Berührpunkte Kreisen+Tangente < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Di 28.09.2010 | | Autor: | michi25 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Berührpunkte und Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind.
a) k: x²+y²=25 ; g:3x+4y=10 |
Hallo erstmal
vielleicht schreibe ich erstmal meine Ansätze:
da:
[mm] (x-x_{M})²+(y-y_{M})²=r²
[/mm]
k:
(x-0)²+(y-0)²=25
müsste M(0/0) sein und r=5.
g: 3x+4y=10
4y=10-3x
[mm] y=2,5-\bruch{3}{4}
[/mm]
Da die gesuchte Tangente zu g parallel ist , muss ja [mm] m(Steigung)=-\bruch{3}{4} [/mm] sein.
Somit muss die gesuchte Tangente die Gleichung :
[mm] y=-\bruch{3}{4}+n
[/mm]
haben.
Eigentlich muss ich ja zuerst den Berührpunkt ausrechnen, damit ich mit diesem Punkt den n Wert ausrechnen kann.
Aber wie genau komme ich jetzt auf diesen Punkt?
Danke im Vorraus
MfG Michi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 28.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie die Berührpunkte und Gleichungen der
> Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind.
>
> a) k: x²+y²=25 ; g:3x+4y=10
> Hallo erstmal
>
> vielleicht schreibe ich erstmal meine Ansätze:
>
> da:
>
> [mm](x-x_{M})²+(y-y_{M})²=r²[/mm]
>
> k:
> (x-0)²+(y-0)²=25
>
> müsste M(0/0) sein und r=5.
>
> g: 3x+4y=10
> 4y=10-3x
> [mm]y=2,5-\bruch{3}{4}[/mm]
Besser: [mm]y=2,5-\bruch{3}{4}x[/mm]
>
> Da die gesuchte Tangente zu g parallel ist , muss ja
> [mm]m(Steigung)=-\bruch{3}{4}[/mm] sein.
>
> Somit muss die gesuchte Tangente die Gleichung :
> [mm]y=-\bruch{3}{4}+n[/mm]
Besser: [mm]y=-\bruch{3}{4}x+n[/mm]
> haben.
>
> Eigentlich muss ich ja zuerst den Berührpunkt ausrechnen,
> damit ich mit diesem Punkt den n Wert ausrechnen kann.
> Aber wie genau komme ich jetzt auf diesen Punkt?
> Danke im Vorraus
> MfG Michi
>
>
>
Programm:
1. Setze [mm]y=-\bruch{3}{4}x+n[/mm] in die Gleichung [mm] x^2+y^2= [/mm] 25 ein. Diess liefert eine quadratische Gl. für x. Da ein Berührpunkt gesucht ist, darf dies Gl. nur eine Lösung haben. Daraus kannst Du n bestimmen.
2. Mit n aus 1. kannst Du dann den Berührpunkt berechnen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 28.09.2010 | | Autor: | michi25 |
Hi
also aber wenn ich die nun einsetze kommt ja raus :
[mm] x²+(-\bruch{3}{4}x+n)²= [/mm] 25
wenn ich dann die Wurzel ziehe und weiterrechne komme ich auf :
x=20-4n v x=-20-4n
wenn ich dies dann weiter einsetze:
n=0 v n=10
somit ist die Gleichung
[mm] y=-\bruch{3}{4}x+10
[/mm]
da sie ja nicht durch den Ursprung gehen kann.
Weiter weiß ich aber nicht wie ich jetzt den Berührpunkt ausrechnen kann.
Danke im vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Di 28.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi
> also aber wenn ich die nun einsetze kommt ja raus :
> [mm]x²+(-\bruch{3}{4}x+n)²=[/mm] 25
Hallo,
nimm für "hoch 2" nicht die Drittbelegung der Taste "2", sondern ^ 2
(das erscheint sonst nicht in Formeln.
> wenn ich dann die Wurzel ziehe und weiterrechne komme ich
> auf :
> x=20-4n v x=-20-4n
Das kann nicht sein. Die beiden Berührungspunkte liegen syymetrisch zum Ursprung, also muss für deine beiden x-Werte gelten [mm] x_1=-x_2.
[/mm]
Die Berührungspunkte kann man wesentlich einfacher finden. Wenn die Tangenten den Anstieg [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] haben, dann hat der dazu senkrechte Radius den Anstieg [mm] +\bruch{4}{3}, [/mm] außerdem liegt er auf einer Ursprungsgeraden. Schneide einfach die Gerade [mm] y=\bruch{4}{3}x [/mm] mit dem Kreis.
Gruß Abakus
> wenn ich dies dann weiter einsetze:
> n=0 v n=10
>
> somit ist die Gleichung
> [mm]y=-\bruch{3}{4}x+10[/mm]
> da sie ja nicht durch den Ursprung gehen kann.
>
> Weiter weiß ich aber nicht wie ich jetzt den Berührpunkt
> ausrechnen kann.
> Danke im vorraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Di 28.09.2010 | | Autor: | michi25 |
Perfekt, das habe ich verstanden, aber
wie ist das denn jetzt , wenn der Mittelpunkt des Kreises nicht im Ursprung liegt, sondern irgendwo.
Dann habe ich ja das Problem , dass ich nicht einfach die Senkrechte von der Tangente benutzen kann, da ich ja von der auch nicht den y-Achsenabschnitt kenne.
z.b wie hier:
k: [mm] (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5
[/mm]
g: 2x+y=10
Wir wissen ja schon, dass die gesuchte Tangente die Steigung -2 hat und der Mittelpunkt des Kreises ( 2/1 ) ist.
Und wie schon gesagt, wenn ich das jetzt so weiterprobiere habe ich das Problem, dass ich den n Wert nicht kenne.
Danke im Vorraus>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Di 28.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Perfekt, das habe ich verstanden, aber
>
> wie ist das denn jetzt , wenn der Mittelpunkt des Kreises
> nicht im Ursprung liegt, sondern irgendwo.
Der Berührungsradius geht IMMER durch den Kreismittelpunkt. Falls dieser nicht im Ursprung liegt, ist es nur keine Ursprungsgerade.
> Dann habe ich ja das Problem , dass ich nicht einfach die
> Senkrechte von der Tangente benutzen kann, da ich ja von
> der auch nicht den y-Achsenabschnitt kenne.
> z.b wie hier:
>
> k: [mm](x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5[/mm]
> g: 2x+y=10
> Wir wissen ja schon, dass die gesuchte Tangente die
> Steigung -2 hat und der Mittelpunkt des Kreises ( 2/1 )
> ist.
> Und wie schon gesagt, wenn ich das jetzt so weiterprobiere
> habe ich das Problem, dass ich den n Wert nicht kenne.
> Danke im Vorraus>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Di 28.09.2010 | | Autor: | michi25 |
Meinen sie jetzt , dass ich dennoch die Senkrechte in die Formel für den Kreis einsetzen soll?
Wenn ja, das habe ich jetzt gemacht, aber die Gleichung ist nicht lösbar , da schließlich in einer Wurzel eine negative Zahl rauskommt.
[mm] (x-2)^{2}+(0,5x+10-1)^{2}=5
[/mm]
[mm] x^{2}-4x+4+0,25x^{2}+9x+81=5
[/mm]
[mm] 1,25x^{2}+5x+80=0
[/mm]
[mm] x^{2}+4x+64=0
[/mm]
pq-Formel:
[mm] x_{1,2}=-2\bruch{+}{-}\wurzel{4-64}
[/mm]
Somit steht aber in der Wurzel eine negative Zahl
Danke im Vorraus
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Hallo michi25,
> Meinen sie jetzt , dass ich dennoch die Senkrechte in die
Wir sind hier alle per "Du".
Die Gleichung der "Senkrechten" bekommst Du
über die Punkt-Steigungsform:
[mm]\bruch{y-1}{x-2}=\bruch{1}{2}[/mm]
Diese Gleichung formst Du um, und setzt sie in
[mm]\left(x-2\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}=5[/mm]
ein.
> Formel für den Kreis einsetzen soll?
> Wenn ja, das habe ich jetzt gemacht, aber die Gleichung
> ist nicht lösbar , da schließlich in einer Wurzel eine
> negative Zahl rauskommt.
> [mm](x-2)^{2}+(0,5x+10-1)^{2}=5[/mm]
> [mm]x^{2}-4x+4+0,25x^{2}+9x+81=5[/mm]
> [mm]1,25x^{2}+5x+80=0[/mm]
> [mm]x^{2}+4x+64=0[/mm]
> pq-Formel:
> [mm]x_{1,2}=-2\bruch{+}{-}\wurzel{4-64}[/mm]
> Somit steht aber in der Wurzel eine negative Zahl
> Danke im Vorraus
>
Gruss
MathePower
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