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Hallo!
Ich habe eine Frage bezüglich Bermuda-Optionen.
Die Formel für eine Option, die ich in zwei zukünftigen Zeitpunkten [mm] $T_1$ [/mm] und [mm] $T_2$ [/mm] ausüben kann, habe ich hergeleitet.
Wenn ich das jetzt auswerte und [mm] $T_1$=0.000001 [/mm] setze (0 geht nicht, weil man ja durch [mm] $\sqrt{T_1}$ [/mm] teilt), kommt exakt der Wert der europäischen Option mit Restlaufzeit [mm] $T_2$ [/mm] raus.
Kann das denn sein?
Wenn die Option jetzt im Geld ist, bsp. Put: K-S>0, dann ist es doch besser, wenn ich die Option jetzt ausüben kann UND später als nur später.
Der Wert der Option ist ja innerer Wert (K-S) + Zeitwert. Und der Zeitwert müsste hier doch positiv sein, oder nicht?
Konkrete Frage:
Wie ist mathematisch der Wert einer in-the-money (K-S>0) Put-Option, die ich heute (t=0) und in T ausüben kann?
Ist es:
a) [mm] $P^{eur}(0,S,K,T)$, [/mm] d.h. der Wert der europ. Option mit Restlaufzeit T,
oder ist es:
b) $K-S + [mm] e^{-rT}\int_0^K (K-S_T)\psi(S_T;S) dS_T [/mm] = [mm] K-S+P^{eur}(0,S,K,T)$?
[/mm]
Der Wert bei b) ergibt sich, weil man jetzt ausüben kann und K-S erhält, aber zusätzlich mit der Wahrscheinlichkeit [mm] $P(K>S_T)$ [/mm] in Zukunft den Wert [mm] $K-S_T$ [/mm] erhält.
Über zahlreiche Antworten freu ich mich!
Genießt den Feiertag,
Katrin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Katrin!
Zunächst einmal eine naive Frage: Ich dachte es gäbe keine explizite (analytische) Formel für die Bewertung eines Bermuda-Puts? Jetzt etwa doch, oder wie?
Oder ist es eine implizite Formel? Was mit ominösen "kritischen Werten", die bestimmten Gleichungen genügen und die man eh nur numerisch bestimmen kann?
Jedenfalls finde ich es anschaulich klar, dass der Preis für [mm] $T_1 \to [/mm] 0$ gegen den Preis eines Europäischen Puts mit Laufzeit [mm] $T_2$ [/mm] konvergiert. Ob in oder out of the money, ist doch egal, das steckt doch im Europäischen Putpreis eh mit drin.
Um es dir klarzumachen: Ein Amerikanischer Putpreis ist ja auch im Falle $r=0$ gleich dem Europäischen Putpreis, und daher finde ich es "logisch", dass dies hier auch rauskommt.
Oder nicht?
Liebe Grüße
Stefan
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Guten Morgen, Stefan,
ok, du hast Recht: die kritischen Aktienkurse muss man numerisch mit Newton-Verfahren berechnen, aber sonst hat man eine analytische Lösung.
Anhand der Formel ist es klar, dass für [mm] $T_1 \rightarrow [/mm] 0$ der Wert einer europäischen Option rauskommt, aber intuitiv hätte ich gedacht, dass es mehr Wert ist, wenn ich die Option heute und in [mm] $T_2$ [/mm] ausüben kann als nur in [mm] $T_2$. [/mm]
Ich fand es halt nur sehr komisch, dass da exakt das Gleiche rauskam. Aber inzwischen glaub ich es! 
Danke.
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