Berechnung von Sinus und Kosin < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:28 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Honkitonk |
| Aufgabe 1 | Zeige: sin(5x) = [mm] sin(x)(16sin^4(x)-20sin^2(x)+5)
[/mm]
Folgere: sin(18°) = cos(72°) = [mm] \bruch{ \wurzel{5}-1}{4}
[/mm]
und sin(54°) = cos(36°) = [mm] \bruch{ \wurzel{5}+1}{4} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Beweise die Formeln: sin(3x) = [mm] sin(x)(3-4sin^2(x))
[/mm]
und cos(x) = [mm] 2cos^2(x)-1
[/mm]
Folgere damit, dass sin( [mm] \bruch{ \pi}{6}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
und cos( [mm] \bruch{ \pi}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2}} [/mm] |
Moin Zusammen,
ich muss die o.g. Aufgaben lösen, die ersten Teile (die Herleitung der Formeln) sind kein Problem und habe ich auch schon gemacht.
Mein Problem sind nur die gefragten Folgerungen dafür hab ich auch keinen richtigen Lösungsansatz, da ich überhaupt keinen Zusammenhang sehe, der zur Lösung führen könnte.
Wenn es nötig ist, poste ich auch gerne noch die Lösungen, für die ersten Teilaufgaben.
In der Aufgabenstellung ist noch erwähnt, dass man folgendes benutzen kann:
- Die Additionsformeln für Sinus und Kosinus (schon verwendet)
- [mm] \pi [/mm] = Inf{x>0|sin(x) = 0}
- cos(0) = 1
- [mm] sin^2(x)+cos^2(x) [/mm] = 1 (auch schon verwendet)
- Es gibt [mm] \delta>0 [/mm] derart, dass für x mit 0<x< [mm] \delta [/mm] gilt: sin(x)>0
Ich wäre dankbar, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Fr 16.12.2005 | | Autor: | R4ph43l |
Hallo!
Ich würde einfach mal versuchen die hergeleiteten Formeln zu verwenden um den Sinus jeweils rekursiv zu berechnen aus einer Folge von $ [mm] \sin( \bruch{\pi}{6\cdot3^n}) [/mm] $ im Beispiel von Aufgabe 2) bzw. $ [mm] \sin( \bruch{\pi}{5^n}) [/mm] ( Bem: 18° = [mm] \bruch{\pi}{5} [/mm] ) $ im Beispiel von Aufgabe 1) und diese dann für n gegen unendlich laufen zu lassen und den Grenzwert berechnen. ggf. kommen dann auch die Bemerkungen zur Geltung.
Für die Berechnung des cosinus würde ich die 2. Formel der 2. Aufgabe benutzen und ihn dann durch $ [mm] \cos [/mm] x = 2 [mm] \cos^2 [/mm] x - 2 + 1 = 2 [mm] \sin^2 [/mm] x + 1 $ ausdrücken und wie oben berechnen.
Ich hoffe das ist dir eine Hilfe.
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:11 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Honkitonk |
Hi,
danke für die Antwort, aber es tut mir leid, aber sie hilft mir wenig, mit "rekursiv berechnen" kann ich gar nichts anfangen, ich hab das grad nachgeschlagen, versteh aber immer noch nicht, wie du auf die Ausdrücke kommst.
> Für die Berechnung des cosinus würde ich die 2. Formel der
> 2. Aufgabe benutzen und ihn dann durch [mm]\cos x = 2 \cos^2 x - 2 + 1 = 2 \sin^2 x + 1[/mm]
> ausdrücken und wie oben berechnen.
Ich glaube, hier hast du einen Vorzeichenfehler, da [mm] cos^2(x)=1-sin^2(x) \Rightarrow 2cos^2(x)-2+1=2(1-sin^2(x))-2+1=-2sin^2(x)+1
[/mm]
Es wäre nett, wenn du mir das etwas genauer erklären könntest, oder vieleicht einen guten Link zur "rekursiven Berechnung" hättest.
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Hallo Honkitonk,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> > Für die Berechnung des cosinus würde ich die 2. Formel der
> > 2. Aufgabe benutzen und ihn dann durch [mm]\cos x = 2 \cos^2 x - 2 + 1 = 2 \sin^2 x + 1[/mm]
> > ausdrücken und wie oben berechnen.
>
> Ich glaube, hier hast du einen Vorzeichenfehler, da
> [mm]cos^2(x)=1-sin^2(x) \Rightarrow 2cos^2(x)-2+1=2(1-sin^2(x))-2+1=-2sin^2(x)+1[/mm]
zu Aufgabe 2:
Setze hier
[mm]\begin{gathered}
c\;: = \;\sin \;3x \hfill \\
u\;: = \;\sin \;x \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann gilt:
[mm]
\begin{gathered}
c\; = \;u\;\left( {3\; - \;4\;u^2 } \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \;4\;u^3 \, - \;3\;u\; + \;c\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Es sind also die Nullstellen eines Polynoms 3. Grades zu finden. Im vorliegenden Fall lassen sich die Nullstellen einfach finden. Errate eine Nullstelle [mm]u_{0}[/mm] und dividiere dann das Polynom durch [mm]u\;-\;u_{0}[/mm]. Es entsteht ein quadratisches Polynom dessen Nullstellen sich mit Hilfe der quadratischen Ergänzung finden lassen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 So 18.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Honkitonk!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Fr 16.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich habs nicht zu Ende gedacht, aber da [mm] sin90°=sin\pi/2=1 [/mm] hast du doch ne Gleichung für sin18°in 1) und eine für sin [mm] \pi/6 [/mm] in 2)
in2) ist in [mm] Fehler:cos2x=2cos^{2}x [/mm] -1.
damit dann 0= [mm] cos\pi/2=2cos^{2}\pi/4 [/mm] -1
Gruss leduart
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