Berührpunkt nachweisen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen.
ich habe grade einen kleinen Panikanfall hinter mir. Morgen steht eine Mathearbeit dran und ich weis absolut nicht mehr wie ich Nachweisen kann das eine Nullstelle einer Funktion 'nur' ein Berührpunkt ist und kein Schnittpunkt.
Die Formel lautet: [mm] \bruch{1}{6} (x^{3}-3x^{2}-9x+27)
[/mm]
Die beiden Nullpunkte habe ich bereits ausgerechnet:
Sie lauten N1(-3,0) N2(3,0)
Nun soll ich aber rechnerisch nachweisen, das die Nullstelle N2 nur ein Berührpunkt ist und kein Schnittpunkt. ->keine Ahnung wie :-(
Wer kann mir helfen?
Danke schon mal im voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten,
auch Dir ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
> Die Formel lautet: [mm]\bruch{1}{6} (x^{3}-3x^{2}-9x+27)[/mm]
>
>
> Die beiden Nullpunkte habe ich bereits ausgerechnet:
> Sie lauten N1(-3,0) N2(3,0)
>
> Nun soll ich aber rechnerisch nachweisen, das die
> Nullstelle N2 nur ein Berührpunkt ist und kein
> Schnittpunkt. ->keine Ahnung wie :-(
Wenn sich zwei Kurven [mm] $K_f$ [/mm] und [mm] $K_g$ [/mm] (welcher Art auch immer, also z.B. auch Geraden) berühren sollen, müssen sie an dieser entsprechenden Stelle [mm] $x_B$ [/mm] die gleiche Steigung haben.
Die Steigung erhalten wir ja bekannterweise aus der 1. Ableitung ...
Es muß also gelten: [mm] $f'(x_B) [/mm] = [mm] g'(x_B)$
[/mm]
In unserem Fall ist die eine "Kurve" die x-Achse, und die hat überall die Steigung m = ... ??
Du mußt also für Deine Nullstellen nachweisen, daß sie auch die Steigung der x-Achse haben.
Siehst Du nun etwas klarer?
Grüße
Loddar
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort... leider bin ich aber kein Deut schlauer draus geworden.
Da die X-Achse ja nur an einem Punkt berührt wird, müsste ich ja die Steigung von einem einzigen Punkt der o.g. Funktion ausrechnen.
Aber da ein Punkt nur ein Punkt ist kann der doch gar keine Steigung haben, oder?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Torsten!
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort... leider bin ich
> aber kein Deut schlauer draus geworden.
>
> Da die X-Achse ja nur an einem Punkt berührt wird, müsste
> ich ja die Steigung von einem einzigen Punkt der o.g.
> Funktion ausrechnen.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau!
> Aber da ein Punkt nur ein Punkt ist kann der doch gar keine
> Steigung haben, oder?!
Nein, ein einzelner Punkt kann natürlich keine Steigung haben.
Denn an einem einzelnen Punkt kann man ja auch keine Tangente eindeutig anlegen ...
Aber wir können die Steigung einer Kurve in einem Punkt bzw. an einer (beliebigen) bestimmten Stelle [mm] $x_0$ [/mm] berechnen.
In unserem Fall soll die Kurve die x-Achse berühren. Die x-Achse ist eine horizontale Gerade, d.h. sie hat überall die Steigung [mm] $m_x [/mm] = 0$.
Die zu untersuchende Stelle ist die Nullstelle [mm] $x_N [/mm] = 3$. Du mußt also von Deiner gegebenen Funktion die 1. Ableitung $f'(x)$ bestimmen und dann zeigen, daß gilt: [mm] $f'(x_N) [/mm] = f'(3) = [mm] m_x [/mm] = 0$.
Probier' das mal und poste hier Deine Ergebnisse ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Mi 12.01.2005 | | Autor: | hantz |
loddar musst aber bedenken das auch sattelpunkte die steigung 0 haben
wenn er null herausbekommt ist damit noch nicht bewiesen das es eine tief/hoch punkt ist
@torsten
wenn du die steigung hast und bweisen kannst dass es keine andere nullstelle gibt baruchst du nur die steigung für 2 und 4 berechnen. gibts da nen vorzeichen wehcsel ist das der beweis für nen berüphrpunkt
wenn du die nullstellen mit differenziealrechnung und pq-formel berechnet hast ireicht das schon als beweis da du zwei mal das selbe ergebniss herausbekommen hast
x1=-3
x2=3
x3=3
und funktion dritten grades hat höchstens drei nullstellen und die hast du ja alle rausgefunden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo hantz,
!
> loddar musst aber bedenken das auch sattelpunkte die
> steigung 0 haben
> wenn er null herausbekommt ist damit noch nicht bewiesen
> das es eine tief/hoch punkt ist
Das ist mir völlig klar, war aber auch überhaupt nicht Bestandteil der Berechnung.
Es sollte lediglich die eine Nullstelle als Berührpunkt der x-Achse nachgewiesen werden ...
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mi 12.01.2005 | | Autor: | hantz |
für mich ist ein berührpunkt ein stelle des graphen der die x-achse nur in einem punkt beührt und nicht schneidet und das kann nur eine extremstelle. in diesem fall ist das ein tiefpunkt. die steigung null besagt das da entweder ein hochpunkt, tiefpunkt oder sattelstelle ist. also fehlt der beweis, da es sich bei der nullstelle um ein tiefpunkt handelt und keine sattelstelle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo hantz,
Du hast ja recht: ich habe mal wieder nur von 12 bis mittags gedacht!
Loddar
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Hallo hantz,
> für mich ist ein berührpunkt ein stelle des graphen der die
> x-achse nur in einem punkt beührt und nicht schneidet und
> das kann nur eine extremstelle. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> in diesem fall ist das ein
> tiefpunkt. die steigung null besagt das da entweder ein
> hochpunkt, tiefpunkt oder sattelstelle ist. also fehlt der
> beweis, da es sich bei der nullstelle um ein tiefpunkt
> handelt und keine sattelstelle
>
dies kann man entweder mit dem Vorzeichenwechselkriterium überprüfen:
* wenn f'(x) links und rechts dasselbe Vorzeichen hat, liegt ein Sattelpunkt vor;
* wenn f'(x) aber das Vorzeichen ändert, liegt ein (echter) Extrempunkt vor.
oder:
* man berechnet die zweite Ableitung und prüft auf [mm] f''(x)\ne0.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Cybrina |
Also, du musst zuerst die Ableitung deiner Funktion bilden:
f'(x)= [mm] \bruch{1}{6}(3x^{2}-6x-9)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}x^{2}-x-\bruch{3}{2}
[/mm]
Danach setzt du den x-Wert deiner Nullstelle, also 3 in die Ableitung ein:
[mm] f'(3)=\bruch{1}{2}3^{2}-3-\bruch{3}{2}
[/mm]
=0
Und da der Anstieg an dieser Stelle 0 ist, kann es nur eine Beruehrnullstelle sein.
Falls du noch keine Ableitungen in der Schule hattest, kannst du die Aufgabe auch loesen, in dem du den Grenzwert fuer n gegen 3+ und n gegen 3- bildest, falls dir das was sagt.
Ich hoffe, das hilft dir.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:39 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Torsten-BB |
Gibt es dort keinen Weg über's Horner-Schema oder über Polynom-Division?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Torsten-BB |
Jetzt nach der Arbeit hab ich es wieder gefunden!
Wenn man eine Nullstelle mt dem Hornerschema findet, hat man ja gleichzeitig das Restpolynom. Wenn in diesem Restpolynom ein weiterer Wert 0 ist, dann ist das ein Zeichen dafür, dass es sich bei Nullstelle um einen Berührpunkt handelt.
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
Was meinst Du damit? ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]"){kind=small}
