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| Aufgabe | Zeige, in welchen Punkten die Graphen f und g sich treffen.
[mm] f(x)=e^{x^2}-1
[/mm]
[mm] g(x)=(e-1)*x^2 [/mm] |
Hallo,
ich habe hier ein kleines Problem: Ich weiß gar nicht wirklich wie das geht. Ist es so einfach, dass man nur beide Gleichungen gegeneinander setzen muss?
Also:
f(x)=g(x)
[mm] e^{x^2}-1=(e-1)*x^2
[/mm]
[mm] \bruch{e^{x^2}-1}{e-1}=x^2
[/mm]
$ [mm] \wurzel{\bruch{e^{x^2}-1}{e-1}}=x [/mm] $
Hmm, falls das denn so gemacht wird, wie bekomme ich dann richtige Werte heraus? Bzw. wie ziehe ich die Wurzel von e oder [mm] e^{x^2} [/mm] ?
Vielen Dank schon jetzt für eure Hilfe!
LG TryingHard
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Hallo TryingHard,
> Zeige, in welchen Punkten die Graphen f und g sich
> treffen.
>
> [mm]f(x)=e^{x^2}-1[/mm]
> [mm]g(x)=(e-1)*x^2[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe hier ein kleines Problem: Ich weiß gar nicht
> wirklich wie das geht. Ist es so einfach, dass man nur
> beide Gleichungen gegeneinander setzen muss?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Also:
>
> f(x)=g(x)
>
> [mm]e^{x^2}-1=(e-1)*x^2[/mm]
leider sehe ich auch keinen analytischen Weg, diese Gleichung zu lösen. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
>
> [mm]\bruch{e^{x^2}-1}{e-1}=x^2[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{e^{x^2}-1}{e-1}}=x[/mm]
>
> Hmm, falls das denn so gemacht wird, wie bekomme ich dann
> richtige Werte heraus? Bzw. wie ziehe ich die Wurzel von e
> oder [mm]e^{x^2}[/mm] ?
>
Ich habe die beiden Graphen zu f und g einfach mal gezeichnet, z.B. mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot und dann abgelesen, dass x = [mm] \pm1 [/mm] und x=0 wohl Schnittstellen sind.
Nachprüfen: [mm] $e^0 [/mm] -1 = (e-1)*0$ stimmt!
[mm] $e^{(\pm1)^2} [/mm] = [mm] (e-1)*(\pm1)^2 [/mm] $ stimmt auch!
Manchmal genügt intelligentes Probieren und Nachrechnen. 
Sollst du Schnittstellen oder Berührstellen ermitteln?
Zwei Graphen berühren sich, wenn sie sich schneiden und dort dieselbe Steigung haben.
Gruß informix
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:02 So 29.10.2006 | | Autor: | TryingHard |
Vielen Dank!
Ja, die Punkte habe ich mit einem Programm auch schon gefunden. Nur muss es ja eigentlich einen analytischen Weg geben, diese Punkte zu ermitteln, denn so, wenn ein Punkt jetzt z.B. bei 1,005 liegen würde, könnte man das ja aus einer Zeichnung nicht ablesen.
Ich würde mich freuen wenn irgendwer eine Idee hätte, wie ich die Berührungspunkte zweier Graphen analytisch berechnen kann.
LG TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 So 29.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo TryingHard!
Wie oben bereits angedeutet, ist es (leider) nicht immer möglich, derartige Gleichungen analytisch zu lösen.
Da bleiben dann doch einfach "nur" Näherungsverfahren, Probieren oder grafische Lösungen.
Und gerade bei e-Funktionen ist der analytische Weg oft nicht möglich. Hier lohnt aber fats immer ein Blick auf die Werte $_$, $1_$ oder auch $e_$ ...
Gruß
Loddar
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Okay,
dann erstmal Danke!
Dann habe ich noch eine Frage zu einer Aufgabenstellung:
| Aufgabe | | Für welche x [mm] \in [/mm] [0;1] ist die Differenz der Funktionswerte von f und g maximal? |
Was soll ich da genau machen?
LG TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 So 29.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Differenz der beiden Funktionen soll maximal werden. Dazu bilden wir doch erstmal die "Differenzfunktion" d(x)=g(x)-f(x), da ja g(x)>f(x) für 0<x<1
Also [mm] d(x)=(e-1)x²-e^{x²}=
[/mm]
Von ihr suchst du jetzt das Maximun, also einen Hochpunkt.
Diesen kannst du mit Hilfe der Ableitungen errechnen
Also [mm] d'(x)=2(e-1)x-2xe^{x²}
[/mm]
Das heisst:
[mm] 2(e-1)x-2xe^{x²}=0
[/mm]
[mm] \gdw 2x*[(e-1)-e^{x²}]=0
[/mm]
Das heisst
Entweder x=0, oder [mm] (e-1)-e^{x²}=0
[/mm]
Letzteres interessiert und aber nur, weil x=0 ein Schnittpunkt der Graphen ist, also der Abstand Null ist.
[mm] e-1=e^{x²} [/mm] |ln
[mm] \gdw [/mm] ln(e-1)=x² |Mit Logarithmengesetzen ergibt sich:
[mm] \gdw [/mm] ln(e-1)=x²
[mm] \gdw x=\pm\wurzel{e-1}
[/mm]
Hilft das erstmal weiter?
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Vielen, vielen Dank erstmal,
> Hallo
>
> Die Differenz der beiden Funktionen soll maximal werden.
> Dazu bilden wir doch erstmal die "Differenzfunktion"
> d(x)=g(x)-f(x), da ja g(x)>f(x) für 0<x<1
>
> Also [mm]d(x)=(e-1)x²-e^{x²}=[/mm]
Hier müsste die Differnzfunktion eigentlich [mm]d(x)=(e-1)x²-e^{x²}-1=[/mm] heißen, aber das tut ja nichts zur Sache, weil die 1 bei der Ableitung ja eh wegfallen würde, oder?
>
> Von ihr suchst du jetzt das Maximun, also einen Hochpunkt.
> Diesen kannst du mit Hilfe der Ableitungen errechnen
>
> Also [mm]d'(x)=2(e-1)x-2xe^{x²}[/mm]
>
> Das heisst:
>
> [mm]2(e-1)x-2xe^{x²}=0[/mm]
> [mm]\gdw 2x*[(e-1)-e^{x²}]=0[/mm]
> Das heisst
> Entweder x=0, oder [mm](e-1)-e^{x²}=0[/mm]
>
> Letzteres interessiert und aber nur, weil x=0 ein
> Schnittpunkt der Graphen ist, also der Abstand Null ist.
>
> [mm]e-1=e^{x²}[/mm] |ln
> [mm]\gdw[/mm] ln(e-1)=x² |Mit
> Logarithmengesetzen
> ergibt sich:
> [mm]\gdw[/mm] ln(e-1)=x²
> [mm]\gdw x=\pm\wurzel{e-1}[/mm]
So: hier habe ich eine kleine Frage: Fällt der Logarithmus naturalis automatisch weg, wenn man die Würzel zieht?
> Hilft das erstmal weiter?
Ja, das hat mir sehr geholfen!
Danke, nochmal,
LG TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 So 29.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen, vielen Dank erstmal,
>
>
> > Hallo
> >
> > Die Differenz der beiden Funktionen soll maximal werden.
> > Dazu bilden wir doch erstmal die "Differenzfunktion"
> > d(x)=g(x)-f(x), da ja g(x)>f(x) für 0<x<1
> >
> > Also [mm]d(x)=(e-1)x²-e^{x²}=[/mm]
>
> Hier müsste die Differnzfunktion eigentlich
> [mm]d(x)=(e-1)x²-e^{x²}-1=[/mm] heißen, aber das tut ja nichts zur
> Sache, weil die 1 bei der Ableitung ja eh wegfallen würde,
> oder?
Klar, sorry, habs übersehen.
> >
> > Von ihr suchst du jetzt das Maximun, also einen Hochpunkt.
> > Diesen kannst du mit Hilfe der Ableitungen errechnen
> >
> > Also [mm]d'(x)=2(e-1)x-2xe^{x²}[/mm]
> >
> > Das heisst:
> >
> > [mm]2(e-1)x-2xe^{x²}=0[/mm]
> > [mm]\gdw 2x*[(e-1)-e^{x²}]=0[/mm]
> > Das heisst
> > Entweder x=0, oder [mm](e-1)-e^{x²}=0[/mm]
> >
> > Letzteres interessiert und aber nur, weil x=0 ein
> > Schnittpunkt der Graphen ist, also der Abstand Null ist.
> >
> > [mm]e-1=e^{x²}[/mm] |ln
> > [mm]\gdw[/mm] ln(e-1)=x² |Mit
> > Logarithmengesetzen
> > ergibt sich:
> > [mm]\gdw[/mm] ln(e-1)=x²
> > [mm]\gdw x=\pm\wurzel{e-1}[/mm]
>
> So: hier habe ich eine kleine Frage: Fällt der Logarithmus
> naturalis automatisch weg, wenn man die Würzel zieht?
Natürlich nicht. es gilt:
[mm] x=\pm\wurzel{\red{ln}(e-1)}\approx\pm\wurzel{ln1,71}\approx\pm\wurzel{0,54}\approx\pm0,73
[/mm]
Das erklärt auch, warum ich beim Nachrechnen auf Werte > 1 gekommen bin.
>
> > Hilft das erstmal weiter?
>
> Ja, das hat mir sehr geholfen!
>
> Danke, nochmal,
>
> LG TryingHard
Marius
>
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