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| Aufgabe | Kontrolliere Merlens Überlegung
Lotto 6 aus 49
6 Zahlen werden getippt
6 Kugeln werden nacheinander gezogen
6-stufige Bernoulli-Kette
Erfolg: getippte Zahl wird gezogen
p= [mm] \bruch{6}{49}
[/mm]
P(6 Richtige) = [mm] \bruch{6}{49}^6 \approx 3,37*10^{-6} [/mm] |
Also wir sollen diese Überlegung ja kontrollieren.
Und ich habe meine Zweifel, ob das so wie Merlen es gemacht hat richtig ist, denn bei einer Bernoulli-Kette ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe doch nicht, oder?
Und ich hab mir das jetzt folgendermaßen überlegt (ob das richtig ist weiß ich nicht, vor allem weil die Aufgabe im Mathebuch nach dieser hier wie folgt lautet:
"Begründe, dass beim Lotto 6 aus 49 die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl, z.B. die 13, bei einer Wochenziehung gezogen wird, [mm] \bruch{6}{49} [/mm] beträgt."
Aber hier trotdem meine Überlegung:
1 Kugel (aus 49) wird gezogen
p(Erfolg) = [mm] \bruch{1}{49}
[/mm]
p(Misserfolg) = [mm] \bruch{48}{49}
[/mm]
-> jetzt gibt es nur noch 48 Kugeln, also hat sich die Erfolgswahrscheinlichkeit verändert. Deswegen keine Bernoulli-Kette (?)
jetzt wird eine weitere Kugel gezogen, also:
p(Erfolg) = [mm] \bruch{1}{48}
[/mm]
p(Misserfolg) = [mm] \bruch{47}{48}
[/mm]
... und dann immer so weiter, sodass:
[mm] \bruch{1}{49}*\bruch{1}{48}*\bruch{1}{47}*\bruch{1}{46}*\bruch{1}{45}*\bruch{1}{44} [/mm] = [mm] 9,93211645\varepsilon^{-6}
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht, ob das das richtige [mm] "\varepsilon" [/mm] war, ich meine auf jeden Fall das Zeichen, was immer im Taschenrechner angezeigt wird, wenn die Zahl nicht mehr komplett dargestellt werden kann.
Und, ist das so wie ich das überlegt habe richtig? Irgendwie hab ich an meiner Idee noch Zweifel, vor allem wegen der Aufgabe, die danach kommt!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Tobias,
> Kontrolliere Merlens Überlegung
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> Lotto 6 aus 49
>
> 6 Zahlen werden getippt
> 6 Kugeln werden nacheinander gezogen
> 6-stufige Bernoulli-Kette
> Erfolg: getippte Zahl wird gezogen
> p= [mm]\bruch{6}{49}[/mm]
> P(6 Richtige) = [mm]\bruch{6}{49}^6 \approx 3,37*10^{-6}[/mm]
> Also
> wir sollen diese Überlegung ja kontrollieren.
> Und ich habe meine Zweifel, ob das so wie Merlen es
> gemacht hat richtig ist, denn bei einer Bernoulli-Kette
> ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit von Stufe zu
> Stufe doch nicht, oder?
Richtig! Drum ist das auch KEINE Bernoulli-Kette!
> Und ich hab mir das jetzt folgendermaßen überlegt (ob das
> richtig ist weiß ich nicht, vor allem weil die Aufgabe im
> Mathebuch nach dieser hier wie folgt lautet:
>
> "Begründe, dass beim Lotto 6 aus 49 die Wahrscheinlichkeit,
> dass eine Zahl, z.B. die 13, bei einer Wochenziehung
> gezogen wird, [mm]\bruch{6}{49}[/mm] beträgt."
>
> Aber hier trotdem meine Überlegung:
>
> 1 Kugel (aus 49) wird gezogen
> p(Erfolg) = [mm]\bruch{1}{49}[/mm]
> p(Misserfolg) = [mm]\bruch{48}{49}[/mm]
>
> -> jetzt gibt es nur noch 48 Kugeln, also hat sich die
> Erfolgswahrscheinlichkeit verändert. Deswegen keine
> Bernoulli-Kette (?)
>
> jetzt wird eine weitere Kugel gezogen, also:
> p(Erfolg) = [mm]\bruch{1}{48}[/mm]
> p(Misserfolg) = [mm]\bruch{47}{48}[/mm]
>
> ... und dann immer so weiter, sodass:
>
> [mm]\bruch{1}{49}*\bruch{1}{48}*\bruch{1}{47}*\bruch{1}{46}*\bruch{1}{45}*\bruch{1}{44}[/mm]
> = [mm]9,93211645\varepsilon^{-6}[/mm]
>
> Ich weiß jetzt nicht, ob das das richtige [mm]"\varepsilon"[/mm]
> war, ich meine auf jeden Fall das Zeichen, was immer im
> Taschenrechner angezeigt wird, wenn die Zahl nicht mehr
> komplett dargestellt werden kann.
Das ist danz einfach eine 10. Aber die von Dir gegebene Hochzahl ist falsch.
Das richtige Ergebnis Deiner Rechnung ist: [mm] 9,93*^10^{-11} [/mm]
> Und, ist das so wie ich das überlegt habe richtig?
> Irgendwie hab ich an meiner Idee noch Zweifel, vor allem
> wegen der Aufgabe, die danach kommt!
Das Ergebnis wäre das ENDergebnis, wenn beim Lotto die 6 Zahlen auch noch IN DER GEZOGENEN REIHENFOLGE getippt werden müssten.
Da das (zum Glück) nicht der Fall ist und man die 6 richtigen Zahlen auf 6*5*4*3*2*1=720 verschiedene Arten ziehen kann, musst Du nun noch mit 720 multiplizieren, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit P("6 Richtige") zu erhalten!
mfG!
Zwerglein
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Danke für die Antwort.
Aber ich verstehe das jetzt nicht mit der richtigen Hochzahl ($ [mm] 9,93\cdot{}^10^{-11} [/mm] $)
wieso war mein ergebnis falsch?
und welche zahl (und wieso) muss ich jetzt mit 720 multiplizieren? das ist mir noch nich so ganz klar, sorry
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 So 06.05.2007 | | Autor: | Kroni |
> Danke für die Antwort.
> Aber ich verstehe das jetzt nicht mit der richtigen
> Hochzahl ([mm] 9,93\cdot{}10^{-11} [/mm])
> wieso war mein ergebnis falsch?
Dein Ergebnis war eigentlich richtig.
Nur: Das E , welches dein Taschenrechner dir anzeigt, heißt einfach, dass man die Zahl nehmen muss, und ein [mm] \cdot 10^{Zahl} [/mm] dahinter schreiben muss, wobei Zahl die Zahl ist, die der TR hinter dem E anzeigt.
Also war dein Ergebnis richtig, aber deine Notation in dem Sinne nicht.
Das 10 hoch irgendetwas heißt ja nur, dass dein Komma um ein Paar stellen verschoeben werden muss.
In deinem Fall ist die Zahl so klein, dass man dort eg 0,000...0093 schreiben müsste usw.
>
> und welche zahl (und wieso) muss ich jetzt mit 720
> multiplizieren? das ist mir noch nich so ganz klar, sorry
Du hast folgerichtig gerechnet, dass man für sechs Richtige 1/49 * 1/48 ...*1/44 rechnen muss.
Diese Rechnung besagt allerdings, dass man noch die Reihenfolge beachtet, in der die 6 Zahlen aufkommen.
Das ist ja beim Lotto eben nicht so:
Die Reihenfolge ist unwichtig.
Im Lotto ist es ja egal, in welcher Reihenfolge die Zahlen gezogen werden, hauptsache, man hat die Zahlen angekreuzt!
Und um eben diese "Egalität" der Reihenfolge dort mit in die Rechnung zu bekommen, musst du das noch mit 6!=720 multiplizieren:
Die 6! kommt zustande, da man die 6 Zahlen, die gezogen worden sind, auf 6! verschiedene Art und weisen anlegen kann (für die erste Zahl hast du 6 Plätze zur Auswahl, für die zweite noch 5 usw).
D.h. nehmen wir mal an, es seien die folgenden Sechs Zahlen gezogen worden:
1,2,3,4,5,6
Wenn du jetzt sagst, die Wahrscheinlichkeit für 6 richtige sei 1/49*1/48*...*1/44, dann sagst du damit, dass man nur dann gewinnt, wenn man die Zahlen auch in der Reihenfolge angekreuzt hat, und die Zahlen in dieser Reihenfolge gezogen worden sind.
Was aber, wenn die Reihenfolge der Ziehung so wäre:
2,1,3,4,5,6 ?
Dann hast du doch immer noch 6 richtige.
Nach deiner Rechnung aber, hättest du dann nicht gewonnen, da du die Reihenfolge nich beachtet hast.
Nun gut, also muss man noch diese Beachtung der Reihenfolge entfernen:
Auf wie viele Art und weisen kann man die 6 Zahlen anordnen?
Genau, auf 6!
Also multipliziert man dein Ergebnis mit 6!=720 und erhält die richtige Wahrscheinlihckeit für 6 richtige.
Nur ganz nebenbei:
Kennst du schon den sog. Binomialkoeffizienten, der genutzt wird für "Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge"?
LG
Kroni
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also ich weiß jetzt nicht genau, was du mit dem binomialkoeffizeint meinst, auf jeden fall kenne ich das wort und es kam auch schon mal in unserer mathe stunde vor 
ich glaube man kann das auch iwie mit "binompdf" des taschenrechners lösen!
aber dann weiß ich auch nicht genau, was ich eintippen muss
ich glaube aber:
p(6 richtige) = [mm] binompdf(49,\bruch{1}{49},6)
[/mm]
ist das richtig?
also können wir damit jetzt sagen, dass merlen nicht richtig gerechnet hat, oder ?
also die richtige lösung ist doch:
[mm] (\bruch{1}{49}*\bruch{1}{48}*\bruch{1}{47}*\bruch{1}{46}*\bruch{1}{45}*\bruch{1}{44})*720 [/mm]
= [mm] 7,15112384\varepsilon^{-11}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] p(6 Richtige) 0,000007151123842 %
oder wie jetzt?
wollt mich jetzt schon mal bei euch bedanken ihr helft mir echt weiter!!
danke!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 So 06.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich kenne leider deinen Taschenrechner nicht, und weiß deshalb nicht, was du dort eingeben musst.
Aber normalerweise sollte man da etwas mit Combinations eingeben :
1/(49C6), so gehts bei meinem Rechner.
Der Binomialkoeffizient sieht so aus:
[mm] \vektor{49\\6}
[/mm]
Wenn ihr den noch nicht hattet, dann ist das auch egal.
Auf jeden Fall ist dein Ergebnis nun richtig (bis auf die Potenz! Es muss [mm] *10^{-8} [/mm] heißen).
Wie du siehst, ist die Wahrscheinlichkeit, in Lotto 6 Richtige zu bekommen, sehr sehr gering.
Und ja: Damit hat Merlen falsch gerechnet, denn wenn ich mich recht erinnere, hat sie ja eine Bernoulli-Kette benutzt, was natürlich nicht geht, da man ja nicht "mit Zurücklegen" zeiht.
Lieben Gruß,
Kroni
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