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Hallo liebes Team,
die DGL lautet:
[mm] y'+(x-\frac{1}{x})y+x+e^{-x^2}+y^{-1}=0. [/mm] y(1)=1
Ich habe die DGL soweit gelöst, aber ich denke meine Lösuung ist falsch.
Mein Ansatz:
[mm] z=y^2
[/mm]
z'=2*y*y' [mm] \Rightarrow y'=\frac{z'}{2y}
[/mm]
Dann setze ich das ein und bekomme eine lin. DGL erster Ordnung.
Die Lösung lautet [mm] z_h(x)=\frac{x^2}{e^{x^2}}C.
[/mm]
Der nächste Schritt ist die Variation der Konstanten.
Da bekomme ich für C(x) heraus -ln(x)
Das heißt [mm] z_s(x)= -ln(x)*\frac{x^2}{e^{x^2}}
[/mm]
Also
[mm] z_a(x)= z_h(x)+z_s(x)=\frac{x^2}{e^{x^2}}C-ln(x)*\frac{x^2}{e^{x^2}}
[/mm]
das heißt
[mm] y^2=\frac{x^2}{e^{x^2}}C-ln(x)*\frac{x^2}{e^{x^2}}
[/mm]
d.h.
[mm] y=\wurzel{\frac{x^2}{e^{x^2}}C-ln(x)*\frac{x^2}{e^{x^2}}}
[/mm]
ich setze den Punkt ein und es gilt.
[mm] 1=\wurzel{\frac{c}{e}} \gdw1=\frac{c}{e} \rightarrow [/mm] c=e
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Fr 17.07.2009 | | Autor: | wogie |
> Hallo liebes Team,
>
> die DGL lautet:
>
> [mm]y'+(x-\frac{1}{x})y+x+e^{-x^2}+y^{-1}=0.[/mm] y(1)=1
>
> Ich habe die DGL soweit gelöst, aber ich denke meine
> Lösuung ist falsch.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]z=y^2[/mm]
> z'=2*y*y' [mm]\Rightarrow y'=\frac{z'}{2y}[/mm]
>
>
> Dann setze ich das ein und bekomme eine lin. DGL erster
> Ordnung.
> Die Lösung lautet [mm]z_h(x)=\frac{x^2}{e^{x^2}}C.[/mm]
Bist du dir da sicher? Skizzier doch mal den Lösungsweg, da ich glaube, dass das schon falsch ist
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Fr 17.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich bekomme bei der Substitution keine lineare Dgl.
du hast offensichtlich mit y multipl. aber vergessen, dass dann da [mm] (x+e^{-x^2})*\wurzel{y} [/mm] steht.
Gruss leduart
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Hallo,
meine DGL war falsch. Hier die richtige:
$ [mm] y'+(x-\frac{1}{x})y+x*e^{-x^2}*y^{-1}=0. [/mm] $ | [mm] *\frac{1}{y^{-1}}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \frac{y'}{y^{-1}}+(x-\frac{1}{x})\frac{y}{y^{-1}}+x*e^{-x^2}=0
[/mm]
Mein Ansatz:
[mm] z=y^2
[/mm]
z'=2y*y'
Da müsste aber eine Lineare Dgl 1.Ordnung heraus kommen...
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Sa 18.07.2009 | | Autor: | wogie |
> Hallo,
>
> meine DGL war falsch. Hier die richtige:
>
>
> [mm]y'+(x-\frac{1}{x})y+x*e^{-x^2}*y^{-1}=0.[/mm] |
> [mm]*\frac{1}{y^{-1}}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\frac{y'}{y^{-1}}+(x-\frac{1}{x})\frac{y}{y^{-1}}+x*e^{-x^2}=0[/mm]
>
> Mein Ansatz:
> [mm]z=y^2[/mm]
> z'=2y*y'
>
> Da müsste aber eine Lineare Dgl 1.Ordnung heraus
> kommen...
>
>
> Liebe Grüße
Das stimmt auch. Die kann man dann einfach mit Trennung der Variablen lösen. Dein Ergebnis müsste stimmen. Danach Variation der Konstanten. Bis auf den Vorfaktor bei der speziellen Lösung sieht auch alles ganz gut aus.
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Hallo Saschsen-Junge,
> Hallo liebes Team,
>
> die DGL lautet:
>
> [mm]y'+(x-\frac{1}{x})y+x+e^{-x^2}+y^{-1}=0.[/mm] y(1)=1
>
> Ich habe die DGL soweit gelöst, aber ich denke meine
> Lösuung ist falsch.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]z=y^2[/mm]
> z'=2*y*y' [mm]\Rightarrow y'=\frac{z'}{2y}[/mm]
>
>
> Dann setze ich das ein und bekomme eine lin. DGL erster
> Ordnung.
> Die Lösung lautet [mm]z_h(x)=\frac{x^2}{e^{x^2}}C.[/mm]
>
> Der nächste Schritt ist die Variation der Konstanten.
>
> Da bekomme ich für C(x) heraus -ln(x)
Da Du die DGL hier korrigiert hast,
bin ich auf [mm]C\left(x\right)=-\red{2}*\ln\left(x\right)[/mm] gekommen..
>
> Das heißt [mm]z_s(x)= -ln(x)*\frac{x^2}{e^{x^2}}[/mm]
>
> Also
>
> [mm]z_a(x)= z_h(x)+z_s(x)=\frac{x^2}{e^{x^2}}C-ln(x)*\frac{x^2}{e^{x^2}}[/mm]
>
> das heißt
>
> [mm]y^2=\frac{x^2}{e^{x^2}}C-ln(x)*\frac{x^2}{e^{x^2}}[/mm]
> d.h.
> [mm]y=\wurzel{\frac{x^2}{e^{x^2}}C-ln(x)*\frac{x^2}{e^{x^2}}}[/mm]
>
> ich setze den Punkt ein und es gilt.
>
> [mm]1=\wurzel{\frac{c}{e}} \gdw1=\frac{c}{e} \rightarrow[/mm] c=e
Die Konstante c ist richtig.
Gruß
MathePower
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