Berührungspunkte aller Tangent < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | f(x)=x³ * e^(-0.5x²) x€R
Wendepunkte W1(0/0) , W2,3(1/e^-0,5) , W4,5 (Wurzel6 / 6*Wurzel6*e^-3)
Bestimmen Sie die Berührungspunkte aller Tangenten an K, die durch den Ursprung gehen. |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Ich habe die x Koordinate von W2,3 in die 1. Ableitung eingesetzt, um m für die Tangentengleichung zu erhalten. (Also 1) (y=mx+b)
f'(x)=e^-0,5x² * 3x²-x4
f'(1) -> m=1,213
Nun würde ich die y Koordinate von W2,3 als y annehmen, ist das richtig?
y = m * x + b
e^-0,5 = 1,213 * 1 + b
Nun komme ich aber irgendwie nicht weiter. Wie errechne ich nun die Berührungspunkte. Ich hab doch erst die Tangente, oder?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Di 03.02.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> f(x)=x³ * e^(-0.5x²) x€R
> Wendepunkte W1(0/0) , W2,3(1/e^-0,5) , W4,5 (Wurzel6 /
> 6*Wurzel6*e^-3)
>
> Bestimmen Sie die Berührungspunkte aller Tangenten an K,
> die durch den Ursprung gehen.
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>
> Ich habe die x Koordinate von W2,3 in die 1. Ableitung
> eingesetzt, um m für die Tangentengleichung zu erhalten.
> (Also 1) (y=mx+b)
Du braucsht hier die Wnedepunkte für diesen Aufgabenteil nicht.
>
> f'(x)=e^-0,5x² * 3x²-x4
> f'(1) -> m=1,213
>
> Nun würde ich die y Koordinate von W2,3 als y annehmen,
> ist das richtig?
> y = m * x + b
> e^-0,5 = 1,213 * 1 + b
>
> Nun komme ich aber irgendwie nicht weiter. Wie errechne ich
> nun die Berührungspunkte. Ich hab doch erst die Tangente,
> oder?
Die Tangente soll durch den Ursprung gehen, hat also die Form t(x)=mx.
Nun suchen wir ja die unbekannten Berührpunkte [mm] B(x_{b}|y_{b}) [/mm] von diesen Tangenten.
Bekannt ist, dass [mm] m=f'(x_{b}) [/mm] sein muss (Tangente geht durch den Ursprung), also muss gelten:
[mm] m=(-x_{b}^{4}+3x_{b}^{2})\cdot e^{-0,5x^{2}}
[/mm]
Also gilt:
[mm] $t(x)=\left((-x_{b}^{4}+3x_{b}^{2})e^{-0,5x_{b}^{2}}\right)\cdot [/mm] x$
mit noch unbekanntem [mm] x_{b}.
[/mm]
Da aber am Berührpunkt außerdem gilt [mm] t(x_{b})=f(x_{b}), [/mm] bekommst du eine Gleichung, die du nach [mm] x_{b} [/mm] auflösen kannst, nämlich:
[mm] \underbrace{\left((-x_{b}^{4}+3x_{b}^{2})e^{-0,5x_{b}^{2}}\right)\cdot x_{b}}_{t(x_{b})}=\underbrace{x^{3}\cdot e^{-0,5x_{b}^{2}}}_{f(x_{b})}
[/mm]
Wenn du diese Gleichung durch [mm] e^{-0,5x_{b}^{2}} [/mm] teilst, bekommst du eine Polynomgleichung, aus der du die verschiedenen Lösungen für [mm] x_{b} [/mm] bekommst.
Marius
|
|
|
|
