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| Aufgabe | x'(t) = x(t) - [mm] (x(t))^4
[/mm]
x(0) = 2 |
Hi,
ich habe versucht, die Bernoulli-DGL durch die Substitution
[tex]v(t) = [mm] (x(t))^-3[\tex] [/mm] zu lösen und hab erhalten:
[tex]v(t) = [mm] Ce^{3t}.[\tex]
[/mm]
Jetzt habe ich Schwierigkeiten, das Ganze wieder rückzusubstituieren, obwohl das für euch wahrscheinlich eher simpel ist.
Da [tex]x^-3 = [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]x}[\tex], [/mm] ergibt das dann
[tex]x(t) = ln [mm] (Ce^{3t})^3 ?[\tex]
[/mm]
Ich denke,dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe, da das das doch ein etwas merkwürdieger Ausdruck ist und auch verdächtig aussieht, wenn ich dann das AWP lösen will.
Könnte mir jemand helfen, damit ich herausfinde, wo mein fehler liegt?
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Hallo bluescience,
> x'(t) = x(t) - [mm](x(t))^4[/mm]
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> x(0) = 2
> Hi,
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> ich habe versucht, die Bernoulli-DGL durch die
> Substitution
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> [tex]v(t) = [mm](x(t))^-3[\tex][/mm] zu lösen und hab erhalten:
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> [tex]v(t) = [mm]Ce^{3t}.[\tex][/mm]
Das musst Du noch mal nachrechnen.
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> Jetzt habe ich Schwierigkeiten, das Ganze wieder rückzusubstituieren, obwohl das für euch wahrscheinlich eher simpel ist.
[mm]v\left(t\right) = \left(\ x\left(t\right) \ \right)^{-3}[/mm]
Irgendwie mußt Du erreichen, daß auf der rechten Seite der Exponent 1 steht.
Demnach mußt Du beide Seiten mit dem Exponent a potenzieren:
[mm]\left(v\left(t\right)\right)^{a} = \left(\left(\ x\left(t\right) \ \right)^{-3}\right)^{a}[/mm]
[mm]\gdw \left(v\left(t\right)\right)^{a} = \left(\ x\left(t\right) \ \right)^{-3a}[/mm]
Da [mm]-3a=1[/mm] sein soll, folgt [mm]a=-\bruch{1}{3}[/mm]
Demnach gilt: [mm]x\left(t\right)=\left( \ v\left(t\right) \ \right)^{-\bruch{1}{3}}[/mm]
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> Da [tex]x^-3 = [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]x}[\tex],[/mm] ergibt das dann
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> [tex]x(t) = ln [mm](Ce^{3t})^3 ?[\tex][/mm]
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> Ich denke,dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe, da das das doch ein etwas merkwürdieger Ausdruck ist und auch verdächtig aussieht, wenn ich dann das AWP lösen will.
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> Könnte mir jemand helfen, damit ich herausfinde, wo mein fehler liegt?
Gruß
MathePower
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