Berechnungen ums Dreieck < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marius90 |
| Aufgabe | d) Das Schaubild $ [mm] K_t [/mm] $ schneidet die x-Achse im Punkt $ [mm] N_t. [/mm] $ Die Tangente an $ [mm] K_t [/mm] $ im Punkt $ [mm] P_t \left(2-t | \bruch{2}{t} \cdot e^{2t-2} \right) [/mm] $ schneidet die x-Achse im Punkt $ [mm] R_t. [/mm] $
Zeigen Sie, dass das Dreieck $ [mm] N_tR_tP_t [/mm] $ gleichschenklig ist.
Welche Beziehung muss t erfüllen, damit das $ [mm] DreieckN_tR_tP_t [/mm] $ rechtwinklig ist?
Zeigen Sie, dass für t=1 diese Bedingung erfüllt ist.
Weisen Sie nach, dass es im Intervall [0,1;0,5] einen weiteren Wert von t gibt, für den das Dreieck rechtwinklig ist. |
Hallo,
ich konnte die Aufgabe fast komplett lösen, hänge nun aber beim letzten Teil (Weisen Sie nach...).
Die Beziehung, die t erfüllen muss, ist:
[mm] e^{4t-4}=t^{2}
[/mm]
Wenn man eins einsetzt, sieht man, dass die Bedingung erfüllt ist. Wie finde ich jetzt weitere Werte im [0.1;0.5]? Ich habe es mal mit 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 und 0.5 ausprobiert, hat aber (fast erwartungsgemäß) nicht funktioniert.
Ich bin etwas ratlos, zumal wir bisher bei Gleichungen, wo die Variable sowohl im Exp als auch "normal" steht gesagt haben "nicht berechenbar". Wenn bspw. bei Nullstellenbestimmtung irgendwann ein Term rauskam wie [mm] e^{x}=n*x [/mm] war die Rechnung immer am Ende.
Ich habe die Frage sonst nirgends gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Do 20.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Magst du uns noch die entsprechende Funktionsschar bzw deren Funktionsvorschrift [mm] $f_t(x) [/mm] \ = \ ...$ verraten? 
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marius90 |
Hallo,
die Funktionsschar ist [mm] f_{t}(x)=(\bruch{x}{t}+1)\*e^{t-x};t>0;x\in\IR
[/mm]
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Das ist ja auch nicht auszurechnen.
Du sollst deswegen auch nur nachweisen, dass es noch einen Wert gibt. Schreib Deine Gleichung mal als Funktion auf und schau Dir an, ob sie im angegebenen Bereich stetig ist und vielleicht das Vorzeichen wechselt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marius90 |
Hm, ich weiß leider nicht, wie ich das machen soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Do 20.11.2008 | | Autor: | reverend |
Du schreibst [mm] f(t)=e^{4t-4}-t^2
[/mm]
Hat diese Funktion in [0,1;0,5] eine Nullstelle?
1) Stetigkeit... ja
2) f(0,1)=0,0173...>0; f(0,5)=-0,1146...<0
Ja, es gibt mindestens eine Nullstelle.
Irgendwie muss doch der Funktionsgraph über die x-Achse kommen.
Jetzt musst Du nur noch auf den Namen der Regel kommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marius90 |
Was du schreibst ist schon irgendwie verständlich, nur kann ich den Lösungsweg noch nicht vollkommen nachvollziehen.
Wieso schreibe ich jetzt bspw. auf einmal
[mm] f(t)=e^{4t-4}-t^2
[/mm]
für
[mm] 0=e^{4t-4}-t^2 [/mm] ?
Und welchen Namen von welcher Regel meinst du? Ist die Aufgabe nicht schon fertig, wenn feststeht, dass die Fkt stetig ist und bei 0.1 im positiven Bereich verläuft und bei 0.5 im negativen?
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> Was du schreibst ist schon irgendwie verständlich, nur kann
> ich den Lösungsweg noch nicht vollkommen nachvollziehen.
>
> Wieso schreibe ich jetzt bspw. auf einmal
> [mm]f(t)=e^{4t-4}-t^2[/mm]
> für
> [mm]0=e^{4t-4}-t^2[/mm] ?
Weil Du die Gleichung nicht auflösen kannst, aber wissen willst, ob es im vorgelegten Bereich eine Nullstelle gibt.
> Und welchen Namen von welcher Regel meinst du? Ist die
> Aufgabe nicht schon fertig, wenn feststeht, dass die Fkt
> stetig ist und bei 0.1 im positiven Bereich verläuft und
> bei 0.5 im negativen?
Doch, klar. Ich meinte einfach den Stetigkeitssatz, auch wenn es davon ja mehrere gibt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Do 20.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
> Und welchen Namen von welcher Regel meinst du?
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Da gibt es so eine Regel / einen Satz, wenn ein Wert zwischen anderen Werten liegt ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marius90 |
Hallo, mir hat sich noch eine Frage aufgetan bzgl. Stetigkeit.
Das hab ich gestern etwas übergangen, weil ich dachte: "Kannste ja irgendwo nachschlagen."
Um eine Fkt auf Stetigkeit zu überprüfen steht im Buch aber nur:
Eine Funktion f heißt an der Stelle x0 Df stetig, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow x0} [/mm] f(x) = f(x0)
In diesem Fall hab ich ja aber kein x0, weil ich die Nullstelle genau ja gar nicht ausrechnen kann. Ich habe also kein x0 zum einsetzen.
Wie überprüfe ich also ein Intervall auf Stetigkeit?
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In Deinem Fall prüfst Du die Stetigkeit, indem Du zeigst, dass geeignete Teile Deiner Funktion stetig sind. Du hast [mm] f(t)=e^{4t-4}-x^2 [/mm] und zerlegst es in die beiden Teile [mm] f_1(t)=e^{4t-4} [/mm] und [mm] f_2=-x^2.
[/mm]
Nun darfst Du normalerweise voraussetzen, dass [mm] g_1(t)=e^t [/mm] stetig ist, ebenso [mm] g_2(t)=x^s, [/mm] mit [mm] s\in\IN, [/mm] wenn nicht gar [mm] s\in\IR^+.
[/mm]
Regel: Seien [mm] \a{}u(t),v(t) [/mm] stetig im Intervall [mm] \a{}[p,q], [/mm] sowie [mm] a,s\in\IR [/mm] und [mm] s\ge0. [/mm] Dann sind auch
[mm] \a{}a*u(t), \a{}(u(t))^s, \a{}u(t)+v(t), \a{}u(t)*v(t), \a{}u(v(t))
[/mm]
stetig in [mm] \a{}[p,q].
[/mm]
Also ist, anders geschrieben, [mm] f(t)=\bruch{1}{e^4}*(e^t)^4-x^2 [/mm] stetig, wenn [mm] g_1,g_2 [/mm] stetig sind.
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Du kannst aber auch für [mm] \a{}f_1, \a{}f_2 [/mm] leicht direkt nachweisen, dass das Stetigkeitskriterium an jeder Stelle erfüllt ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marius90 |
Vielen Dank, jetzt ist alles fertig. :)
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