Yuri17 |
Danke für deine Antwort. Daraus ergibt sich für mich:
Und da x = 2 nicht Element der Menge M ist kann nur Max M = 1 und nicht Max M = 2 sein ?
Aber bei b) ist Max M = 2 , weil die 2 ein Element der natürlichen Zahlen ist ?
Quasi muss ich schauen , bei welchen Elementen der Menge die Menge größtmöglich wird (bezug auf Max und sup) und ob das Ergebnis daraus in der Menge selbst liegt.
Wenn ja handelt es sich dabei um das Max.
Und bei nein ist der Wert der Elemente das Max.
Ist das richtig zusammengefasst?
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Vielleicht bringt eine andere Formulierung noch mehr Klarheit:
du musst zunächst einmal feststellen, welche Zahlen in deinen Mengen überhaupt drin sind.
Im Fall a) gehst du aus von allen reellen Zahlen, aber es liegen nicht alle in der Menge, weil sie ja diese Bedingung erfüllen müssen.
Und von diesen Zahlen, die dann in deiner Menge drin sind, gibt das MAX die größte an.
Im Fall b) liegen Brüche in deiner Menge drin, die sich auf die vorgegebene Weise schreiben lassen. Das sind auch nicht alle Brüche, die es gibt, sondern nur ein Teil davon. Und von denen, die sich tatsächlich so schreiben lassen ist 2 eben der größte und damit das Maximum der Menge.
Also: erst schauen, welche Zahlen überhaupt in der Menge drin liegen, dann prüfen, welche davon die größte (MAX) bzw. kleinste (MIN) ist, sofern es die gibt. Ggf. gibt es ja dann "nur" ein Supremum bzw. Infimum
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Das liegt an einem grundlegenden Unterschied in der Formulierung und damit einem Unterschied in dem, was in den Mengen drin steckt.
Im Fall a) beinhaltet die Menge irgendwelche reellen Zahlen, die dann eine Bedingung erfüllen müssen. Die Begriffe Max, Min, Sup, Inf beziehen sich damit auf diese reellen Zahlen. Es ist egal, was letztlich in der einschränkenden Bedingung berechnet wird, es geht alleine um die reelle Zahl, die du in diese Bedingung einsetzt.
Passt das?
Gruß,
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Di 24.03.2009 | | Autor: | Yuri17 |
Ja, ich habe es verstanden. Danke für die Hilfe!!
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