Berührende Ellipse an Kreis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Mi 19.09.2012 | | Autor: | alexz |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Kreis und zwei Punkte außerhalb des Kreises, so dass deren Verbindungsstrecke ebenfalls außerhalb des Kreises liegt.
Gesucht ist eine Ellipse, die die gegebenen Punkte als Brennpunkte hat und den Kreis berührt. |
Wie kann man eine solche Ellipse bzw. den Berührpunkt auf dem Kreis konstruieren (z.B. in GeoGebra)?
Da eine Ellipse durch ihre zwei Brennpunkte und einen weiteren Punkt auf der Ellipse eindeutig bestimmt ist, ist der gesuchte Berührpunkt der Punkt auf dem Kreis, dessen Summe der euklidischen Abstände zu den Brennpunkten minimal ist.
Diesen analytisch zu berechnen ist einfach, die Frage ist aber, ob und wie man ihn konstruieren kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Mi 19.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist ein Kreis und zwei Punkte außerhalb des
> Kreises, so dass deren Verbindungsstrecke ebenfalls
> außerhalb des Kreises liegt.
> Gesucht ist eine Ellipse, die die gegebenen Punkte als
> Brennpunkte hat und den Kreis berührt.
> Wie kann man eine solche Ellipse bzw. den Berührpunkt auf
> dem Kreis konstruieren (z.B. in GeoGebra)?
Zeichne zuerst die Strecke zwischen den beiden Brennpunkten.
Konstruiere dann den Mittelpunkt dieser Strecke.
Verbinde dann den Mittelpunkt der Brennpunkte mit dem Mittelpunkt des Kreises mit einem Stahl. Die Schnittpunkte dieses Strahles mit dem Kreis sollte dann deine Berührpunkte des Kreises mit den beiden möglichen Ellipsen sein.
EDIT: Danke reverend für den Hinweis mit den zwei Ellipsen.
>
> Da eine Ellipse durch ihre zwei Brennpunkte und einen
> weiteren Punkt auf der Ellipse eindeutig bestimmt ist, ist
> der gesuchte Berührpunkt der Punkt auf dem Kreis, dessen
> Summe der euklidischen Abstände zu den Brennpunkten
> minimal ist.
> Diesen analytisch zu berechnen ist einfach, die Frage ist
> aber, ob und wie man ihn konstruieren kann.
Siehe oben.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Mi 19.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
das kann doch nicht stimmen.
> Zeichne zuerst die Strecke zwischen den beiden
> Brennpunkten.
> Konstruiere dann den Mittelpunkt dieser Strecke.
>
> Verbinde dann den Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt des
> Kreises. Der Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecke sollte
> dann dein Berührpunkt des Kreises mit der Ellipse sein.
Beispiel: gegeben die beiden Punkte (0;1) und (0;-1) und ein Kreis mit dem Mittelpunkt (2;2) und dem Radius 1.
Der Berührpunkt liegt nun aber nicht auf der Geraden y=x.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Mi 19.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo reverend
> Hallo Marius,
>
> das kann doch nicht stimmen.
>
> > Zeichne zuerst die Strecke zwischen den beiden
> > Brennpunkten.
> > Konstruiere dann den Mittelpunkt dieser Strecke.
> >
> > Verbinde dann den Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt des
> > Kreises. Der Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecke sollte
> > dann dein Berührpunkt des Kreises mit der Ellipse sein.
>
> Beispiel: gegeben die beiden Punkte (0;1) und (0;-1) und
> ein Kreis mit dem Mittelpunkt (2;2) und dem Radius 1.
> Der Berührpunkt liegt nun aber nicht auf der Geraden
> y=x.
Da bin ich mir relativ sicher.
Hier mal die Skizze dazu, mit beiden möglichen Ellipsen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Grüße
> reverend
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Mi 19.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
sehr hübsch. Da spielt Dir die Linienstärke einen Streich... 
Die Normale der Ellipse am vermeintlichen Berührpunkt liegt doch nicht in Richtung der Geraden y=x. Das müsste sie aber, wenn die Konstruktion richtig wäre.
Du siehst es deutlicher, wenn Du mal den Kreis auf den Radius 2 vergrößerst und die Brennpunkte der Ellipse gleich lässt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Mi 19.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo reverend.
ich vermute, hier ist das Problem, dass die Gerade durch die beiden Brennpunkte schon den Kreis berührt. Das dürfte fast schon den Voraussetzungen widersprechen.
Mit deinem Beispiel kann man aber in der Tat nur die "kreiseinschliessende" Ellipse konstruieren.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 19.09.2012 | | Autor: | alexz |
Diese Konstruktion ist leider nicht richtig.
Siehe angehängtes Bild.
> Zeichne zuerst die Strecke zwischen den beiden Brennpunkten.
> Konstruiere dann den Mittelpunkt dieser Strecke.
>
> Verbinde dann den Mittelpunkt der Brennpunkte mit dem
> Mittelpunkt des Kreises mit einem Stahl. Die Schnittpunkte
> dieses Strahles mit dem Kreis sollte dann deine
> Berührpunkte des Kreises mit den beiden möglichen
> Ellipsen sein.
Grüße
Alexander
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mi 19.09.2012 | | Autor: | alexz |
Danke noch für den Hinweis, dass es zwei berührende Ellipsen gibt.
Entsprechend gibt es analytisch auch zwei Lösungen, mit minimaler bzw. maximaler Summe der euklidischen Abstände
(vom Punkt auf dem Kreis zu den Brennpunkten der Ellipse).
Alexander
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Mi 19.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo alexz,
Das ist eine interessante Aufgabe.
> Gegeben ist ein Kreis und zwei Punkte außerhalb des
> Kreises, so dass deren Verbindungsstrecke ebenfalls
> außerhalb des Kreises liegt.
> Gesucht ist eine Ellipse, die die gegebenen Punkte als
> Brennpunkte hat und den Kreis berührt.
> Wie kann man eine solche Ellipse bzw. den Berührpunkt auf
> dem Kreis konstruieren (z.B. in GeoGebra)?
>
> Da eine Ellipse durch ihre zwei Brennpunkte und einen
> weiteren Punkt auf der Ellipse eindeutig bestimmt ist, ist
> der gesuchte Berührpunkt der Punkt auf dem Kreis, dessen
> Summe der euklidischen Abstände zu den Brennpunkten
> minimal ist.
So eindeutig ist es doch nicht. Es gibt ja immer zwei Lösungen, nämlich eine, bei der Kreis und Ellipse kein gemeinsames Gebiet haben (also von außen "aneinanderstoßen") und eine, bei der der Kreis vollständig in der Ellipse liegt. Im letzteren Fall ist die Summe der euklidischen Abstände des Berührpunkts zu den Brennpunkten maximal.
> Diesen analytisch zu berechnen ist einfach, die Frage ist
> aber, ob und wie man ihn konstruieren kann.
Nur zur Sicherheit: Du meinst wohl die Konstruktion mit Lineal und Zirkel, oder?
Im Moment bin ich allerdings noch vollkommen ratlos, wie das gehen kann - egal welche der beiden Ellipsen gesucht ist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Mi 19.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo reverend
> Hallo alexz,
>
> Das ist eine interessante Aufgabe.
In der Tat.
>
> > Gegeben ist ein Kreis und zwei Punkte außerhalb des
> > Kreises, so dass deren Verbindungsstrecke ebenfalls
> > außerhalb des Kreises liegt.
> > Gesucht ist eine Ellipse, die die gegebenen Punkte als
> > Brennpunkte hat und den Kreis berührt.
> > Wie kann man eine solche Ellipse bzw. den Berührpunkt
> auf
> > dem Kreis konstruieren (z.B. in GeoGebra)?
> >
> > Da eine Ellipse durch ihre zwei Brennpunkte und einen
> > weiteren Punkt auf der Ellipse eindeutig bestimmt ist, ist
> > der gesuchte Berührpunkt der Punkt auf dem Kreis, dessen
> > Summe der euklidischen Abstände zu den Brennpunkten
> > minimal ist.
>
> So eindeutig ist es doch nicht. Es gibt ja immer zwei
> Lösungen, nämlich eine, bei der Kreis und Ellipse kein
> gemeinsames Gebiet haben (also von außen
> "aneinanderstoßen") und eine, bei der der Kreis
> vollständig in der Ellipse liegt. Im letzteren Fall ist
> die Summe der euklidischen Abstände des Berührpunkts zu
> den Brennpunkten maximal.
An diese Lösung hatte ich überhaupt nicht gedacht, ich versuche gleich aber mal, ob man mit der Konstruktion aus meiner Antwort diesen Fall mit abdecken kann.
>
> > Diesen analytisch zu berechnen ist einfach, die Frage ist
> > aber, ob und wie man ihn konstruieren kann.
>
> Nur zur Sicherheit: Du meinst wohl die Konstruktion mit
> Lineal und Zirkel, oder?
> Im Moment bin ich allerdings noch vollkommen ratlos, wie
> das gehen kann - egal welche der beiden Ellipsen gesucht
> ist.
>
> Grüße
> reverend
Marius
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Hallo alexz,
> Wie kann man eine solche Ellipse bzw. den Berührpunkt auf
> dem Kreis konstruieren (z.B. in GeoGebra)?
Eine Möglichkeit der Konstruktion ist die ![[]](/images/popup.gif) Gärtnerkonstruktion.
Den Berührpunkt kann man dabei entweder nach der Methode von Marius (M.Rex) finden oder über eine Gärtnerkonstruktion mit einer Variation der Fadenlänge (bis die Ellipse genau den Kreis berührt).
Letzteres ist zwar keine klassische "Konstruktion" im strengen mathematischen Sinn, hat aber den Vorteil, dass man sehr schnell eine Näherungslösung findet - ganz ohne Rechnung und Einsatz eines Computers.
Schöne Grüße
franzzink
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mi 19.09.2012 | | Autor: | alexz |
Wenn es irgendwie gelänge die richtige Länge der großen Halbachse zu konstruieren, dann könnte man aus dieser Idee noch eine vollständige Konstruktion machen.
Wie das gehen soll, weiß ich aber nicht.
Alexander
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Mi 19.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
reverend hat mit seiner Mitteilung von 11:46 Uhr durchaus recht. Wenn man als Voraussetzung stellt, dass die Gerade durch die beiden Ellipsenbrennpunkte keine Tangente zum Kreis ist, müsstest du mit "meiner Konstruktionsidee" aber schaffen. Bei Sekanten und Passanten müsste das ganze aber funktionieren.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 19.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
nein, Marius, das reicht immer noch nicht.
> reverend hat mit seiner Mitteilung von 11:46 Uhr durchaus
> recht. Wenn man als Voraussetzung stellt, dass die Gerade
> durch die beiden Ellipsenbrennpunkte keine Tangente zum
> Kreis ist, müsstest du mit "meiner Konstruktionsidee" aber
> schaffen. Bei Sekanten und Passanten müsste das ganze aber
> funktionieren.
Tuts aber nicht.
Wenn B der Berührpunkt ist, die beiden Brennpunkte [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] und M der Mittelpunkt des Kreises, dann ist die Gerade [mm] \overline{MB} [/mm] gerade die Winkelhalbierende des Winkels [mm] \sphericalangle{F_1MF_2}.
[/mm]
Dies folgt aus der Brennpunkteigenschaft der Ellipse.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Mi 19.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo nochmal,
>
> nein, Marius, das reicht immer noch nicht.
>
> > reverend hat mit seiner Mitteilung von 11:46 Uhr durchaus
> > recht. Wenn man als Voraussetzung stellt, dass die Gerade
> > durch die beiden Ellipsenbrennpunkte keine Tangente zum
> > Kreis ist, müsstest du mit "meiner Konstruktionsidee" aber
> > schaffen. Bei Sekanten und Passanten müsste das ganze aber
> > funktionieren.
>
> Tuts aber nicht.
>
> Wenn B der Berührpunkt ist, die beiden Brennpunkte [mm]F_1[/mm] und
> [mm]F_2[/mm] und M der Mittelpunkt des Kreises, dann ist die Gerade
> [mm]\overline{MB}[/mm] gerade die Winkelhalbierende des Winkels
> [mm]\sphericalangle{F_1MF_2}.[/mm]
> Dies folgt aus der Brennpunkteigenschaft der Ellipse.
>
> Grüße
> reverend
Da hast du vollkommen Recht vermutlich ist das auch die Konstruktion, die du benötigst, um die Aufgabe zu lösen.
>
>
Marius
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Hallo alexz,
wie schon weiter oben beschrieben, muss ja folgendes gelten:
Sind [mm] F_1, F_2 [/mm] die Brennpunkte der Ellipse, M der Mittelpunkt des Kreises und B der Berührpunkt, so ist die Gerade [mm] \overline{MB} [/mm] die Winkelhalbierende des Winkels [mm] \sphericalangle{F_1\blue{B}F_2}. [/mm] (korrigiert)
Daraus folgt auch, dass der an [mm] \overline{MB} [/mm] gespiegelte Punkt [mm] F_1, [/mm] nennen wir ihn [mm] F_1', [/mm] auf der Geraden [mm] \overline{BF_2} [/mm] liegt.
Nun frage ich mich gerade, was der geometrische Ort aller Spiegelungen von [mm] F_1 [/mm] an Geraden durch M ist. Ich nehme an, es handelt sich um den Kreis um M mit dem Radius [mm] |\overline{MF_1}|, [/mm] kann das aber gerade noch nicht beweisen. Das liegt u.a. daran, dass ich noch bis heute Abend meiner Berufstätigkeit nachgehe und nur ganz zwischendurch einmal "Luft" habe, über diese Aufgabe nachzudenken. edit: das ist leicht zu beweisen!
Jedenfalls habe ich die starke Vermutung, dass eine Konstruktion - sofern überhaupt existent - mit diesem gesuchten geometrischen Ort der Spiegelungen von [mm] F_1 [/mm] an Geraden durch M zu tun hat.
edit: Mir fehlt noch der Zusammenhang zwischen einem Punkt auf dem ursprünglichen Kreis und einem auf dem "neuen" weiter außen liegenden. Klar, Doppelwinkel - aber wie lässt sich das in eine geometrische Konstruktion übersetzen? Wie man einen Winkel verdoppelt, wissen wir wohl alle, aber wenn der Winkel noch gar nicht bekannt ist...
Vielleicht bringt es ja Dich oder jemand anderen auf eine weiterführende Idee.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mi 19.09.2012 | | Autor: | alexz |
Hallo reverend,
> Nun frage ich mich gerade, was der geometrische Ort aller
> Spiegelungen von $ [mm] F_1 [/mm] $ an Geraden durch M ist. Ich nehme an,
> es handelt sich um den Kreis um M mit dem Radius
> [mm]|\overline{MF_1}|,[/mm] kann das aber gerade noch nicht
> beweisen.
das ist korrekt. Bei Spiegelungen von $ [mm] F_1 [/mm] $ an Geraden durch M, muss der gespiegelte Punkt $ [mm] F_1' [/mm] $ denselben Abstand von M haben wie der Ausgangspunkt.
Damit müssen alle diese Punkte auf diesem Kreis liegen.
Umgekehrt geht für einen beliebigen Punkt G auf dem Kreis die Mittelsenkrechte (=Spiegelachse) von G und $ [mm] F_1 [/mm] $ durch M.
> Jedenfalls habe ich die starke Vermutung, dass eine Konstruktion - sofern
> überhaupt existent - mit diesem gesuchten geometrischen Ort der Spiegelungen
> von $ [mm] F_1 [/mm] $ an Geraden durch M zu tun hat.
Das Problem ist aber symmetrisch in $ [mm] F_1 [/mm] $ und $ [mm] F_2 [/mm] $. Wenn es eine Konstruktion
gibt, muss diese ebenfalls symmetrisch bzgl. $ [mm] F_1 [/mm] $ und $ [mm] F_2 [/mm] $ sein.
Deswegen ist auch der Kreis um M mit Radius [mm]|\overline{MF_2}|,[/mm] genauso interessant.
Ich bin jedenfalls sehr gespannt, ob es eine konstruktive Lösung gibt.
Alexander
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Mi 19.09.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo,
Der Kreis und die Punkte [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] sind ja gegeben. Somit ist auch der Kreismittelpunkt M bekannt (oder lässt sich leicht konstruieren).
> wie schon weiter oben beschrieben, muss ja folgendes
> gelten:
>
> Sind [mm]F_1, F_2[/mm] die Brennpunkte der Ellipse, M der
> Mittelpunkt des Kreises und B der Berührpunkt, so ist die
> Gerade [mm]\overline{MB}[/mm] die Winkelhalbierende des Winkels
> [mm]\sphericalangle{F_1MF_2}.[/mm]
Wenn dies gilt, so ergibt sich ja B als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von [mm]\sphericalangle{F_1MF_2}[/mm] und der Kreislinie.
Damit können nun die beiden Halbachsen a und b der Ellipse konstruiert werden. Damit ist das Problem gelöst oder sollte ich etwas übersehen haben?
Grüße
franzzink
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Mi 19.09.2012 | | Autor: | alexz |
Hallo,
> > wie schon weiter oben beschrieben, muss ja folgendes gelten:
> >
> > Sind [mm]F_1, F_2[/mm] die Brennpunkte der Ellipse, M der
> > Mittelpunkt des Kreises und B der Berührpunkt, so ist die
> > Gerade [mm]\overline{MB}[/mm] die Winkelhalbierende des Winkels
> > [mm]\sphericalangle{F_1MF_2}.[/mm]
Da hat sich glaube ich ein kleiner Vertipper eingeschlichen:
Die Gerade [mm]\overline{MB}[/mm] ist die Winkelhalbierende des Winkels [mm]\sphericalangle{F_1BF_2}.[/mm] und aber nicht des Winkels [mm]\sphericalangle{F_1MF_2}.[/mm].
Alexander
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mi 19.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ja, das ist in der Tat ein Tippfehler mit fundamentalen Folgen. Ich verbessere das gleich.
Danke für den Hinweis.
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:40 Mi 26.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo alexz,
es ist mir in den letzten Tagen nicht gelungen, eine Lösung zu finden, was natürlich nicht heißt, dass es keine gibt.
Dennoch scheint mir, dass das so ist. Dies zu beweisen, ist allerdings eine ganz andere Hausnummer...
In der übernächsten Woche habe ich Urlaub, vielleicht komme ich dann noch einmal dazu, mich der Aufgabe zu widmen, die spannend bleibt.
Mal sehen, ob jemand anderes noch eine Idee hat. Die Laufzeit der Frage ist ja noch ziemlich lang.
Herzliche Grüße und viel Erfolg allen, die sich an der Aufgabe versuchen,
reverend
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Hallo,
seien:
- M der Mittelpunkt des gegebenen Kreises
- r der Radius dieses Kreises
- [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] die beiden gegebenen Punkte (und Brennpunkte der gesuchten Ellipse)
- a und b die Halbachsen der gesuchten Ellipse
- B der gesuchte Berührpunkt von Kreis und Ellipse
- P der Schnittpunkt der Geraden [mm] \overline{MB} [/mm] und [mm] \overline{F_1 F_2}
[/mm]
- Z der Schnittpunkt der Tangente an den Kreis durch B und der Geraden [mm] \overline{F_1 F_2}
[/mm]
so gilt meines Erachtens nach:
1. P und Z teilen die Strecke $ [mm] [F_1 F_2] [/mm] $ harmonisch.
2. M liegt auf einer Ellipse mit den Halbachsen (a+r) und (b+r) und Brennpunkten auf der Geraden [mm] \overline{F_1 F_2}, [/mm] wobei [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] NICHT die Brennpunkte dieser zweiten Ellipse sind.
Vielleicht kann jemand noch etwas mit diesen Informationen anfangen...
Schöne Grüße
franzzink
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Hallo alle Mitdenkenden,
ich habe versucht, mit der Methode der Lagrange-
Multiplikatoren und mittels Mathematica die allgemeine
Lösung für den nächsten Berührpunkt zu finden.
Ich wollte insbesondere wissen, welche Wurzelgrade
die Lösungsterme enthalten würden, um etwas über
die ZL-Konstruierbarkeit aussagen zu können.
An einer allgemeinen Lösung (zwar spezialisiert auf
den Kreis [mm] k:x^2+y^2=1 [/mm] ) arbeitete aber Mathematica
scheinbar endlos.
Erst ich auch noch für die Brennpunktkoordinaten konkrete
ganzzahlige Zahlenwerte einsetzte, lieferte dann Mathematica
zügig die exakten Werte für die Lösungskoordinaten.
Daraus, dass schon beim ersten frei gewählten Beispiel
in den entstandenen Lösungstermen Kubikwurzeln
stehen blieben, kann man schließen, dass der
entsprechende Lösungspunkt im Allgemeinen nicht
mittels Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.
LG
Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Do 27.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit Zirkel und Lineal sagt die Rechng von al, geht es nicht. aber mit Geogebra schon.
zeichne den Kreis k mit gegebenem Radius und die 2 Punkte F1 und F2, ziehe von F1 zu einem beliebigen Punkt P von k eine Gerade g1 , zeichne dann die Gerade durch den Mittelpunkt und P, dann spiegle g1 an der radialen Geraden.
jetzt zieh P auf dem Kreis, bis g1' durch F2 geht. dann ist P der Berührpunkt
Gruss leduart
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> Hallo
> mit Zirkel und Lineal sagt die Rechng von al, geht es
> nicht. aber mit Geogebra schon.
> zeichne den Kreis k mit gegebenem Radius und die 2 Punkte
> F1 und F2, ziehe von F1 zu einem beliebigen Punkt P von k
> eine Gerade g1 , zeichne dann die Gerade durch den
> Mittelpunkt und P, dann spiegle g1 an der radialen
> Geraden.
> jetzt zieh P auf dem Kreis, bis g1' durch F2 geht. dann
> ist P der Berührpunkt
> Gruss leduart
Hallo leduart,
die Anweisung "zieh P der Kreislinie entlang, bis eine
gewisse Koinzidenz eintritt" ist natürlich auch dann
diskutabel, wenn sie mit Geogebra durchgeführt wird.
Auch mittels Geogebra kann man Koinzidenzen nicht
exakt feststellen.
Für praktische Zwecke mag eine solche Lösung (die
jedoch nichts anderes ist als eine mit recht gutem
Werkzeug ausgeführte "Probierlösung") aber allemal
genügen.
LG Al
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