Bernoullizahlen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Fr 05.05.2006 | | Autor: | achso |
| Aufgabe | | Zeigen Sie daß die Funktion f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}, [/mm] f(x) = [mm] \frac{x}{e^x - 1} [/mm] für x [mm] \neq [/mm] 0, f(0) = 0 in der Umgebung des Nullpunktes eine Potenzreihendarstellung [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}B_k x^k [/mm] besitzt deren Koeffizienten der Formel [mm] B_0 [/mm] = 1; [mm] \sum_{j=0}^{k} {(k+1)\choose j} B_j [/mm] = 0 genügen. |
Hallo erstmal.
Also bei dieser Aufgabe komme ich nicht so richtig weiter. Was ich bereits versucht habe ist folgendes: Ich habe [mm] e^x [/mm] durch die Potenzreihe ersetzt und anschließend mit dem Nenner [mm] (e^x [/mm] - 1) multipliziert (--> Cauchyprodukt). Ich komme dann auf:
x = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \frac{B_{n-k}}{(n-k)!} \right) x^n [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} B_k x^k
[/mm]
So, und hier hänge ich jetzt. (Ich hoffe das Cauchyprodukt stimmt zumindest).
Wenn ich x=0 einsetze ist das ja trivial und beweist garnichts. Wenn ich x=1 einsetze benötige ich die ganzen [mm] B_k [/mm] s. Die Rekursionsformel für die [mm] B_k [/mm] kann ich hier ja auch nicht einbauen, oder?
Über Hinweise würde ich mich freuen.
Schönen Gruß,
achso
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo achso!
> Zeigen Sie daß die Funktion f: [mm]\mathbb{R} \to \mathbb{R},[/mm]
> f(x) = [mm]\frac{x}{e^x - 1}[/mm] für x [mm]\neq[/mm] 0, f(0) = 0 in der
> Umgebung des Nullpunktes eine Potenzreihendarstellung
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}B_k x^k[/mm] besitzt deren
> Koeffizienten der Formel [mm]B_0[/mm] = 1; [mm]\sum_{j=0}^{k} {(k+1)\choose j} B_j[/mm]
> = 0 genügen.
> Hallo erstmal.
>
> Also bei dieser Aufgabe komme ich nicht so richtig weiter.
> Was ich bereits versucht habe ist folgendes: Ich habe [mm]e^x[/mm]
> durch die Potenzreihe ersetzt und anschließend mit dem
> Nenner [mm](e^x[/mm] - 1) multipliziert (--> Cauchyprodukt).
Der Ansatz ist super!
> Ich komme dann auf:
>
> x = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \frac{B_{n-k}}{(n-k)!} \right) x^n[/mm]
> - [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} B_k x^k[/mm]
>
> So, und hier hänge ich jetzt. (Ich hoffe das Cauchyprodukt
> stimmt zumindest).
> Wenn ich x=0 einsetze ist das ja trivial und beweist
> garnichts. Wenn ich x=1 einsetze benötige ich die ganzen
> [mm]B_k[/mm] s. Die Rekursionsformel für die [mm]B_k[/mm] kann ich hier ja
> auch nicht einbauen, oder?
>
> Über Hinweise würde ich mich freuen.
Versuch es doch mal leicht anders:
Zuerst kannst du [mm] $\frac{e^x - 1}{x}$ [/mm] wieder als eine ganz einfache Potenzreihe ausdruecken: [mm] $e^x [/mm] - 1 = [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}$ [/mm] und somit [mm] $\frac{e^x - 1}{x} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{(k + 1)!}$.
[/mm]
Jetzt mach das ganze nochmal mit dem Cauchy-Produkt, und wenn du das so einsetzt dass du nicht [mm] $B_{n-k}$ [/mm] sondern [mm] $B_k$ [/mm] da stehen hast (wie bei deiner alten Rechnung) dann bist du im Prinzip fertig 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Fr 05.05.2006 | | Autor: | achso |
Hallo Felix,
vielen Dank für die Antwort.
Peinliche Sache - weil ich die Möglichkeit der Indexverschiebung irgendwie verdrängt habe hatte ich extra darauf geachtet daß die Potenzreihe mit der ich multipliziere bei k=0 beginnt. Oh Gott :(
Jetzt klappt es aber, da sich bei
1 = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^n \frac{B_k}{k!} \frac{1}{(n-k+1)!} \right)x^n
[/mm]
in der Summe alle [mm] x^i [/mm] mit gleicher Potenz i aufgrund der [mm] B_k [/mm] wegkürzen und nur die 1 für n=0 übrigbleibt.
Danke nochmal für den Tip!
Schönen Gruß,
achso
Ps: Gar nicht so einfach hier den "Antwortbutton" zu finden - die Mitteilung kam dem am nächsten ;)
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Hallo liebe Mathe-Liebhaber und Kenner,
kann mir jemand sagen, wie und worauf man das Cauchyprodukt anwendet, sd. man auf die Summenformel mit den Bernoullizahlen kommt?
Vielen Dank!
Anna-Ella 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Mo 27.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna-Ella,
> kann mir jemand sagen, wie und worauf man das Cauchyprodukt
> anwendet, sd. man auf die Summenformel mit den
> Bernoullizahlen kommt?
um [mm] $\frac{x}{e^x - 1}$ [/mm] als Potenzreihe zu entwickeln, macht man meistens diesen Trick: man schreibt [mm] $\frac{x}{e^x - 1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ [/mm] mit (noch) Unbekannten [mm] $a_k \in \IC$. [/mm] Dann multipliziert man mit [mm] $e^x [/mm] - 1$, setzt fuer [mm] $e^x$ [/mm] die Potenzreihenentwicklung ein, und multipliziert dann die beiden Reihen mittels des Cauchy-Produkts. Und dann macht man einen Koeffizientenvergleich, um Gleichungen fuer die [mm] $a_k$ [/mm] zu erhalten und sie damit zu bestimmen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 So 10.12.2006 | | Autor: | Agathon |
lesen Sie in
http://www.mathe-seiten.de/bernoulli.pdf
Mit freundlichen Grüssen
Agathon
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