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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Gaspy |
| Aufgabe | | [mm] y^{'} [/mm] = [mm] \bruch{y(y+x)}{x^{2}} [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Aufgabe ohne richtigen Lösungsweg und weiss nicht genau was ich falsch gemacht habe. Bin für jede Anregung dankbar.
Die DGL habe ich als Bernouli angenommen.
[mm] y^{'} [/mm] = [mm] \bruch{y(y+x)}{x^{2}} \Rightarrow y^{''} [/mm] = [mm] \bruch{y^{2}}{x^{2}}+\bruch{y*x}{x^{2}}
[/mm]
[mm] y^{'} [/mm] - [mm] \bruch{y*x}{x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{y^{2}}{x^{2}} [/mm] = 0
Sub:
[mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \bruch{1}{z} \Rightarrow y^{'} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{z^{2}}*z^{'}
[/mm]
Für y eingesetzt und mit [mm] z^{2} [/mm] multipliziert:
[mm] -\bruch{1}{z^{2}}*z^{'}-\bruch{1}{z*x}-\bruch{1}{z^{2}*x^{2}} [/mm] =0
- [mm] z^{'} [/mm] - [mm] \bruch{z}{x}-\bruch{1}{x^{2}} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow z^{'} [/mm] + [mm] \bruch{z}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] = 0 (A)
[mm] \Rightarrow z^{'} [/mm] + [mm] \bruch{z}{x} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm]
Homogene lösen:
[mm] z^{'} [/mm] = [mm] -\bruch{z}{x} \Rightarrow \integral {\bruch{dz}{z}}= -\integral {\bruch{dx}{x}} [/mm]
z= -x [mm] *C_{1} [/mm] (B)
Inhomogene lösen:
[mm] z^{'} [/mm] = -x [mm] *C_{1}^{'}+C_{1}
[/mm]
z und [mm] z^{'} [/mm] in (A) eingesetzt: [mm] x*C_{1}^{'}-C_{1}+\bruch{x*C_{1}}{x}-\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
[mm] x*C_{1}^{'}=\bruch{1}{x^{2}} \Rightarrow C_{1}^{'}=\bruch{1}{x^{3}}
[/mm]
[mm] C_{1}= -\bruch{1}{2x^{2}}+C [/mm] in (B) eingesetzt:
z(x)= [mm] -x(-\bruch{1}{2x^{2}}+C) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -Cx
y(x) = [mm] \bruch{1}{z(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}x-Cx}
[/mm]
Als Lösung wird angegeben:
y(x) = [mm] \bruch{1}{ln(x)+C}
[/mm]
Danke im Vorraus
Die Frage habe ich nur hier gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mo 09.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y^{'}[/mm] = [mm]\bruch{y(y+x)}{x^{2}}[/mm]
> Hallo,
> Ich habe diese Aufgabe ohne richtigen Lösungsweg und weiss
> nicht genau was ich falsch gemacht habe. Bin für jede
> Anregung dankbar.
> Die DGL habe ich als Bernouli angenommen.
>
> [mm]y^{'}[/mm] = [mm]\bruch{y(y+x)}{x^{2}} \Rightarrow y^{''}[/mm] =
> [mm]\bruch{y^{2}}{x^{2}}+\bruch{y*x}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]y^{'}[/mm] - [mm]\bruch{y*x}{x^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{y^{2}}{x^{2}}[/mm] = 0
>
> Sub:
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = [mm]\bruch{1}{z} \Rightarrow y^{'}[/mm] = -
> [mm]\bruch{1}{z^{2}}*z^{'}[/mm]
>
> Für y eingesetzt und mit [mm]z^{2}[/mm] multipliziert:
>
> [mm]-\bruch{1}{z^{2}}*z^{'}-\bruch{1}{z*x}-\bruch{1}{z^{2}*x^{2}}[/mm]
> =0
>
> - [mm]z^{'}[/mm] - [mm]\bruch{z}{x}-\bruch{1}{x^{2}}[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow z^{'}[/mm] + [mm]\bruch{z}{x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] = 0
> (A)
> [mm]\Rightarrow z^{'}[/mm] + [mm]\bruch{z}{x}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
>
> Homogene lösen:
> [mm]z^{'}[/mm] = [mm]-\bruch{z}{x} \Rightarrow \integral {\bruch{dz}{z}}= -\integral {\bruch{dx}{x}}[/mm]
>
> z= -x [mm]*C_{1}[/mm] (B)
>
-x ist keine Stammfunktion von [mm] -\bruch{1}{x} [/mm] !!!!!!
Sondern ?????
FRED
> Inhomogene lösen:
> [mm]z^{'}[/mm] = -x [mm]*C_{1}^{'}+C_{1}[/mm]
>
> z und [mm]z^{'}[/mm] in (A) eingesetzt:
> [mm]x*C_{1}^{'}-C_{1}+\bruch{x*C_{1}}{x}-\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
> [mm]x*C_{1}^{'}=\bruch{1}{x^{2}} \Rightarrow C_{1}^{'}=\bruch{1}{x^{3}}[/mm]
>
> [mm]C_{1}= -\bruch{1}{2x^{2}}+C[/mm] in (B) eingesetzt:
> z(x)= [mm]-x(-\bruch{1}{2x^{2}}+C)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] -Cx
>
> y(x) = [mm]\bruch{1}{z(x)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{2}x-Cx}[/mm]
>
> Als Lösung wird angegeben:
> y(x) = [mm]\bruch{1}{ln(x)+C}[/mm]
>
>
> Danke im Vorraus
>
> Die Frage habe ich nur hier gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Gaspy |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
[mm] \integral {\bruch{dz}{z}}= -\integral {\bruch{dx}{x}} [/mm]
lnz = - ln x +C
[mm] e^{lnz}=- e^{lnx+C}
[/mm]
z = [mm] \bruch{1}{x}*C [/mm] (B)
[mm] z^{'} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{x^2}*C +C_{1}^{'}\bruch{1}{x}
[/mm]
Hoffe das stimmt so eher, auf den Fehler mit der Stammfunktion wäre ich so schnell nicht gekommen.
z und [mm] z^{'} [/mm] in (A) eingesetzt:
[mm] \bruch{1}{x}*C [/mm] = [mm] +C_{1}^{'}\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2}*C -\bruch{1}{x^{2}}=0
[/mm]
[mm] x*C_{1}^{'}=-\bruch{1}{x^{2}} [/mm]
[mm] C_{1}^{'}=-\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] C_{1}= [/mm] -ln(x) in (B) eingesetzt:
z(x)= [mm] \bruch{1}{x}*C [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x}*ln(x)
[/mm]
y(x) = [mm] \bruch{1}{z(x)} [/mm] = [mm] \bruch{-x}{ln(x)+C}
[/mm]
Damit stimmt die gerechnete Lösung mit der angegebenen Lösung überein.
Danke nochmals.
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