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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Fr 19.11.2010 | | Autor: | J.W.5 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Reihe:
[mm]\sum_{n=1}^{00} [/mm][mm](\bruch{1}{n^2}-\bruch{1}{(n+1)^2})[/mm] |
Hallo Mathefreunde!
Generell machen mir solche Aufgaben schwer zu schaffen und meistens bekomme ich die Lösung nur durch Gefühl raus<img src="/editor/extrafiles/images/laugh.gif" _cke_saved_src="/editor/extrafiles/images/laugh.gif" title="laugh.gif" alt="laugh.gif" _cke_realelement="true">
Bei dieser Aufgabe habe ich mir gedacht, dass ich einfach mal teste, was passiert, wenn ich die ersten 5 Indexe eingebe...
Mehr kann man nicht machen, oder?
Das Ergebnis wäre 1!
Danke schonmal für jede Hilfe
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Hallo J.W.5,,
> Berechnen Sie folgende Reihe:
> [mm]\sum_{n=1}^{00} [/mm][mm](\bruch{1}{n^2}-\bruch{1}{(n+1)^2})[/mm]
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> Hallo Mathefreunde!
> Generell machen mir solche Aufgaben schwer zu schaffen und
> meistens bekomme ich die Lösung nur durch Gefühl raus<img
> src="/editor/extrafiles/images/laugh.gif"
> _cke_saved_src="/editor/extrafiles/images/laugh.gif"
> title="laugh.gif" alt="laugh.gif" _cke_realelement="true">
> Bei dieser Aufgabe habe ich mir gedacht, dass ich einfach
> mal teste, was passiert, wenn ich die ersten 5 Indexe
> eingebe...
> Mehr kann man nicht machen, oder?
Doch, Du kannst die ersten Glieder der Summe aufschreiben,
und somit feststellen, daß sich die Summe der ersten Glieder
zu
[mm]S_{n} = \ ... [/mm]
ergibt.
Daher kannst Du auch die geforderte Summe angeben.
> Das Ergebnis wäre 1!
Das musst Du erst beweisen.
>
> Danke schonmal für jede Hilfe
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Fr 19.11.2010 | | Autor: | J.W.5 |
das habe ich ja gemeint, dass ich die ersten glieder der summe aufschreibe, nur anders ausgedrückt<img src="/editor/extrafiles/images/smilie3.gif" _cke_saved_src="/editor/extrafiles/images/smilie3.gif" title="smilie3.gif" alt="smilie3.gif" _cke_realelement="true">
also kommt man dann auf folgendes:
[mm]\bruch{1}{1}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{9}+\bruch{1}{9}-\bruch{1}{16}+\bruch{1}{16}...[/mm]
also ergibt es 1
oder zählt es so nicht!?
danke
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Hallo J.W.5
>
> das habe ich ja gemeint, dass ich die ersten glieder der
> summe aufschreibe, nur anders ausgedrückt<img
> src="/editor/extrafiles/images/smilie3.gif"
> _cke_saved_src="/editor/extrafiles/images/smilie3.gif"
> title="smilie3.gif" alt="smilie3.gif"
> _cke_realelement="true">
>
> also kommt man dann auf folgendes:
> [mm]\bruch{1}{1}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{9}+\bruch{1}{9}-\bruch{1}{16}+\bruch{1}{16}...[/mm]
Nun, Du hast hier die ersten 4 Glieder der Summe aufgeschrieben.
Daher muss die Summe korrekt lauten:
[mm]S_{4}=\left(\bruch{1}{1}-\bruch{1}{4}\right)+\left(\bruch{1}{4}-\bruch{1}{9}\right)+\left(\bruch{1}{9}-\bruch{1}{16}\right)+\left(\bruch{1}{16}-\bruch{1}{25}\right)=1-\bruch{1}{25}=1-\bruch{1}{\left(4+1\right)^{2}}[/mm]
Daher ergibt sich die Summe [mm]S_{n}[/mm] zu
[mm]S_{n}= \ ... [/mm]
>
> also ergibt es 1
> oder zählt es so nicht!?
Das zählt so nicht.
>
> danke
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Fr 19.11.2010 | | Autor: | J.W.5 |
dann ergibt Sn
1-[mm]\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm]?
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Hallo J.W.5,
>
> dann ergibt Sn
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> 1-[mm]\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm]?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Di 23.11.2010 | | Autor: | J.W.5 |
kommt hier bei der summe nicht nur 1 raus?
weil der bruch [mm]\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm] gegen 0 strebt!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
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> kommt hier bei der summe nicht nur 1 raus?
> weil der bruch [mm]\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gegen 0 strebt!?
Es ist $S_n= 1-\bruch{1}{(n+1)^2$. Somit strebt (S_n) gegen 1 und der Reihenwert = 1
FRED
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