Bernstein-Polynome Abbilden < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 So 15.01.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass die Bernstein-Polynome
[mm] B_0(x)=(1-x)^2, B_1(x)=2x(1-x) [/mm] und [mm] B_2(x)= x^2
[/mm]
eine Basis für den Raum [mm] P_2 [/mm] der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2 bilden, und geben sie eine Darstellung der Monome 1,x und [mm] x^2 [/mm] bezüglich dieser Basis an. |
Hallöchen,
Hier habe ich mir überlegt [mm] x^2 [/mm] ist wie [mm] x_1, [/mm] x ist wie [mm] x_2 [/mm] und 1 ist wie [mm] x_3 [/mm] um mir das besser vorzustellen. Dann habe ich die Polynome ausmultipliziert und habe dadurch:
[mm] B_0(x)=x^2-2x+1
[/mm]
[mm] B_1(x)=-2x+2x
[/mm]
[mm] B_2(x)=x^2
[/mm]
Diese Sollen nun die Basis sein.
Daraus folgt doch, dass [mm] LH={\vektor{x^2 \\ -2x \\ 1}, \vektor{-2x^2 \\ 2x \\ 0}, \vektor{x^2 \\ 0 \\ 0}}
[/mm]
Da diese linear unabhängig sind stelle ich eine Matrix auf:
[mm] M_L^{B,B}= \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0}
[/mm]
So wenn ich diese Matrix nun nehme und ausrechne, worauf [mm] x^2, [/mm] x und 1 abgebildet wird:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0} \vektor{x^2 \\ x \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{x^2-2x+1 \\ -2x^2 + 2x \\ x^2}
[/mm]
Somit folgt:
[mm] x^2 \mapsto x^2-2x+1
[/mm]
x [mm] \mapsto -2x^2+2x
[/mm]
1 [mm] \mapsto x^2
[/mm]
Doch dann ist mir aufgefallen, dass quasi fast das selbe da steht wie am Anfang...
Daraus folgt meine Frage, was genau hab ich hier falsch gemacht?!
Gruß Phil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die [mm] B_i [/mm] als Linearkombination der [mm] e_i [/mm] dargestellt, du willst die Umkehrung:
[mm] 1=a_0*B_0+b_0*B_1+c_0*B_2
[/mm]
[mm] x=a_1*B_0+b_1*B_1+c_1*B_2
[/mm]
[mm] x^2=...
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 15.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Achso,
[mm] x^2 [/mm] = a * [mm] (x^2-2x+1) [/mm] + b * [mm] (-2x^2+2x) [/mm] + c * [mm] x^2
[/mm]
x = a * [mm] (x^2-2x+1) [/mm] + b * [mm] (-2x^2+2x) [/mm] + c * [mm] x^2
[/mm]
1 = a * [mm] (x^2-2x+1) [/mm] + b * [mm] (-2x^2+2x) [/mm] + c * [mm] x^2
[/mm]
Das rechts vom Gleichzeichen lös ich auf zu
[mm] x^2*(a-2b+c) [/mm] + x*(-2a+2b) + 1 * (a)
dann löse ich jede Zeile auf und kriege dann:
[mm] x^2 \mapsto \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
x [mm] \mapsto \vektor{ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ 1}
[/mm]
1 [mm] \mapsto \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
somit erhalte ich:
r * [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + s * [mm] \vektor{ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
und die Matrix:
M = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Aber wo genau habe ich jetzt die [mm] x^2 [/mm] und x und 1 verlohren? dir müssen doch auch noch irgendwo vorkommen.
Muss ich in den Vektoren anstatt der 1 z.B. [mm] B_0 [/mm] hinschreiben? also so:
anstatt [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] das: [mm] \vektor{ x^2-2x+1 \\ -2x^2+2x \\ x^2 }
[/mm]
?
Gruß Phil
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 So 15.01.2012 | | Autor: | Philphil |
hallo,
Ah danke schön. Ich hab mir die AUfgabe nochmal angeschaut und hab die Variante gewählt:
[mm] x^2 \mapsto [/mm] ...
und so weiter
Danke dir.
Gruß Phil
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