Bernoullische Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:37 Mo 19.01.2009 | | Autor: | noel_b |
Wie kommt man von der Bernoullischen Ungleichung
[mm] (1+x)^{n} \ge [/mm] 1+nx für x [mm] \ge [/mm] -1 und n [mm] \in \IN [/mm] zu der nachfolgenden Form:
[mm] (1+x)^{n} \le \bruch{1}{1-nx} [/mm] für -1 [mm] \le [/mm] x < [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Gruß [mm] noel_b
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:48 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie kommt man von der Bernoullischen Ungleichung
> [mm](1+x)^{n} \ge[/mm] 1+nx für x [mm]\ge[/mm] -1 und n [mm]\in \IN[/mm] zu der
> nachfolgenden Form:
> [mm](1+x)^{n} \le \bruch{1}{1-nx}[/mm] für -1 [mm]\le[/mm] x < [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Gruß [mm]noel_b[/mm]
durch ersetzen von $x$ durch $-x$ (was dann nach Voraussetzung $> -1$ ist, da aus $x < 1/n [mm] \le [/mm] 1$ ($n [mm] \in \IN$) [/mm] insbesondere $x < 1$ und damit $-x > -1$ folgt) liefert die Bernoullische Ungleichung
[mm] $$(1-x)^n \ge 1-nx\,.$$
[/mm]
Weil hier nach Voraussetzung $1-nx > 0$ ist, ist das gleichwertig zu
[mm] $$\blue{(\star_1)}\;\;\;\frac{1}{1-nx} \ge \frac{1}{(1-x)^n}=(1-x)^{-n}\,.$$
[/mm]
Nun wollen wir noch
[mm] $$\red{(\star_2)}\;\;\;(1-x)^{-n} \ge (1+x)^n$$ [/mm] begründen:
Aus $-1 [mm] \le [/mm] x < 1/n [mm] \le [/mm] 1$ ($n [mm] \in \IN$) [/mm] folgt insbesondere $0 [mm] \le 1-x^2=(1-x)*(1+x) \le 1\,,$ [/mm] und damit für jedes $n [mm] \in\IN$ [/mm] auch
[mm] $$(1-x^2)^n \le 1\,,$$
[/mm]
was [mm] $(1-x)^n(1+x)^n \le [/mm] 1$ zur Folge hat. Das letztstehende kann man, da wegen $x < 1/n [mm] \le [/mm] 1$ ($n [mm] \in \IN$)auch [/mm] $1-x > 0$ sein muss, durch [mm] $(1-x)^n\;\;(>0)$ [/mm] dividieren, so dass
[mm] $(1+x)^n \le \frac{1}{(1-x)^n}=(1-x)^{-n}$ [/mm] folgt.
Also: [mm] $\blue{(\star_1)}$ [/mm] liefert zusammen mit [mm] $\red{(\star_2)}$
[/mm]
[mm] $$\frac{1}{1-nx} \ge \frac{1}{(1-x)^n}=(1-x)^{-n} \underset{\red{(\star_2)}}{\ge}(1+x)^n\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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