Bernoulli, Unabhängigkeit < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Dani_NM |
| Aufgabe 1 | | Ein Glücksrad ist in 5 Teile unterteilt, die in verschiedenen Farben lackiert sind. Nur wenn das Rad auf "Rot" stehen bleibt, gewinnt der Spieler. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er bei 20 Spielen nur das zweite Mal? |
| Aufgabe 2 | | Ein Betrieb stellt Armbanduhren her von denen 5 % fehlerhaft sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 50 rein zufällig entnommenen Uhren nur zwei fehlerbehaftete (und zwar die ersten beiden)? |
| Aufgabe 3 | | Zwei Jäger schießen gleichzeitig und unabhängig auf einen Hasen. Der Erste Jäger trifft mit 30 % Wahrscheinlichkeit, der zweite mit 50 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Hase getroffen? |
Zur 1) Wenn nur das zweite Mal gewonnen wird, heißt ja dass man insgesamt 19 mal verliert. Wenn ich jetzt 1/5 x 4/5 hoch 19 schreibe, lege ich ja nur fest dass man einmal gewinnt und 19 mal verliert oder? Wer kann mir denn sagen, wie man das schreibt, dass man eben genau beim zweiten Mal gewinnt? Komme leider nicht drauf.
Zur 2) Eigentlich dasselbe Problem wie bei 1). dachte mir: 2 aus 50 x 0,05² x 0,95 hoch 48. Aber so habe ich doch wieder nicht festgelegt, dass genau die ersten beiden defekt sind oder? Bitte um Hilfe.
Zur 3) Habe das mit 4-Felder-Tafel versucht und 0,65 bzw. 65 % herausbekommen. Habe die Schnittmenge berechnet indem ich das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten errechnet habe (weil es ja heißt die Jäger schießen unabhängig voneinander). Stimmt hier die Lösung?
Hab die Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Vielen Dank, Daniela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Dani,
> Zur 1) Wenn nur das zweite Mal gewonnen wird, heißt ja
> dass man insgesamt 19 mal verliert. Wenn ich jetzt 1/5 x
> 4/5 hoch 19 schreibe, lege ich ja nur fest dass man einmal
> gewinnt und 19 mal verliert oder? Wer kann mir denn sagen,
> wie man das schreibt, dass man eben genau beim zweiten Mal
> gewinnt? Komme leider nicht drauf.
Naja, die Wahrscheinlichkeit, dass man nur beim zweiten Mal gewinnt, ist genauso groß, wie die W., dass man nur beim ersten Mal gewinnt.
Und genauso groß wie die W., dass man nur beim n-ten Mal [mm] ($1\le n\le20$) [/mm] gewinnt!
(Die W., die du berechnet hast, ist richtig!)
Was dich wahrscheinlich verwirrt, ist folgendes:
Wenn ich nach der W. fragen würde, dass man genau einmal gewinnt (EGAL WANN), dann käme etwas anderes heraus (kennst du schon die Binomialverteilung?). Denn gäbe es nämlich insgesamt 20 Möglichkeiten, WANN ich dieses eine Mal verliere. Also wäre die W. für dieses Ereignis ("GENAU einmal gewinnen") 20-mal so hoch, wie die W., nur im n-ten Spiel zu gewinnen.
> Zur 2) Eigentlich dasselbe Problem wie bei 1). dachte mir:
> 2 aus 50 x 0,05² x 0,95 hoch 48. Aber so habe ich doch
> wieder nicht festgelegt, dass genau die ersten beiden
> defekt sind oder? Bitte um Hilfe.
Wie du schon sagst - hier gilt dasselbe wie bei Aufgabe 1!
> Zur 3) Habe das mit 4-Felder-Tafel versucht und 0,65 bzw.
> 65 % herausbekommen. Habe die Schnittmenge berechnet indem
> ich das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten errechnet
> habe (weil es ja heißt die Jäger schießen unabhängig
> voneinander). Stimmt hier die Lösung?
65% ist richtig! 
Frag bitte nochmal nach, wenn dir etwas unklar geblieben ist, ok?
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Dani_NM |
Ja das kenn ich und kann Ich *g*. Diese Formel braucht man auch für Bernoulli-Ketten, richtig?! Die Wahrscheinlichkeit bei 20 Spielen genau 3 zu gewinnen beträgt: B (20;1/5;3) = 0,20536 oder (leider kann ich diese spezielle "Sprache" nicht um das schöner darzustellen: 3 aus 20 x 1/5 hoch 3 mal 4/5 hoch 17.
Ja dass der Zeitpunkt hier egal ist, hab ich jetzt definitiv verstanden!
Schade dass du so weit weg wohnst, hätte dich sonst als Nachhilfelehrer engagiert *g*.
Vielen Dank und schönen Abend noch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Dani_NM |
Nun, mich hat das wirklich verwirrt weil da eben bei der 1. Aufgabe steht "nur das zweite Mal" und bei der 2. Aufgabe "nur zwei und zwar die ersten beiden". Ich dachte es wäre hier vielleicht wichtig eben das genau zu zeigen wann (bei 1) der Gewinn eintritt und (bei 2) diese fehlerhaften Uhren gezogen werden. Ja Binomialverteilung hatten wir, leider hab ichs nicht wirklich verstanden :o( Aber mich freuts dass ich die Aufgaben ohne fremde Hilfe lösen konnte (wobei das für dich als angehenden Lehrer sicher lächerliche Fragen sind ).
Trotzdem vielen Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Nein, Dani, "lächerliche" Fragen gibt es gar nicht!
Aber dir ist jetzt klar, dass der Zeitpunkt, wann man nun das eine Mal gewinnt (ob nur beim ersten, nur beim dritten oder nur beim n-ten Mal), für die Wahrscheinlichkeit keine Rolle spielt?!
Wichtig ist nur, dass man irgendeinen Zeitpunkt vorgibt, wann es passieren soll!
Wenn man dies nämlich nicht vorgibt, ist es egal, wann dieser eine Gewinn auftritt. Und für genau diese Fälle braucht man die Binomialverteilung. Die gibt nämlich die Wahrscheinlichkeit an, genau $k$ Erfolge bei $n$ Versuchen zu haben. Die Formel kennst du sicher:
[mm] $\vektor{n \\ k}\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{(n-k)}$.
[/mm]
Würde man bei Aufgabe 1 nach der Wahrscheinlichkeit fragen, bei 20 Spielen genau einmal zu gewinnen, müsste man genau diese Formel anwenden: $k$ wäre dann $1$, $n$ wäre $20$ und $p$ ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen (oben war ja [mm] $p=\bruch{1}{5}$).
[/mm]
Der Binomialkoeffizient [mm] $\vektor{n \\ k}$ [/mm] gibt dabei gerade die Anzahl der möglichen Anordnungen an, die es gibt, $k$ Siege unter $n$ Spielen zu "verteilen".
Falls du Lust hast:
Rechne doch mal die Wahrscheinlichkeit aus, bei 20 Spielen mit obigem Glücksrad genau dreimal zu gewinnen!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Do 09.02.2006 | | Autor: | Dani_NM |
Ich kenne diese Formel, die benötigt man auch bei Bernoulli-Ketten, oder?! Die Lösung wäre (leider kann ich diese spezielle Sprache hier nicht um das schöner darzustellen): 3 aus 20 x 1/5³ x 4/5 hoch 17 oder B (20;1/5;3). Vielen Dank für die Hilfe nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 09.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Dani,
> Ich kenne diese Formel, die benötigt man auch bei
> Bernoulli-Ketten, oder?! Die Lösung wäre (leider kann ich
> diese spezielle Sprache hier nicht um das schöner
> darzustellen): 3 aus 20 x 1/5³ x 4/5 hoch 17 oder B
> (20;1/5;3). Vielen Dank für die Hilfe nochmal.
Ja genau, Bernoulli-Experimente sind Experimente, die nur zwei mögliche Ausgänge haben (Erfolg oder Misserfolg). Und Bernoulli-Ketten sind einfach mehrere Bernoulli-Experimente hintereinander.
Das heißt, interessiert man sich für die W., in 20 Versuchen genau 3 Erfolge zu haben, so wendet man genau diese Formel an:
$ [mm] \vektor{20 \\ 3} \cdot \left( \bruch{1}{5} \right)^{3} \cdot \left( \bruch{4}{5} \right)^{17}$.
[/mm]
Der Binomialkoeffizient gibt dabei gerade die Anzahl der Möglichkeiten an, mit denen man diese 3 Erfolge auf 20 Versuche verteilen kann, und das sind genau [mm] $\vektor{20 \\ 3}=1140$.
[/mm]
Will man aber (wie z.B. bei deinen Aufgaben), dass die 3 Erfolge an einer bestimmten "Stelle" passieren sollen (z.B. in den ersten drei Versuchen oder im 1., 3., 16. Versuch, usw), dann gibt es eben nur eine mögliche Anordnung. Deshalb fällt der Binomialkoeffizient weg und die W. wäre [mm] $\left( \bruch{1}{5} \right)^{3} \cdot \left( \bruch{4}{5} \right)^{17}$.
[/mm]
Übrigens: Diese "spezielle Sprache" ist zwar sehr kryptisch, aber man gewöhnt sich dran - probiers doch einfach mal aus...
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Do 09.02.2006 | | Autor: | Dani_NM |
Das heißt also in meinen beiden Fällen, dass ich den Binomialkoeffizient weglassen muss?
Sprich bei der ersten Aufgabe: 1/5 x 4/5 hoch 19 und bei der zweiten Aufgabe: 0,05² x 0,95 hoch 48??? Wenn das jetzt so stimmt dann bist du ein sehr guter Nachhilfelehrer und ich habs verstanden *zwinker*.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Do 09.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Dani,
genau, den musst du in beiden Fällen weglassen!
Freut mich, wenn ich dir helfen konnte!
MFG,
Yuma
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