Bernoullische Ungleichung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Sa 19.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Beweisen Sie unter Verwendung von Eigenschaften konvexer Funktionen die Bernoullische Ungleichung
[mm] (1+x)^s>=1+s*x [/mm] für alle x>-1 und reele s<=0 oder s>=1.
Was gilt für 0<s<1? |
Ich weiß, dass für konvexe Funktionen gilt: f(h+x)>=f(x)+h*f´(x)
Auf Bernoulli übertragen heißt das:
[mm] (1+(x+h)^s>=(1+x)^s+h*(s*(1+x)^{s-1})=(1+x)^s>=(1+x)^s+hs(1+x)^{s-1}
[/mm]
Und das soll nun größer/gleich zu 1+s*(h+x) sein.
Ich scheitere aber an der Umformung. Kann mir da vielleicht einer helfen?
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> Beweisen Sie unter Verwendung von Eigenschaften konvexer
> Funktionen die Bernoullische Ungleichung
>
> [mm](1+x)^s>=1+s*x[/mm] für alle x>-1 und reele s<=0 oder s>=1.
>
> Was gilt für 0<s<1?
> Ich weiß, dass für konvexe Funktionen gilt:
> f(h+x)>=f(x)+h*f´(x)
Schreib besser auch noch ausdrücklich hin, wie Dein Funktionsterm für $f$ lautet.
> Auf Bernoulli übertragen heißt das:
>
> [mm](1+(x+h))^s>=(1+x)^s+h*(s*(1+x)^{s-1})=(1+x)^s>=(1+x)^s+hs(1+x)^{s-1}[/mm]
Du musst hier einfach nur $x=0$ setzen. Dies ergibt:
[mm](1+h)^s\geq 1+sh[/mm]
Deine Variable ist dann halt $h$ und Du erhältst die Bernoullische Ungleichung mit dieser Variablen $h$ anstelle von $x$. Wenn Dir dies nicht gefällt, musst Du eben die Bedeutung von $h$ und $x$ vertauschen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 So 20.01.2008 | | Autor: | DerGraf |
Super! Danke für deine Hilfe. Ich glaub, ich denke manchmal einfach zu kompliziert und übersehe dabei die einfachsten Lösungen. :)
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