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| Aufgabe | | Sei [mm] A\subseteq \IR [/mm] und a [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen Sie: a ist Häufungspunkt von A genau dann, wenn a Berührpunkt von A \ {a} ist. |
[mm] (\Rightarrow) [/mm] a ist Häufungspunkt von A, falls [mm] \forall\varepsilon>0:U_{\varepsilon}(a)\capA [/mm] enthält unendlich viele Punkte
a ist Berührpunkt von A, falls [mm] \forall\varepsilon>0:U_{\varepsilon}\capA\not=0
[/mm]
Daraus folgt die Hinrichtung schon, weil wenn im Durchschnitt unendlich viele Element liegen ist der Durchschnitt nicht 0
aber wie zeige ich die andere Richtung??
Bitte helft mir.glg steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Di 08.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]A\subseteq \IR[/mm] und a [mm]\in \IR.[/mm] Zeigen Sie: a ist
> Häufungspunkt von A genau dann, wenn a Berührpunkt von A
> \ {a} ist.
> [mm](\Rightarrow)[/mm] a ist Häufungspunkt von A, falls
> [mm]\forall\varepsilon>0:U_{\varepsilon}(a)\capA[/mm]
Du hast die Formel schlecht abgetippt, eigentlich sollte da erscheinen (wie man auch Deinem Quelltext entnimmt):
[mm]\forall\varepsilon>0:U_{\varepsilon}(a)\cap A[/mm] enthält...
> enthält
> unendlich viele Punkte
>
> a ist Berührpunkt von A, falls
> [mm]\forall\varepsilon>0:U_{\varepsilon}\capA\not=0[/mm]
s.o.: [mm]\forall\varepsilon>0:U_{\varepsilon}\cap A \not=\ldots[/mm]
> Daraus folgt die
> Hinrichtung
![[angst]](/images/smileys/angst.gif "[angst]") ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Hinrichtung
> schon, weil wenn im
> Durchschnitt unendlich viele Element liegen ist der
> Durchschnitt nicht 0
Das ist so, sei mir nicht böse, aber mehr oder weniger nur "Larifari" dahergesagt. Es gibt hier konstruktive Beweismethoden, oder aber, was ich gleich machen werde, Beweis (der jeweiligen Folgerung) (jeweils) durch Kontraposition (wird manchmal auch als eine bestimmte Art eines Widerspruchsbeweises interpretiert).
> aber wie zeige ich die andere Richtung??
> Bitte helft mir.glg steffi
Also nochmal kurz zur Richtung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] (die leere Menge [mm] $\emptyset$ [/mm] schreibt man übrigens mit dem Befehl [mm] [nomm]$\emptyset[/nomm]$):
[/mm]
Hier ist [mm] $a\,$ [/mm] HP (=Häufungspunkt) von [mm] $A\,.$ [/mm] Du hast zu zeigen: Für (ein jedes) [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ist [mm] $(U_\epsilon(a) \setminus\{a\}) \cap [/mm] A$ nicht leer.
Nimm' einfach mal das Gegenteil an: falls es ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ mit [mm] $(U_{\epsilon_0}(a) \setminus\{a\}) \cap A=\emptyset$ [/mm] gibt, so kann wegen [mm] $(U_{\epsilon_0}(a) \setminus\{a\}) \cap A=(U_{\epsilon_0}(a) \cap [/mm] A) [mm] \cap \{a\}^c=(U_{\epsilon_0}(a) \cap [/mm] A) [mm] \setminus \{a\}$ [/mm] hier nur [mm] $U_{\epsilon_0} \cap A=\emptyset$ [/mm] oder aber [mm] $U_{\epsilon_0} \cap A=\{a\}$ [/mm] gelten. Daher gilt [mm] $|U_{\epsilon_0} \cap [/mm] A| [mm] \le [/mm] 1$ und somit haben wir ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ gefunden, so dass [mm] $U_{\epsilon_0} \cap [/mm] A$ nicht unendlich viele Elemente hat. Widerspruch zur Annahme, dass [mm] $a\,$ [/mm] HP von [mm] $A\,$ [/mm] ist.
Zur Richtung [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Sei [mm] $a\,$ [/mm] BP (=Berührpunkt) von $A [mm] \setminus \{a\}\,.$ [/mm] Wir nehmen an, [mm] $a\,$ [/mm] wäre kein HP von [mm] $A\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass [mm] $U_{\epsilon_0}(a) \cap [/mm] A$ endlich ist, also [mm] $|U_{\epsilon_0}(a) \cap [/mm] A|=n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Setze nun [mm] $U':=(U_{\epsilon_0}(a) \cap [/mm] A) [mm] \setminus \{a\}$ [/mm] und [mm] $d:=\text{inf}\{|a-u'|: u' \in U'\}\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $d\,$ [/mm] sogar ein Minimum (Warum? Tipp: Begründe, dass $U'$ eine endliche Menge ist!) und damit gilt insbesondere $d > [mm] 0\,$ ($(\IR,d_{|.|})$ [/mm] ist ja ein metrischer Raum!).
Nun gilt aber (nach Definition von [mm] $d\,$), [/mm] dass
[mm] $(U_d(a) \cap [/mm] A) [mm] \subseteq \{a\}$
[/mm]
bzw.
[mm] $(U_d(a)\cap [/mm] A) [mm] \setminus \{a\}=\emptyset$
[/mm]
im Widerspruch dazu, dass...?
P.S.:
Den manchmal auftauchende Verschreiber [mm] $U_{\epsilon_0}$ [/mm] definiere ich nachträglich durch [mm] $U_{\epsilon_0}:=U_{\epsilon_0}(a)\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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