Berührpunkt < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionenschar [mm] f_{k}(x)=(1-x)*e^{k-kx}.
[/mm]
Weisen Sie nach,dass sich alle Kurven der Schar in einem Punkt berühren.
Zeigen Sie,dass es keinen weiteren Punkt gibt,durch den mehr als eine Scharkurve verläuft. |
Hallo zusammen^^
Bei dieser Aufgabe komme ich nicht mehr weiter.
Also ich hab mir gedacht,dass zwei Funktionen [mm] f_{a}(x) [/mm] und [mm] f_{b}(x) [/mm] sich dann berühren,wenn [mm] f_{a}(x)=f_{b}(x) [/mm] und [mm] f_{a}'(x)=f_{b}'(x) [/mm] ist.
Dann hab ich mir das so aufgeschrieben:
[mm] (1-x)*e^{a-ax}=(1-x)*e^{b-bx}
[/mm]
Ich weiß aber nicht wie ich diese Gleichung nach x auflösen,denn durch (1-x) darf ich nicht teilen,wenn dann nur für x ungleich 1.
Ich weiß aber zufällig,dass die Berührstelle bei x=1 liegt.
Daher weiß ich nicht,wie ich hier nach x auflösen soll.
Und dann die Ableitungen:
[mm] e^{a-ax}*(-1-a+ax)=e^{b-bx}*(-1-b+bx)
[/mm]
Hier ist das gleiche Problem,ich kann das einfach nicht nach x auflösen.
Wie gehe ich hier am besten vor?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mi 17.02.2010 | | Autor: | glie |
> Gegeben sei die Funktionenschar [mm]f_{k}(x)=(1-x)*e^{k-kx}.[/mm]
> Weisen Sie nach,dass sich alle Kurven der Schar in einem
> Punkt berühren.
> Zeigen Sie,dass es keinen weiteren Punkt gibt,durch den
> mehr als eine Scharkurve verläuft.
> Hallo zusammen^^
Hallo
>
> Bei dieser Aufgabe komme ich nicht mehr weiter.
> Also ich hab mir gedacht,dass zwei Funktionen [mm]f_{a}(x)[/mm] und
> [mm]f_{b}(x)[/mm] sich dann berühren,wenn [mm]f_{a}(x)=f_{b}(x)[/mm] und
> [mm]f_{a}'(x)=f_{b}'(x)[/mm] ist.
Schonmal sehr gut!
> Dann hab ich mir das so aufgeschrieben:
>
> [mm](1-x)*e^{a-ax}=(1-x)*e^{b-bx}[/mm]
>
> Ich weiß aber nicht wie ich diese Gleichung nach x
> auflösen,denn durch (1-x) darf ich nicht teilen,wenn dann
> nur für x ungleich 1.
Richtig erkannt!
Aber eines ist doch offensichtilich, für $x=1$ ist die Gleichung doch erfüllt, das heisst ja schonmal, dass sich zwei Graphen auf jeden Fall bei $x=1$ schneiden.
Und jetzt bleibt noch zu zeigen, dass es nur einen Schnittpunkt gibt.
Aber wenn x nicht 1 ist, dann kannst du ja durch $x-1$ teilen und dann erhältst du
[mm] $e^{a-ax}=e^{b-bx}$
[/mm]
Also
a-ax=b-bx
ax-bx=a-b
Und für a ungleich b gilt dann x=1
> Ich weiß aber zufällig,dass die Berührstelle bei x=1
> liegt.
> Daher weiß ich nicht,wie ich hier nach x auflösen soll.
>
> Und dann die Ableitungen:
>
> [mm]e^{a-ax}*(-1-a+ax)=e^{b-bx}*(-1-b+bx)[/mm]
>
> Hier ist das gleiche Problem,ich kann das einfach nicht
> nach x auflösen.
Musst du auch gar nicht, weise einfach nach, dass
[mm] $f_a'(1)=f_b'(1)$ [/mm] gilt.
Gruß Glie
>
> Wie gehe ich hier am besten vor?
>
> Vielen Dank
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Gegeben sei die Funktionenschar [mm]f_{k}(x)=(1-x)*e^{k-kx}.[/mm]
> > Weisen Sie nach,dass sich alle Kurven der Schar in
> einem
> > Punkt berühren.
> > Zeigen Sie,dass es keinen weiteren Punkt gibt,durch den
> > mehr als eine Scharkurve verläuft.
> > Hallo zusammen^^
>
> Hallo
>
> >
> > Bei dieser Aufgabe komme ich nicht mehr weiter.
> > Also ich hab mir gedacht,dass zwei Funktionen [mm]f_{a}(x)[/mm]
> und
> > [mm]f_{b}(x)[/mm] sich dann berühren,wenn [mm]f_{a}(x)=f_{b}(x)[/mm] und
> > [mm]f_{a}'(x)=f_{b}'(x)[/mm] ist.
>
> Schonmal sehr gut!
>
> > Dann hab ich mir das so aufgeschrieben:
> >
> > [mm](1-x)*e^{a-ax}=(1-x)*e^{b-bx}[/mm]
> >
> > Ich weiß aber nicht wie ich diese Gleichung nach x
> > auflösen,denn durch (1-x) darf ich nicht teilen,wenn dann
> > nur für x ungleich 1.
>
> Richtig erkannt!
> Aber eines ist doch offensichtilich, für [mm]x=1[/mm] ist die
> Gleichung doch erfüllt, das heisst ja schonmal, dass sich
> zwei Graphen auf jeden Fall bei [mm]x=1[/mm] schneiden.
> Und jetzt bleibt noch zu zeigen, dass es nur einen
> Schnittpunkt gibt.
> Aber wenn x nicht 1 ist, dann kannst du ja durch [mm]x-1[/mm]
> teilen und dann erhältst du
>
> [mm]e^{a-ax}=e^{b-bx}[/mm]
>
> Also
>
> a-ax=b-bx
> ax-bx=a-b
>
> Und für a ungleich b gilt dann x=1
>
> > Ich weiß aber zufällig,dass die Berührstelle bei x=1
> > liegt.
> > Daher weiß ich nicht,wie ich hier nach x auflösen
> soll.
> >
> > Und dann die Ableitungen:
> >
> > [mm]e^{a-ax}*(-1-a+ax)=e^{b-bx}*(-1-b+bx)[/mm]
> >
> > Hier ist das gleiche Problem,ich kann das einfach nicht
> > nach x auflösen.
>
> Musst du auch gar nicht, weise einfach nach, dass
>
> [mm]f_a'(1)=f_b'(1)[/mm] gilt.
Ok,ich habs jetzt hingekriegt.Vielen Dank nochmal =)
lg
> Gruß Glie
>
> >
> > Wie gehe ich hier am besten vor?
> >
> > Vielen Dank
> > lg
>
|
|
|
|
