Beschränkt, kompakt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Kompakte Mengen in [mm] l^2(\IR). [/mm] Welche der folgenden Mengen sind beschränkt, welche kompakt?
a) [mm] E_1:= [/mm] {x [mm] \in l^2(\IR); |x_i| \le \bruch{1}{i} [/mm] für alle i [mm] \in \IN.}
[/mm]
a) [mm] E_2:= [/mm] {x [mm] \in l^2(\IR); |x_i| \le \bruch{1}{\wurzel{i}} [/mm] für alle i [mm] \in \IN.}
[/mm]
a) [mm] E_3:= [/mm] {x [mm] \in l^2(\IR); \summe_{i=1}^{\infty}x_i^2 \le [/mm] 1.} |
Hallo ihr Lieben,
ich habe ein Problem bei der Aufgabenstellung. Ich kann mir leider überhaupt nichts unter [mm] l^2(\IR) [/mm] vorstellen. Diese Beizeichnung ist mir neu, heißt das, dass der Raum [mm] \IR^2 [/mm] ist?
ich hätte jetzt ganz normal geschaut, ob [mm] \bruch{1}{i} [/mm] beschränkt ist. Das ist es ja, weil es konvergiert. abegeschlossen dürfte es nicht sein, weil [mm] \bruch{1}{i} [/mm] ja auf dem offenen intervall [mm] [1,\infty[ [/mm] liegt. Aber dabei bin ich mir leider nicht wirklich sicher.
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank
pythagora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Do 12.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $\ell^2$ [/mm] ist ein Folgenraum, d.h. ein Vektorraum dessen Elemente Folgen sind:
[mm] $\ell^p [/mm] := [mm] \{(x_n)_{n\in\IN};\, \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p < \infty \}$
[/mm]
mit der Norm
[mm] $\|(x_n)_n\|_p [/mm] := [mm] \left( \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}}.$
[/mm]
[mm] $\ell^2(\IR)$ [/mm] heißt, daß jedes [mm] $x_n$ [/mm] aus [mm] $\IR$ [/mm] ist, d.h. [mm] $(x_n)_{n\in\IN}\in \IR^\IN$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:25 Do 12.05.2011 | | Autor: | pythagora |
ahaa,
ok, jetzt hab ich ja schon mal eine definition. Aber wie zeige ich das denn? [mm] \IR^N [/mm] bedeutet ja endlich dim. Vektorraum, also muss ich auf abgeschlossenheit und beschränkt heit prüfen, wenn ich jetzt für a) eine abschätzung mache, bekomme ich eine obere und eine untere schranke, weshalb [mm] E_1 [/mm] bescränkt ist. Aber wie mache ich das mit der abgeschlossenheit?
edit:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}x^2 [/mm] wäre demnach noch nicht beschränkt, da es gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert, oder? Irgendwie verwirrt mich das..
Ein tipp wär super^^
pythagora
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Guten Morgen ihr lieben,
meine obere Frage hat sich teils beantwortet, aber ich wollte da nach der langen zeit nicht mehr drin rumradieren..
Ich kann die beschränktheit jetzt zeigen ^^ aber mit der abgeschlossenheit komme ich einfach nicht klar. Denn die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n^2} [/mm] ist beschränkt, aber abgeschlossen ist es nicht, aber das mit der abgeschlossenheit hab ich mir auch nur anschaulich erklären können, aber wie geht das formal. Bislang hatte ich immer nur Intervalle VVORGEGEBEN und musste das nie zeigen..
Kann mir bitte jemand helfen??
LG
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Fr 13.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich glaube, Du mußt noch einiges nachholen !
bei [mm] l^2(\IR) [/mm] handelt es sich um einen unendlichdimensionalen normierten Raum !
In solchen Räumen gilt nicht:
kompakt = beschränkt und abgeschlossen.
!!!!
Ist (x, ||*||) ein normierter Raum und [mm] B_X:=\{ x \in X: ||x|| \le 1 \}, [/mm] so gilt:
[mm] B_X [/mm] ist abgeschlossen und beschränkt.
Aber:
[mm] B_X [/mm] ist kompakt [mm] \gdw [/mm] dim X < [mm] \infty
[/mm]
Ist also dim X = [mm] \infty, [/mm] so ist [mm] B_X [/mm] nicht kompakt.
Kommen wir zu Deiner Menge [mm] E_3
[/mm]
Mach Dir klar, dass
[mm] E_3=B_{l^2(\IR)}
[/mm]
ist. Dann ist [mm] E_3 [/mm] beschränkt und abgeschlossen, aber nicht kompakt.
FRED
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Hi,
danke für die schnelle Antwort,
das Problem ist, dass [mm] l^2(\IR) [/mm] nicht in der VL definiert wurde und im buch stehts bei uns auch nicht, und laut google hatte ich was gefunden, dass das endlich dimensional ist, daher meine überlegungen (soviel hab ich also nicht nachzuholen  )
> Ist (x, ||*||) ein normierter Raum und [mm]B_X:=\{ x \in X: ||x|| \le 1 \},[/mm]
> so gilt:
>
> [mm]B_X[/mm] ist abgeschlossen und beschränkt.
>
> Aber:
>
> [mm]B_X[/mm] ist kompakt [mm]\gdw[/mm] dim X < [mm]\infty[/mm]
>
> Ist also dim X = [mm]\infty,[/mm] so ist [mm]B_X[/mm] nicht kompakt.
jop, das haben wir mal als mündliche ergänzung bekommen...
> Kommen wir zu Deiner Menge [mm]E_3[/mm]
>
> Mach Dir klar, dass
>
> [mm]E_3=B_{l^2(\IR)}[/mm]
ok, ist klar^^
> ist. Dann ist [mm]E_3[/mm] beschränkt und abgeschlossen, aber nicht
> kompakt.
>
einfach weil das nicht endlich dimensional ist, oder??
aber die anderen beiden teilaufgaben umformen, das geht wohl nicht?? daher hänge ich bei den beiden jetzt wieder ohne idee, für einen ansatz. wie kann ich da ansetzen?
Danke
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] E_3=B_{l^2(\IR)} [/mm] $
was wäre denn ein Beispiel einer nicht-Cauchy-Folge/Folge ohne konvergente Teilfolge in [mm] $E_3$?
[/mm]
Also warum ist die Einheitskugel nicht folgenkompakt?
ciao
Stefan
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Hi,
> > [mm]E_3=B_{l^2(\IR)}[/mm]
>
> was wäre denn ein Beispiel einer nicht-Cauchy-Folge/Folge
> ohne konvergente Teilfolge in [mm]E_3[/mm]?
irgend eine folge, die divergiert? [mm] a_n=n^2 [/mm] mit [mm] n\rightarrow\infty [/mm] z.b.?
> Also warum ist die Einheitskugel nicht folgenkompakt?
Weil es keinen Grenzwert gibt?? Denn in der Umgebung eines Häufungspunktes müssten ja unendlich viele Folgenglieder liegen. Aber wenn es keine konvergente Folge in der Kugel gibt, dann gibt es auch keine konvergente teilfolge, und somit ist die Kugel nicht folgenkompakt.. Meinst du das so?
Irgendwie blicke ich noch immer nicht so ganz durch, fürchte ich. Ein Tipp bzgl der Aufgabe wär nochmal nich schlecht.. Entweger bin ich gerade verwirrt, oder es ist einfach zu spät. Das mit der Kugel klingt logisch, wenn ich jetzt nur noch genau wüsste, warum das jetzt nicht kompakt ist, wär's perfekt :)
aber was ich bei a und b im bezug auf [mm] l^2(\IR) [/mm] machen soll und wie ich auf kompaktheit kommen soll, weiß ich auch noch nicht. Aber vielleicht muss ich ja erstmal aufgabe c verstehen....
Kann mir jemand helfen? Danke!
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
1.
[mm] $(1,4,9,\ldots)$ [/mm] liegt nicht in [mm] $\ell^2(\IR)$. [/mm] Es muß gelten [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n^2 <\infty$.
[/mm]
2.
mißverstehst Du denk ich [mm] $\ell^2(\IR)$. $(a_1,a_2,a_3,\ldots)$ [/mm] mit [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n^2 <\infty$ [/mm] ist ein *Element* von [mm] $\ell^2$.
[/mm]
Eine Folge in [mm] $\ell^2$ [/mm] ist eine Folge von Folgen:
[mm] $l_1=(a_{1,1},a_{1,2},a_{1,3},a_{1,4},\ldots)\in\ell^2$
[/mm]
[mm] $l_2=(a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3},a_{2,4},\ldots)\in\ell^2$
[/mm]
[mm] $l_3=(a_{3,1},a_{3,2},a_{3,3},a_{3,4},\ldots)\in\ell^2$
[/mm]
[mm] $l_4=(a_{4,1},a_{4,2},a_{4,3},a_{4,4},\ldots)\in\ell^2$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
und deren Konvergenz ist bzgl. der Norm im [mm] $\ell^2$ [/mm] definiert (schau Dir meine erste Antwort nochmal genau an).
3.
> Weil es keinen Grenzwert gibt?? Denn in der Umgebung eines Häufungspunktes müssten ja unendlich viele Folgenglieder liegen. Aber wenn es keine konvergente Folge in der Kugel gibt, dann gibt es auch keine konvergente teilfolge, und somit ist die Kugel nicht folgenkompakt.. Meinst du das so?
Natürlich gibt es konvergente Folgen in der Kugel (einfachstes Bsp: [mm] $l_i\in\ell^2,\ l_i=(0,0,0,\ldots)\ \forall i\in\IN$) [/mm] und bloß weil eine Folge nicht konvergiert heißt das nicht, daß es nicht eine (oder mehrere) konvergente Teilfolge geben kann:
[mm] $l_i\in\ell^2,\ l_i=\left((-1)^i\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Schreib mir mal 3 Folgen in [mm] $E_3$ [/mm] (d.h. Folgen von Folgen, nicht Elemente von [mm] $E_3$) [/mm] auf und begründe ob sie konvergente Teilfolgen haben oder nicht. Wenn alle eine haben dann helf ich Dir dabei ein konkretes Bsp zu finden, warum [mm] $E_3$ [/mm] nicht folgenkompakt ist. =)
ciao
Stefan
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hi,
aaah, ok [mm] l^2 [/mm] ist schon klarer geworden.
aber wie kommt man z.b. auf diese teilfolge??
[mm] l_i\in\ell^2,\ l_i=\left((-1)^i\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}
[/mm]
> Schreib mir mal 3 Folgen in [mm]E_3[/mm] (d.h. Folgen von Folgen,
> nicht Elemente von [mm]E_3[/mm]) auf und begründe ob sie
> konvergente Teilfolgen haben oder nicht. Wenn alle eine
> haben dann helf ich Dir dabei ein konkretes Bsp zu finden,
> warum [mm]E_3[/mm] nicht folgenkompakt ist. =)
>
ok, wenn ich jetzt eine folge:
[mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] wähle, dann ist ja [mm] \sum_{n=1}^\infty \bruch{1}{a_n^2} <\infty [/mm] , weil [mm] \sum_{n=1}^\infty \bruch{1}{a_n^2} <\infty [/mm] konvergent ist (das hab ich mal gezeigt).
Aber wenn ich jetzt die folge von folgen erstellen möchte, ist das dann einfach das gleiche für [mm] \bruch{1}{a_n^3}, \bruch{1}{a_n^4},... [/mm] ??
ich dachte die 2 ist durch [mm] l^2 [/mm] "fest"?? wie bekomme ich sonst eine folge von folgen? Auf die teilfolge komme ich gerade auch nicht ... hmmmm.. das muss doch irgendwie gehen!! Ich will nicht noch zwei wirre beispiele angeben... daher lass ich erstmal eins^^
Danke, dass du mir hilfst.
pythagora
[mm] l_1=(a_{1,1},a_{1,2},a_{1,3},a_{1,4},\ldots)\in\ell^2
[/mm]
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ich komme gerade kein Stück weiter und bin noch verwirrter als vorher bzgl der aufgabe ... daher versuche nochmal einen neuen ansatz:
wenn ich zeigen muss, dass [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}|x_i|^2} [/mm] kompakt ist und [mm] x_i \le \bruch{1}{i} [/mm] , dann ist
[mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}|x_i|^2 } \le \wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2}}.
[/mm]
Da [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2}} \le [/mm] 1 bekomme ich:
[mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}|x_i|^2 } \le \wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2}} \le [/mm] 1 und jetzt das mit der kugel:
es liegt doch nun jeder punkt innerhalb der einheitskugel oder auf dem rand der kugel. Der Grenzwert ist ein Häufungspunkt und liegt innerhalb der Kugel. Jetzt muss ich darauf kommen, dass alle häufungspunkte entweder innerhalb liegen (--> kompakt) oder außerhalb (--> nicht kompakt)
aber an der stelle komme ich nicht weiter...
Kann mir jemand helfen? Langsam wird's dinglicher...
Vielen Dank für die Geduld. Ich möchte das wirklich verstehen!!
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 So 15.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}|x_i|^2}[/mm] kompakt ist und [mm]x_i \le \bruch{1}{i}[/mm]
Was soll denn das heißen? Meinst du alle Elemente mit [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}|x_i|^2}<\infty[/mm] und [mm]x_i \le \bruch{1}{i}[/mm]?
> , dann ist
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}|x_i|^2 } \le \wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2}}.[/mm]
>
> Da [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{i^2}} \le[/mm] 1
Aha ... das stimmt nicht, ist aber auch herzlich irrelevant.
> es liegt doch nun jeder punkt innerhalb der einheitskugel
> oder auf dem rand der kugel. Der Grenzwert ist ein
> Häufungspunkt und liegt innerhalb der Kugel. Jetzt muss
> ich darauf kommen, dass alle häufungspunkte entweder
> innerhalb liegen (--> kompakt) oder außerhalb (--> nicht
> kompakt)
Bitte was? Wie kommst du denn auf diese (wirre) Idee? Du nimmst eine beliebige Folge und zeigst, dass sie eine konvergente Teilfolge in diesem Raum hat. (Da die Bedingungen alle abgeschlossener Natur sind, reicht die Existenz einer konvergente Tf zu zeigen).
Ich verstehe nicht, warum nicht wenigstens den Ansatz hinbekommst, was zu zeigen ist. :-(
> aber an der stelle komme ich nicht weiter...
Ich auch nicht.
> Kann mir jemand helfen? Langsam wird's dinglicher...
Dringlicher?
SEcki
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Hi,
danke für die Antwort. Ich hänge einfach schon zu lange an dieser aufgabe und versuche schon zeit Tagen Folgenkompaktheit zu zeigen, mein Problem ist nur (vllt hab ich mich da unklar ausgedrückt), dass ich diese Mengen nicht verstehe, also z.b. [mm] E_1:
[/mm]
{x [mm] \in l^2 (\IR); |x_i| \le \bruch{1}{i} [/mm] mit i [mm] \in \IN}
[/mm]
ich habe null ahnung, wie eine Folge darin aussehen soll.
Tipps wie "Folge von Folgen" sind zwar super, aber wir hatten sowas noch nicht und ich kann mir das leider einfah nicht vorstellen. Wie wähle ich denn eine beliebige folge? außerdem muss es ja für alle folgen in [mm] E_1 [/mm] gelten.
Kannst du mir irgendwie helfen? So schwer kann das doch nicht sein, aber ich steh sowas von aufm Schlauch fürchte ich.
EDIT:
die folgen liegen ja im [mm] \IR^n, [/mm] so hab ich das zumindest verstanden.dass eine folge [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}|x_i|^2} [/mm] beschränkt ist kann ich ja zeigen. und da jede beschränkte Folge im [mm] \IR^n [/mm] eine konvergente Teilfolge besitzt, nach einem satz, wäre dann [mm] E_1 [/mm] doch folgenkompakt, oder?
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 15.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> ich habe null ahnung, wie eine Folge darin aussehen soll.
Du weißt wie eine Folge aussieht, oder? Dann hast du hier: der i-te Eintrag ist kleiner gleich [m]1/i[/m].
> Tipps wie "Folge von Folgen" sind zwar super, aber wir
> hatten sowas noch nicht und ich kann mir das leider einfah
> nicht vorstellen. Wie wähle ich denn eine beliebige folge?
Sei [m]a_n[/m] eine Folge in [m]l^2(\IR)[/m]. Dann ist [m]a_n=(k_{n;1},k_{n;2},\ldots)[/m].
> außerdem muss es ja für alle folgen in [mm]E_1[/mm] gelten.
Ja.
> Kannst du mir irgendwie helfen? So schwer kann das doch
> nicht sein, aber ich steh sowas von aufm Schlauch fürchte
> ich.
Mal ein Statement: haben wir die Folge [m]a_n[/m] gegeben. Dann haben wir [m]|(a_n)_i|\le 1/i[/m]. Für festes i ist [m]|(a_n)_i|[/m] eine beschränkte Folge in [m]\IR[/m], hat also eine konvergente Tf.
> EDIT:
> die folgen liegen ja im [mm]\IR^n,[/mm]
Bitte?
> so hab ich das zumindest
> verstanden.dass eine folge
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}|x_i|^2}[/mm] beschränkt ist kann
> ich ja zeigen.
Diese Aussage macht keinen Sinn - dies ist ein einzelnes Element deines Raumes, endliche Mengen sind beschränkt!
> und da jede beschränkte Folge im [mm]\IR^n[/mm] eine
> konvergente Teilfolge besitzt, nach einem satz, wäre dann
> [mm]E_1[/mm] doch folgenkompakt, oder?
Nein.
SEcki
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Hey,
> > ich habe null ahnung, wie eine Folge darin aussehen soll.
>
> Du weißt wie eine Folge aussieht, oder? Dann hast du hier:
> der i-te Eintrag ist kleiner gleich [m]1/i[/m].
achsooo, das hör ich jetzt zum ersten mal, klingt aber sinnvoll, ich glaube das hilft. danke^^
> Mal ein Statement: haben wir die Folge [m]a_n[/m] gegeben. Dann
> haben wir [m]|(a_n)_i|\le 1/i[/m]. Für festes i ist [m]|(a_n)_i|[/m]
> eine beschränkte Folge in [m]\IR[/m], hat also eine konvergente
> Tf.
>
aber dann erhalte ich ja für jede Folge [mm] |(a_n)_i| [/mm] mit i [mm] \in \IN [/mm] eine beschränkte Folge, die eine konvergente Teilfolge enthält!
Versteh ich das richtig? Was fehlt noch und auf die Kompaktheit schließen zu können?? meine Def, die ich habe: A ist folgenkompakt, wenn jede Folge in A eine in A konvergente Teilfolge enthält.
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Mo 16.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> aber dann erhalte ich ja für jede Folge [mm]|(a_n)_i|[/mm] mit i
> [mm]\in \IN[/mm] eine beschränkte Folge, die eine konvergente
> Teilfolge enthält!
Ja. Aber mir ging es erstmal darum, dass du weisst, wo was liegt - und wenn man die andren Posts sieht, bezweifle ich das.
> Versteh ich das richtig? Was fehlt noch und auf die
> Kompaktheit schließen zu können?? meine Def, die ich
> habe: A ist folgenkompakt, wenn jede Folge in A eine in A
> konvergente Teilfolge enthält.
Der Beweis, den ich mir vorstelle, ist ein bisschen trickreicher. Wir sollten uns trotz allem erstmal darauf konzentrieren, dass du den Folgenraum verstehst.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Mo 16.05.2011 | | Autor: | pythagora |
ja, das ist aber auch blöd gemacht, da wir sowas in der VL noch nie hatten und uns das selber erklären dürfen, kommt auch kaum einer mit klar (ich bin froh, dass ich hier ganz gut hilfe bekomme), ich hoffe mal, dass ich das noch zeitnah zum abschluss kriege :S
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 So 15.05.2011 | | Autor: | Blech |
> aber wie kommt man z.b. auf diese teilfolge??
was sind denn die ersten 5 Elemente von [mm] $(l_i)_{i\in\IN}$?
[/mm]
> [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] wähle, dann ist ja [mm] \sum_{n=1}^\infty \bruch{1}{a_n^2} <\infty [/mm] , weil [mm] \sum_{n=1}^\infty \bruch{1}{a_n^2} <\infty [/mm] konvergent ist (das hab ich mal gezeigt).
Sagen wir [mm] $a_n=\frac [/mm] 1n$, dann hast Du also mal gezeigt, daß [mm] $\sum_{n=1}^\infty n^2 <\infty$. [/mm] Den Beweis will ich sehen.
Und ich versteh Dein Problem einfach nicht. Eine Folge kann doch alles mögliche sein, Du behandelst [mm] $a_n$ [/mm] als wäre in den Gesetzen des Universums festgeschrieben, daß [mm] $a_n=n$ [/mm] oder was auch immer.
Ich wiederhole mich:
Eine Folge in [mm] $\ell^2$ [/mm] ist eine Folge von Folgen:
[mm] $l_1=(a_{1,1},a_{1,2},a_{1,3},a_{1,4},\ldots)\in\ell^2$ [/mm]
[mm] $l_2=(a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3},a_{2,4},\ldots)\in\ell^2$ [/mm]
[mm] $l_3=(a_{3,1},a_{3,2},a_{3,3},a_{3,4},\ldots)\in\ell^2$ [/mm]
[mm] $l_4=(a_{4,1},a_{4,2},a_{4,3},a_{4,4},\ldots)\in\ell^2$ [/mm]
[mm] $\vdots$ [/mm]
Du hast auch schon ein Beispiel für eine solche Folge in der Form von
[mm] $l_i\in\ell^2,\ l_i=\left((-1)^i\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}$ [/mm]
(wieso ist [mm] $l_i\in\ell^2$? [/mm] Beweis)
Nachdem Du Dir das anscheinend immer noch nicht vorstellen kannst:
Wieso schreibst Du nicht mal ein Beispiel hin?
Ich hab alle Geduld der Welt, aber wenn Du aufhören würdest mit Symbolen um Dich zu werfen, unter denen Du Dir nichts vorstellen kannst und stattdessen mal etwas Schreibarbeit investieren würdest und Dir eine Beispiel aufschreibst, dann kämen wir glaub ich weiter.
ciao
Stefan
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Hey,
> Du hast auch schon ein Beispiel für eine solche Folge in
> der Form von
> [mm]l_i\in\ell^2,\ l_i=\left((-1)^i\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}[/mm]
> (wieso ist [mm]l_i\in\ell^2[/mm]? Beweis)
>
> Nachdem Du Dir das anscheinend immer noch nicht vorstellen
> kannst:
>
> Wieso schreibst Du nicht mal ein Beispiel hin?
ok, nehmen wir mal dein beispiel da oben.
[mm] l_i\in\ell^2,\ l_i=\left((-1)^i\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN} [/mm]
[mm] l_i [/mm] wäre doch in [mm] \ell^2, [/mm] weil es eine Folge von Folgen ist ("weil [mm] l_i [/mm] noch abhängig von i ist". Also erhalte ich für jedes i eine Folge, daher Folge von Folgen. Zudem ist Die summe über jeder Folge konvergent (nach Leibniz, weil [mm] l_i [/mm] alternierend und [mm] \frac 1{n^3} [/mm] monoton fallend ist für n [mm] \to \infty). [/mm] Damit konvergiert [mm] l_i [/mm] ist also beschränkt. Daher gibt es dann auch konvergente Teilfolgen (wharscheinlich für i gerade und für i ungerade jeweils eine). Und weiter weiß ich nicht...
Ich danke dir wirklich sehr für deine Geduld und die zeit, die du investierst 
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 So 15.05.2011 | | Autor: | Blech |
Zum dritten Mal, ich will das so stehen haben:
[mm] $l_1=(a_{1,1},a_{1,2},a_{1,3},a_{1,4},\ldots)\in\ell^2$ [/mm]
[mm] $l_2=(a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3},a_{2,4},\ldots)\in\ell^2$ [/mm]
[mm] $l_3=(a_{3,1},a_{3,2},a_{3,3},a_{3,4},\ldots)\in\ell^2$ [/mm]
[mm] $l_4=(a_{4,1},a_{4,2},a_{4,3},a_{4,4},\ldots)\in\ell^2$ [/mm]
[mm] $\vdots$ [/mm]
> [mm] l_i [/mm] wäre doch in [mm] \ell^2, [/mm] weil es eine Folge von Folgen ist.
Nein. Was ist die Definition von [mm] $\ell^2$. [/mm] Warum erfüllen die [mm] $l_i$ [/mm] diese?
> Damit konvergiert [mm] l_i [/mm] ist also beschränkt.
Das stimmt nicht. Was ist die Definition der Beschränktheit? [mm] $(l_i)_{i\in\IN}$ [/mm] ist beschränkt, wenn...
> Daher gibt es dann auch konvergente Teilfolgen
Wir hatten vor ein paar Antworten festgestellt, daß diese Schlußfolgerung im Unendlichdimensionalen nicht stimmt. Die Einheitskugel ist beschränkt, aber es gibt Folgen ohne konvergente Teilfolgen. Unser Ziel ist es ja gerade eine solche zu finden.
Immer noch
$ [mm] l_i\in\ell^2,\ l_i=\left((-1)^i\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN} [/mm] $
Diesmal ausführlich, sauber, strikt nach Definitionen und Sätzen:
1. die Folge explizit in der Form vom Anfang dieses posts.
2. Warum ist jedes [mm] $l_i$ [/mm] in [mm] $\ell^2$.
[/mm]
3. Wieso ist [mm] $(l_i)_{i\in\IN}$ [/mm] (d.h. die volle Folge) nicht konvergent.
4. Drittens beinhaltet: Was exakt heißt "Konvergenz".
Dein Problem ist, daß Du immer alles [mm] $\pi\times\text{Daumen}$ [/mm] machst und Deine Vorstellung ist bei dieser Aufgabe ausgestiegen. Du mußt lernen, Sätze und Definitionen wortwörtlich einzusetzen. =)
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Mo 16.05.2011 | | Autor: | pythagora |
oo, ok, sorryy:
> Immer noch
> [mm]l_i\in\ell^2,\ l_i=\left((-1)^i\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}[/mm]
>
> Diesmal ausführlich, sauber, strikt nach Definitionen und
> Sätzen:
>
> 1. die Folge explizit in der Form vom Anfang dieses posts.
also
[mm] l_1=(a_{1,1},a_{1,2},a_{1,3},a_{1,4},\ldots)\in\ell^2
[/mm]
[mm] l_1=(-\frac 1{1^3},-\frac 1{2^3},-\frac 1{3^3},-\frac 1{4^3},...)
[/mm]
[mm] l_2=(\frac 1{1^3},\frac 1{2^3},\frac 1{3^3},\frac 1{4^3},...)
[/mm]
[mm] l_3=(-\frac 1{1^3},-\frac 1{2^3},-\frac 1{3^3},-\frac 1{4^3},...)
[/mm]
[mm] l_4=(\frac 1{1^3},\frac 1{2^3},\frac 1{3^3},\frac 1{4^3},...)
[/mm]
...
ok so??
> 2. Warum ist jedes [mm]l_i[/mm] in [mm]\ell^2[/mm].
Def:
[mm] \ell^p [/mm] := [mm] \{(x_n)_{n\in\IN};\, \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p < \infty \}
[/mm]
mit p=2 folgt
[mm] \ell^2 [/mm] := [mm] \{(x_n)_{n\in\IN};\, \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty \}
[/mm]
es müssen also die einzelnen [mm] l_i [/mm] (weil [mm] x_n [/mm] hier unser [mm] l_i [/mm] ist) quadriert und als summe < unendlich sein. aber wenn ich die einzelnen glieder der folgen quadriere aund summiere, heben sie sich ja auf gegenseitig.. oder?
denn [mm] \{(x_n)_{n\in\IN};\, \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty \} [/mm] bedeutet doch, dass ich die einzelnen folgen aufsummiere, so verstehe ich zuminstest diese schreibweise.
> 3. Wieso ist [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm] (d.h. die volle Folge) nicht
> konvergent.
die volle folge?? also [mm] z.b.l_2=(\frac 1{1^3},\frac 1{2^3},\frac 1{3^3},\frac 1{4^3},...)?:
[/mm]
wir haben im skript stehen:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} [/mm] konvergiert für s>1 und divergiert für s [mm] \le [/mm] 1
die einzelnen elemente sind doch aus [mm] \IR [/mm] und durch die vollständigkeit von [mm] \IR [/mm] konvergieren diese.
> 4. Drittens beinhaltet: Was exakt heißt "Konvergenz".
dass es einen Grenzwert gibt, gegen den die folge konvergiert ( oder die andere def: dass der "abstand" der folgengleider ab einem N [mm] \in \IN [/mm] kleiner als espilon ist.)
ich hoffe, dass das besser ist.
pythagora
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ups, ich hatte eigentlich auf frage geklickt...
entschuldigung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm] l_1=(-\frac 1{1^3},-\frac 1{2^3},-\frac 1{3^3},-\frac 1{4^3},...) [/mm]
[mm] >\vdots
[/mm]
richtig
> es müssen also die einzelnen [mm] l_i [/mm] (weil [mm] x_n [/mm] hier unser [mm] l_i [/mm] ist) quadriert und als summe < unendlich sein.
Nein, deswegen hatte ich bei jedem [mm] $l_i$ [/mm] explizit dazugeschrieben, daß es [mm] $\in\ell^2$.
[/mm]
Wie ich die ganze Zeit schon sage: sauber, ausführlich, nach Definition.
Die Definition:
[mm] $\ell^2 [/mm] := [mm] \{(x_n)_{n\in\IN};\, \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty \}$
[/mm]
Frage: Ist [mm] $l_1\in\ell^2$, [/mm] wobei nach Definition der [mm] $l_i$ [/mm] gilt [mm] $l_1=\left((-1)^1\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}$?
[/mm]
Wann ist ein Element in [mm] $\ell^2$?
[/mm]
1. Es ist von der Gestalt [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$
[/mm]
Ist [mm] $\left((-1)^1\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] von der Gestalt [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$?
[/mm]
Antwort: Ja, [mm] $x_n:= -1\frac 1{n^3}$
[/mm]
2. Es erfüllt zusätzlich [mm] $\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Erfüllt [mm] $\left((-1)^1\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] die Ungleichung [mm] $\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 [/mm] < [mm] \infty$?
[/mm]
Antwort: ja, denn [mm] $\sum_{n=1}^\infty \left|-1\frac 1{n^3}\right|^2 [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^6}<\infty$ [/mm] nach Deinem Satz.
Fazit: [mm] $l_1\in\ell^2$.
[/mm]
> es müssen also die einzelnen [mm] l_i [/mm] (weil [mm] x_n [/mm] hier unser [mm] l_i [/mm] ist) quadriert und als summe < unendlich sein. aber wenn ich die einzelnen glieder der folgen quadriere aund summiere, heben sie sich ja auf gegenseitig.. oder?
Was hebt sich wo auf?
> die volle folge?? also [mm] z.b.l_2=(\frac 1{1^3},\frac 1{2^3},\frac 1{3^3},\frac 1{4^3},...)?: [/mm]
Nein, [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm], wie geschrieben.
[mm] $(l_1,l_2,l_3,\ldots)$
[/mm]
> dass es einen Grenzwert gibt, gegen den die folge konvergiert ( oder die andere def: dass der "abstand" der folgengleider ab einem N [mm] \in \IN [/mm] kleiner als espilon ist.)
Was ist der "Abstand" in dem Fall? Wie ist er definiert? Was ist der Abstand von [mm] $l_1$ [/mm] zu [mm] $l_2$?
[/mm]
> ich hoffe, dass das besser ist.
Wesentlich, wir bewegen uns. =)
ciao
Stefan
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Hi,
> Hi,
>
>
> > [mm]l_1=(-\frac 1{1^3},-\frac 1{2^3},-\frac 1{3^3},-\frac 1{4^3},...)[/mm]
> [mm]>\vdots[/mm]
>
> richtig
>
> > es müssen also die einzelnen [mm]l_i[/mm] (weil [mm]x_n[/mm] hier unser [mm]l_i[/mm]
> ist) quadriert und als summe < unendlich sein.
>
> Nein, deswegen hatte ich bei jedem [mm]l_i[/mm] explizit
> dazugeschrieben, daß es [mm]\in\ell^2[/mm].
>
>
> Wie ich die ganze Zeit schon sage: sauber, ausführlich,
> nach Definition.
>
> Die Definition:
> [mm]\ell^2 := \{(x_n)_{n\in\IN};\, \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty \}[/mm]
>
> Frage: Ist [mm]l_1\in\ell^2[/mm], wobei nach Definition der [mm]l_i[/mm] gilt
> [mm]l_1=\left((-1)^1\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}[/mm]?
>
> Wann ist ein Element in [mm]\ell^2[/mm]?
>
> 1. Es ist von der Gestalt [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm]
>
> Ist [mm]\left((-1)^1\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}[/mm] von der
> Gestalt [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm]?
>
> Antwort: Ja, [mm]x_n:= -1\frac 1{n^3}[/mm]
>
>
> 2. Es erfüllt zusätzlich [mm]\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty[/mm]
>
> Erfüllt [mm]\left((-1)^1\frac 1{n^3}\right)_{n\in\IN}[/mm] die
> Ungleichung [mm]\sum_{n=1}^\infty |x_n|^2 < \infty[/mm]?
>
> Antwort: ja, denn [mm]\sum_{n=1}^\infty \left|-1\frac 1{n^3}\right|^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^6}<\infty[/mm]
> nach Deinem Satz.
>
>
> Fazit: [mm]l_1\in\ell^2[/mm].
>
perfekt, danke!
> > die volle folge?? also [mm]z.b.l_2=(\frac 1{1^3},\frac 1{2^3},\frac 1{3^3},\frac 1{4^3},...)?:[/mm]
>
> Nein, [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm], wie geschrieben.
> [mm](l_1,l_2,l_3,\ldots)[/mm]
ok, aber wenn die einzelnen [mm] l_i [/mm] konvergieren, woher kann ich denn wissen, dass [mm] (l_i)_{i\in\IN} [/mm] nicht konvergiert??
>
> > dass es einen Grenzwert gibt, gegen den die folge
> konvergiert ( oder die andere def: dass der "abstand" der
> folgengleider ab einem N [mm]\in \IN[/mm] kleiner als espilon
> ist.)
>
> Was ist der "Abstand" in dem Fall? Wie ist er definiert?
> Was ist der Abstand von [mm]l_1[/mm] zu [mm]l_2[/mm]?
also [mm] |a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] mit an als folge mit a als Grenzwert für n [mm] \to \infty [/mm] lautet die def, also der abstand (hier über metrik definiert) ist im [mm] l^2 [/mm] wahrscheinlich was anderes, die norm etwa?
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Blech |
> ok, aber wenn die einzelnen [mm] l_i [/mm] konvergieren, woher kann ich denn wissen, dass [mm] (l_i)_{i\in\IN} [/mm] nicht konvergiert??
Die Konvergenz in den beiden Räumen hat nix miteinander zu tun.
> also [mm] |a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] mit an als folge mit a als Grenzwert für n [mm] \to \infty [/mm] lautet die def, also der abstand (hier über metrik definiert) ist im [mm] l^2 [/mm] wahrscheinlich was anderes, die norm etwa?
Ja, bei [mm] $|a_n-a|<\varepsilon$ [/mm] verwendest Du ja auch nicht die Metrik, das wäre [mm] $d(a_n,a)<\varepsilon$, [/mm] sondern setzt direkt in die Norm (das ist im [mm] $\IR^1$ [/mm] der Betrag) ein.
Ebenso induziert die Norm im [mm] $\ell^2$ [/mm] eine Metrik:
[mm] $d(l_1,l_2)=\| l_1-l_2\|_{\ell^2}$
[/mm]
Wobei diese Definition eine neue Frage aufwirft, die da wäre? =)
ciao
Stefan
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> > ok, aber wenn die einzelnen [mm]l_i[/mm] konvergieren, woher kann
> ich denn wissen, dass [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm] nicht konvergiert??
>
> Die Konvergenz in den beiden Räumen hat nix miteinander zu
> tun.
>
>
> > also [mm]|a_n-a|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] mit an als folge mit a als
> Grenzwert für n [mm]\to \infty[/mm] lautet die def, also der
> abstand (hier über metrik definiert) ist im [mm]l^2[/mm]
> wahrscheinlich was anderes, die norm etwa?
>
> Ja, bei [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] verwendest Du ja auch nicht die
> Metrik, das wäre [mm]d(a_n,a)<\varepsilon[/mm], sondern setzt
> direkt in die Norm (das ist im [mm]\IR^1[/mm] der Betrag) ein.
> Ebenso induziert die Norm im [mm]\ell^2[/mm] eine Metrik:
>
> [mm]d(l_1,l_2)=\| l_1-l_2\|_{\ell^2}[/mm]
>
> Wobei diese Definition eine neue Frage aufwirft, die da
> wäre? =)
wie diese Metrik genauer aussieht??
[mm] d(l_1,l_2)=\| l_1-l_2\|_{\ell^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_i^2}??
[/mm]
Ob ich die so anwenden kann und was ich damit jetzt eigentlich berechne!?
damit kann ich doch jetzt die "abstände" der [mm] l_i [/mm] berechnen, oder?
aber z.b. für [mm] l_1=(-\frac 1{1^3},-\frac 1{2^3},-\frac 1{3^3},-\frac 1{4^3},...) [/mm] und und [mm] l_2=(\frac 1{1^3},\frac 1{2^3},\frac 1{3^3},\frac 1{4^3},...)
[/mm]
wie soll ich denn da einsezten?
[mm] d(l_1,l_2)=\| l_1-l_2\|_{\ell^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(l_1-l_2)^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(-\frac 1{n^3}-\frac 1{n^3})^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(2*-\frac 1{n^3})^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(4*\frac 1{n^6})}=\wurzel{4*\summe_{i=1}^{n}(\frac 1{n^6})}=2*\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(\frac 1{n^6})}=für [/mm] n [mm] \to \infty [/mm] = [mm] 2*\wurzel{\bruch{1}{6-1}}= \wurzel{4*\bruch{1}{5}}= \wurzel{\bruch{4}{5}}= \bruch{4}{\wurzel{5}}=: \varepsilon??
[/mm]
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> wie diese Metrik genauer aussieht??
Was [mm] $l_1-l_2$ [/mm] ist. Die Norm haben wir definiert, die Addition nicht. Ist aber komponentenweise:
[mm] $l_i:=(a_{i,n})_{n\in\IN}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow l_i+l_j:=(a_{i,n}+a_{j,n})_{n\in\IN}.$
[/mm]
> [mm] 2\cdot{}\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(\frac 1{n^6})}
[/mm]
bis hier stimmt's, obere Summengrenze mal ausgenommen. (Wobei [mm] $\wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}(l_1-l_2)^2}$ [/mm] mußt Du mir noch erklären)
Wie Du auf die nächste Umformung kommst, weiß ich nicht, kann aber nicht stimmen, weil [mm] $\sum_{i=1}^\infty \frac 1{n^6}>1$.
[/mm]
Aus [mm] $\| l_1-l_2\|_{\ell^2}>1$ [/mm] folgt [mm] $\| l_i-l_{i+1}\|_{\ell^2}>1$ [/mm] und damit ist [mm] $(l_i)_{i\in\IN}$ [/mm] keine Cauchy-Folge, konvergiert also auch nicht. (Definitionen, Begründungen, etc.)
ciao
Stefan
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Hi,
> bis hier stimmt's, obere Summengrenze mal ausgenommen.
> (Wobei [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}(l_1-l_2)^2}[/mm] mußt Du
> mir noch erklären)
wieso? stimmt nicht?? :S
>
> Wie Du auf die nächste Umformung kommst, weiß ich nicht,
> kann aber nicht stimmen, weil [mm]\sum_{i=1}^\infty \frac 1{n^6}>1[/mm].
hm, aber nach meinem satz da, konvergiert das...
> Aus [mm]\| l_1-l_2\|_{\ell^2}>1[/mm] folgt [mm]\| l_i-l_{i+1}\|_{\ell^2}>1[/mm]
> und damit ist [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm] keine Cauchy-Folge,
> konvergiert also auch nicht. (Definitionen, Begründungen,
> etc.)
ah ok, also ist es damit zum einen nicht beschränkt.
Aber die einzelnen [mm] l_i [/mm] konvergieren ja und das sind doch teilfolgen von [mm] (l_i)_{i\in\IN}, [/mm] also gibt es konvergente teilfolgen.. Wäre es dann nicht kompakt? aber wenn es kompakt wäre, dann wäre es ja auch beschränkt, von daher hab ich da irgendwo gerade was übersehen bei der kompaktheit...
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Mo 16.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> > bis hier stimmt's, obere Summengrenze mal ausgenommen.
> > (Wobei [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}(l_1-l_2)^2}[/mm] mußt Du
> > mir noch erklären)
> wieso? stimmt nicht?? :S
Nein. Der Ausdruck macht keinen Sinn ... warum? versuch es mal selbst!
> > Wie Du auf die nächste Umformung kommst, weiß ich nicht,
> > kann aber nicht stimmen, weil [mm]\sum_{i=1}^\infty \frac 1{n^6}>1[/mm].
>
> hm, aber nach meinem satz da, konvergiert das...
...
Du machst einem echt sprachlos. Nur weil etwas konvergiert, muss der GW nicht kleiner als 1 sein.
> ah ok, also ist es damit zum einen nicht beschränkt.
Nein. Zum abermilliardstenmal, btw.
> Aber die einzelnen [mm]l_i[/mm] konvergieren ja und das sind doch
> teilfolgen von [mm](l_i)_{i\in\IN},[/mm]
Nein. Das sind keine Tf, niemals nicht. In der Folge [m](1,2,3,\ldots)[/m] ist "3" auch keine Tf. Auch jetzt im Thread 10mal erwähnt ... ich bin echt ratlos.
> also gibt es konvergente
> teilfolgen..
Nein.
> Wäre es dann nicht kompakt? aber wenn es
> kompakt wäre, dann wäre es ja auch beschränkt, von daher
> hab ich da irgendwo gerade was übersehen bei der
> kompaktheit...
Das Problem ist, dass [m]l^2[/m] tatsächlich einer der leichtesten unendlich dimensionalen Räume ist, an denen man solche Sachen ausprobieren kann :/
SEcki
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Hi,
> > > bis hier stimmt's, obere Summengrenze mal ausgenommen.
> > > (Wobei [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{\infty}(l_1-l_2)^2}[/mm] mußt Du
> > > mir noch erklären)
> > wieso? stimmt nicht?? :S
>
> Nein. Der Ausdruck macht keinen Sinn ... warum? versuch es
> mal selbst!
oh mist, wie auch, ist ja gar kein i drin, muss also über n laufen... mist
> > > Wie Du auf die nächste Umformung kommst, weiß ich nicht,
> > > kann aber nicht stimmen, weil [mm]\sum_{i=1}^\infty \frac 1{n^6}>1[/mm].
>
> >
> > hm, aber nach meinem satz da, konvergiert das...
>
> ...
>
> Du machst einem echt sprachlos. Nur weil etwas konvergiert,
> muss der GW nicht kleiner als 1 sein.
das hab ich aber so gelernt... wir hatten :
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} =\bruch{1}{s-1} [/mm] für s>1....
demnach wäre der GW ja <1, nach Satz ...
> > ah ok, also ist es damit zum einen nicht beschränkt.
>
> Nein. Zum abermilliardstenmal, btw.
also [mm] (l_i)_{i\in\IN} [/mm] ist keine CF, konvergiert also auch nicht und ist bechränkt?
aber wie komm ich jetzt auf kompakt oder nicht kompakt?
> > Aber die einzelnen [mm]l_i[/mm] konvergieren ja und das sind doch
> > teilfolgen von [mm](l_i)_{i\in\IN},[/mm]
>
> Nein. Das sind keine Tf, niemals nicht. In der Folge
> [m](1,2,3,\ldots)[/m] ist "3" auch keine Tf. Auch jetzt im Thread
> 10mal erwähnt ... ich bin echt ratlos.
>
> > also gibt es konvergente
> > teilfolgen..
>
> Nein.
>
> > Wäre es dann nicht kompakt? aber wenn es
> > kompakt wäre, dann wäre es ja auch beschränkt, von daher
> > hab ich da irgendwo gerade was übersehen bei der
> > kompaktheit...
>
> Das Problem ist, dass [m]l^2[/m] tatsächlich einer der
> leichtesten unendlich dimensionalen Räume ist, an denen
> man solche Sachen ausprobieren kann :/
wenn man den von seiten der uni auch mal vorgestllt bekommen hätte, kann ich mir das auch gu vorstellen, aber einfach so ne übung dazu machen ohne irgendwelche definitionen ist doch [mm] mist...unsinn^3, [/mm] sieht man ja auch, dass das mehr chaos bringt als nutzen... aber ich schaff das schon.....noch geb ich nicht auf
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> das hab ich aber so gelernt... wir hatten :
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} =\bruch{1}{s-1}[/mm] für
> s>1....
Hallo,
Ihr seid bedauernswerte Würstchen, wenn Euch solcher Salat serviert wird...
Da steht, daß wenn man unendlich oft [mm] \bruch{1}{n^s} [/mm] addiert, dann [mm] \bruch{1}{s-1} [/mm] herauskommt. Schmarrn.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mo 16.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> oh mist, wie auch, ist ja gar kein i drin, muss also über
> n laufen... mist
na sowas ...
> das hab ich aber so gelernt... wir hatten :
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} =\bruch{1}{s-1}[/mm] für
> s>1....
> demnach wäre der GW ja <1, nach Satz ...
Könntest du bitte den Satz, den ihr hattet 1:1 mal posten? Selbst wenn man aus dem i der Sumem ein n macht ist es offensichtlich falsch (ja, es ist offensichtlich falsch, es ist klar, dass das nicht stimmen kann, einmal selber nachgedacht und man sieht: _so_ kann es nicht stimmen!)
> also [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm] ist keine CF, konvergiert also auch
> nicht und ist bechränkt?
Natürlich. Darum geht es die ganze Zeit.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo Secki,
die Fragestellerin hat wahrscheinlich gemeint (oder verwechselt oder ....)
[mm] \summe_{n=1}^{n}\bruch{1}{s^n}=\bruch{1}{s-1} [/mm] (|s|>1)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mo 16.05.2011 | | Autor: | pythagora |
hi,
ne bei uns sthe das ohne betragsstriche...
@angela: danke für das mitleid, dann liegts ja vllt doch nicht nur an mir...
LG
pythagora
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> hi,
> ne bei uns sthe das ohne betragsstriche...
................. also so:
$ [mm] \summe_{n=1}^{n}\bruch{1}{s^n}=\bruch{1}{s-1} [/mm] $ (s>1) .... ?
Wenn ja, so weiß ich nicht , ob ich lachen oder weinen soll, denn aus s>1 folgt |s|>1
Dennoch gilt $ [mm] \summe_{n=1}^{n}\bruch{1}{s^n}=\bruch{1}{s-1} [/mm] $ für |s|>1.
Man mag es bedauern , aber ändern kann man es nicht. Das alles läuft unter der nun überhaupt nicht bekannten Bezeichnung:
"geometrische Reihe "
FRED
>
> @angela: danke für das mitleid, dann liegts ja vllt doch
> nicht nur an mir...
>
> LG
> pythagora
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Hi,
> > oh mist, wie auch, ist ja gar kein i drin, muss also über
> > n laufen... mist
>
> na sowas ...
>
> > das hab ich aber so gelernt... wir hatten :
> > [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} =\bruch{1}{s-1}[/mm]
> für
> > s>1....
> > demnach wäre der GW ja <1, nach Satz ...
>
> Könntest du bitte den Satz, den ihr hattet 1:1 mal posten?
> Selbst wenn man aus dem i der Sumem ein n macht ist es
> offensichtlich falsch (ja, es ist offensichtlich falsch, es
> ist klar, dass das nicht stimmen kann, einmal selber
> nachgedacht und man sieht: _so_ kann es nicht stimmen!)
da steht nur : mithilfe des integralvergleichskriteriums lässt sich zeigen dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} [/mm] für s>1 konvergiert mit [mm] \bruch{1}{s-1} [/mm] als Grenzwert. Das war's...
> > also [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm] ist keine CF, konvergiert also auch
> > nicht und ist bechränkt?
>
> Natürlich. Darum geht es die ganze Zeit.
ok, dann hab ich das soweit jetzt fest verstanden. viellecith hab ich gerade den überblick verloren, aber wo hab ich gezeit, dass es beschränkt ist...
zudem ist es nicht kompkat, weil es nicht konvergiert oder?
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> > > oh mist, wie auch, ist ja gar kein i drin, muss also
> über
> > > n laufen... mist
> >
> > na sowas ...
> >
> > > das hab ich aber so gelernt... wir hatten :
> > > [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} =\bruch{1}{s-1}[/mm]
> > für
> > > s>1....
> > > demnach wäre der GW ja <1, nach Satz ...
> >
> > Könntest du bitte den Satz, den ihr hattet 1:1 mal posten?
> > Selbst wenn man aus dem i der Sumem ein n macht ist es
> > offensichtlich falsch (ja, es ist offensichtlich falsch, es
> > ist klar, dass das nicht stimmen kann, einmal selber
> > nachgedacht und man sieht: _so_ kann es nicht stimmen!)
> da steht nur : mithilfe des integralvergleichskriteriums
> lässt sich zeigen dass [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s}[/mm]
> für s>1 konvergiert mit [mm]\bruch{1}{s-1}[/mm] als Grenzwert.
> Das war's...
Ich glaub es nicht !!! Es steht immer noch genauso falsch da wie vorher !!
Nie und nimmer ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s}=\bruch{1}{s-1} [/mm]
Anderenfals wäre (s=2): $ [mm] \pi [/mm] = [mm] \wurzel{6}$. [/mm] Donnerwetter !
Und die Riemannsche Vermutung gäbe es nicht !
FRED
> > > also [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm] ist keine CF, konvergiert also
> auch
> > > nicht und ist bechränkt?
> >
> > Natürlich. Darum geht es die ganze Zeit.
> ok, dann hab ich das soweit jetzt fest verstanden.
> viellecith hab ich gerade den überblick verloren, aber wo
> hab ich gezeit, dass es beschränkt ist...
> zudem ist es nicht kompkat, weil es nicht konvergiert
> oder?
> LG
> pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> wieso? stimmt nicht?? :S
Was soll [mm] $(a_1,a_2,\ldots)^2$ [/mm] sein?
> hm, aber nach meinem satz da, konvergiert das...
Es konvergiert, aber nachdem der erste Summand 1 ist, kann das Ergebnis nicht kleiner als 1 sein.
Entweder zitierst Du Deinen Satz falsch oder Du hast ihn gleich schon falsch aufgeschrieben. Was voll und ganz zu der Arbeitsweise paßt, die Du hier an den Tag legst, denn einen Schritt später,
> ah ok, also ist es damit zum einen nicht beschränkt.
> Aber die einzelnen [mm] l_i [/mm] konvergieren ja und das sind doch teilfolgen von [mm] (l_i)_{i\in\IN}, [/mm] also gibt es konvergente teilfolgen..
fängst Du schon wieder mit diesem Scheiß an. Was soll das? Du hast eine verfsckte Definition von Teilfolge irgendwo in Deinen Aufzeichnungen und wenn Du die auch nicht völlig verhunzt hast, dann steht dort exakt, was eine Teilfolge ausmacht. Die wendest Du jetzt an und sagst mir dann, warum dieser Satz völliger Schwachsinn ist. Von der Kompaktheit red ich noch gar nicht.
Ich versuch hier seit einem halben Dutzend Antworten, Dich dazu zu bringen, mal eine Sache sauber zu machen, anstatt wild mit Begriffen um Dich zu werfen, die Du offensichtlich nicht verstanden hast. Wenn Du noch einmal eine Antwort schreibst, in der nicht jede Deiner Aussagen direkt auf eine Definition oder einen Satz verweist (links auf Wikipedia, sonst ausgeschrieben. Vollständig. Inklusive exakter Ausführung wie die Größen, von denen Du redest zu denen in der Definition in Beziehung stehen), dann geb ich auf.
Was ist eine Teilfolge von [mm] $(l_i)_{i\in\IN}$? [/mm] Irgendeine.
ciao
Stefan
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tach,
ich werd langsam weich in der birne, von dem ganzen hin und her hier... meine notizen, sind richtig, ich hab nur falsch zitiert...
> > ah ok, also ist es damit zum einen nicht beschränkt.
> > Aber die einzelnen [mm]l_i[/mm] konvergieren ja und das sind doch
> teilfolgen von [mm](l_i)_{i\in\IN},[/mm] also gibt es konvergente
> teilfolgen..
> Was ist eine Teilfolge von [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm]? Irgendeine.
Indem aus [mm] (l_i)_{i\in\IN} [/mm] Folgeglieder weggelassen werden z.b. [mm] (l_1, l_3,l_5...) [/mm] also im prinzip [mm] (l_i)_{i\in\IN} [/mm] wieder nur weniger (oder auch die gleichen) folgenglieder.
zu dem chaos was ich produziert habe, meine mitschriften sagen:
Nach Bolzano-Weierstraß besitzt jede beschränkte (unendliche reelle) Zahlenfolge mindestens eine konvergente Teilfolge.
Und ein topologischer raum ist folgenkompakt, wenn jede Folge mindestens eine konvergente Teilfolge hat.
so, davon ausgehend versuch ich es nochmal neu, der müll von vorhin ist nicht zu retten... da sieht man, dass ohne frühstück nichts geht..
ok, wo mach ich jetzt weiter?
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Indem aus [mm] (l_i)_{i\in\IN} [/mm] Folgeglieder weggelassen werden z.b. [mm] (l_1, l_3,l_5...) [/mm] also im prinzip [mm] (l_i)_{i\in\IN} [/mm] wieder nur weniger (oder auch die gleichen) folgenglieder.
Ja. Elegantere Schreibweise: [mm] $(l_i)_{i\in I}$ [/mm] mit [mm] $I\subseteq\IN$. [/mm] In dem Fall [mm] $I:=\{2*k-1;\ k\in\IN\}$
[/mm]
Ist ein gutes Beispiel. Zeig, daß [mm] $(l_1,l_3,l_5,\ldots)$ [/mm] konvergiert.
Was wäre eine andere konvergente Teilfolge von [mm] $(l_i)_{i\in\IN}$?
[/mm]
> Nach Bolzano-Weierstraß besitzt jede beschränkte (unendliche reelle) Zahlenfolge mindestens eine konvergente Teilfolge.
Zitier den vollständigen Satz und überprüf, ob er hier anwendbar ist.
ciao
Stefan
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Hi
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> > Indem aus [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm] Folgeglieder weggelassen werden
> z.b. [mm](l_1, l_3,l_5...)[/mm] also im prinzip [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm]
> wieder nur weniger (oder auch die gleichen) folgenglieder.
>
> Ja. Elegantere Schreibweise: [mm](l_i)_{i\in I}[/mm] mit
> [mm]I\subseteq\IN[/mm]. In dem Fall [mm]I:=\{2*k-1;\ k\in\IN\}[/mm]
>
> Ist ein gutes Beispiel. Zeig, daß [mm](l_1,l_3,l_5,\ldots)[/mm]
> konvergiert.
da bereitet mir dieser raum wieder schwierigkeiten, bei einer normalen folge [mm] x_n [/mm] die gegen einen punkt a konvergiert würde ich zeigen, dass
[mm] ||x_n,a||< \varepsilon [/mm] (per def) mit ||.|| als euklidische standardmetrik. Wie ich es jetzt verstanden habe, benutze ich im [mm] l^2 [/mm] die metrik [mm] ||.||_2. [/mm] Aber was ist der Grenzwert gegen den die Teilfolge konvergiert?
Die Folgenglieder der Teilfolge bleiben ja immer gleich in unserem bseipiel, daher so:
[mm] d(l_1,l_{2n-1})=\| l_1-l_{2n-1}\|_{\ell^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(l_1-l_{2n-1})^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(-\frac 1{n^3}+\frac 1{n^3})^2}=0
[/mm]
???
> Was wäre eine andere konvergente Teilfolge von
> [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm]?
[mm] I_gerade:=\{2*k;\ k\in\IN\}
[/mm]
>
> > Nach Bolzano-Weierstraß besitzt jede beschränkte
> (unendliche reelle) Zahlenfolge mindestens eine konvergente
> Teilfolge.
>
> Zitier den vollständigen Satz und überprüf, ob er hier
Jede beschränkte Folge [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] reller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.
> anwendbar ist.
wir hatten ja raus, dass die Folge [mm] (l_i)_{i\in\IN} [/mm] beschränkt ist , daher kann man den satz benutzen, weshalb es konvergente TF geben muss (zumindest eine).
LG
pythagora
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mo 16.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> Wie ich es jetzt verstanden habe, benutze
> ich im [mm]l^2[/mm] die metrik [mm]||.||_2.[/mm]
Naja ... das eine ist eine Norm. Welche Metrik benutzt du denn genau?
> Aber was ist der Grenzwert
> gegen den die Teilfolge konvergiert?
> Die Folgenglieder der Teilfolge bleiben ja immer gleich in
> unserem bseipiel, daher so:
>
> [mm]d(l_1,l_{2n-1})=\| l_1-l_{2n-1}\|_{\ell^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(l_1-l_{2n-1})^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(-\frac 1{n^3}+\frac 1{n^3})^2}=0[/mm]
>
> ???
Ach, sowas. Und wogegen konvergiert eine Folge, in die jedes Folgenglied identisch ist?
> wir hatten ja raus, dass die Folge [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm]
> beschränkt ist , daher kann man den satz benutzen, weshalb
> es konvergente TF geben muss (zumindest eine).
...
Steht das da wirklich, oder verguck ich mich da? Ignorierst du die Sachen, die wir geschrieben haben, oder was ist da los?
SEcki
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Hi,
> > Wie ich es jetzt verstanden habe, benutze
> > ich im [mm]l^2[/mm] die metrik [mm]||.||_2.[/mm]
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> Naja ... das eine ist eine Norm. Welche Metrik benutzt du
> denn genau?
>
> > Aber was ist der Grenzwert
> > gegen den die Teilfolge konvergiert?
> > Die Folgenglieder der Teilfolge bleiben ja immer gleich
> in
> > unserem bseipiel, daher so:
> >
> > [mm]d(l_1,l_{2n-1})=\| l_1-l_{2n-1}\|_{\ell^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(l_1-l_{2n-1})^2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(-\frac 1{n^3}+\frac 1{n^3})^2}=0[/mm]
>
> >
> > ???
>
> Ach, sowas. Und wogegen konvergiert eine Folge, in die
gegen das folgenglied selbst.!?
> > wir hatten ja raus, dass die Folge [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm]
> > beschränkt ist , daher kann man den satz benutzen, weshalb
> > es konvergente TF geben muss (zumindest eine).
>
> ...
>
> Steht das da wirklich, oder verguck ich mich da? Ignorierst
> du die Sachen, die wir geschrieben haben, oder was ist da
> los?
nene, ich nehme das schon wahr, dass ich hier irgendwas immer wieder falsch mache aber ich weiß nicht warum, denn [mm] (l_i)_{i\in\IN} [/mm] ist ja nun eine beschränkte folge (das hatten wir ja rausgefunden) also weiß ich nicht, warum ich den satz nicht anwenden darf...Kannst du mir das erklären?? Wäre lieb.
Edit: moooment, weil es nicht abgeschlossen ist??? Wenn das der fall ist habe ich absolut keine ahnung wie ich jetzt kompaktheit zeigen kann...
Edit2:
was ist ausßerdem mit dem Statement in (https://matheraum.de/read?i=794019)?? Oder war das nicht richtig und ich sollte da nur drüber nachdenken??
Danke schön^^
LG
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mo 16.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> > Ach, sowas. Und wogegen konvergiert eine Folge, in die
> gegen das folgenglied selbst.!?
Ja. Aber da soltlen keine "?" kommen, wenn du die Grundlagen zur Konvergenz beherrscht. Es scheint mir da ein bisschen als der [m]\ell^2[/m] im Argen zu sein
> nene, ich nehme das schon wahr, dass ich hier irgendwas
> immer wieder falsch mache aber ich weiß nicht warum, denn
> [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm] ist ja nun eine beschränkte folge (das
> hatten wir ja rausgefunden) also weiß ich nicht, warum ich
> den satz nicht anwenden darf...Kannst du mir das
> erklären?? Wäre lieb.
Den Satz einmal laut vorlesen ... sind die [m]\ell_i[/m] reelle Zahlen?
> Edit: moooment, weil es nicht abgeschlossen ist???
Herrje. Was soll abgeschlossen sein? Die Folge?
> was ist ausßerdem mit dem Statement in
> (https://matheraum.de/read?i=794019)?? Oder war das nicht
> richtig und ich sollte da nur drüber nachdenken??
Das war richtig (und ein Teil der Lösung der Aufgabe ... man muss das Problem eben doch geschickt auf den endlich dimensionalen Fall reduzieren, was aber technisch ist - und ohne die Objekte zu verstehen für dich leider unmöglichg zu folgen).
SEcki
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Hi,
> > > Ach, sowas. Und wogegen konvergiert eine Folge, in die
> > gegen das folgenglied selbst.!?
>
> Ja. Aber da soltlen keine "?" kommen, wenn du die
> Grundlagen zur Konvergenz beherrscht. Es scheint mir da ein
> bisschen als der [m]\ell^2[/m] im Argen zu sein
ich zweile momentan nur an den dingen mir denen ich sonst meine aufgaben zu 100% richtig gelöst habe...
> > nene, ich nehme das schon wahr, dass ich hier irgendwas
> > immer wieder falsch mache aber ich weiß nicht warum, denn
> > [mm](l_i)_{i\in\IN}[/mm] ist ja nun eine beschränkte folge (das
> > hatten wir ja rausgefunden) also weiß ich nicht, warum ich
> > den satz nicht anwenden darf...Kannst du mir das
> > erklären?? Wäre lieb.
>
> Den Satz einmal laut vorlesen ... sind die [m]\ell_i[/m] reelle
> Zahlen?
oh, übersehen, schade...
Also was ich eingentlich versuche ist ja zu zeigen ist kompaktheit und beschränktheit. Beschränktheit ist eingelich kein problem, weil ich eüber die norm [mm] ||.||_2 [/mm] doch konvergenz zeigen kann (oder auch nicht, je nach aufgabe). Für die folgenkompaktheit muss ich zeigen, dass jede folge eine konvergente teilfolge enthält. ich schwimme gerade, weil ich nicht weiß, welche richtung ich überhaupt einschlagen muss um zu zeigen, dass es kompakt ist... also wie komme ich auf die konvergenten teilfolgen? nur so vom groben gedanken her, damit ich vielleicht mal ne idee bnekomme, was ich überhaupt machen muss...
LG
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Di 17.05.2011 | | Autor: | Blech |
> oh, übersehen, schade...
Nach, wortwörtlich, dutzendfacher Aufforderung, sauber zu arbeiten, und trotz des expliziten Hinweises, daß Du Dir den *ganzen* Satz anschauen sollst, warst Du nicht in der Lage, einen einzeiligen deutschen Satz vollständig durchzulesen, sondern hast offensichtlich nach Wort 4 schon aufgehört. Schade.
Fang mit der c) an. Das ist die einfachste. Such Dir ein Bsp für eine beschränkte Folge, die keine konvergente Teilfolge hat, was nicht besonders schwer ist, nimm einfach die "Einheitsvektoren".
Dann mach mit der b) weiter. Die Menge ist nicht beschränkt, also trivialerweise auch nicht kompakt.
Zur a) hast Du schon eine Anleitung.
Ich habe fertig
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:44 Di 17.05.2011 | | Autor: | pythagora |
Ich danke dir.
pythagora
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