Beschränkte/Kompakte Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 So 27.11.2005 | | Autor: | GetBack |
Hallo Leute,
ich hab da mal wieder eine Aufgabe. Ich soll untersuchen, ob die Mengen [mm] E_1, E_2 [/mm] beschränkt bzw. kompakt im [mm] L^{1}(0,1) [/mm] sind:
a) [mm] E_1=\{f:(0,1) \to \IR | f(x)=x^{-\alpha}, 0 \le \alpha < 1\}[/mm]
b) [mm] E_2=\{f:(0,1) \to \IR | f(x)=\sin(\omega x), \omega \in \IR\}[/mm].
Beschränktheit einer Menge M bedeutet doch: [mm] \exists c \in \IR\ \forall x \in M: \| x \| \le c[/mm].
Für [mm] E_1[/mm] bedeutet das doch: [mm] \| x^{-\alpha} \|=\integral_{0}^{1} {\left| x^{-\alpha} \right| dx}={{1^{1-\alpha}} \over {1-\alpha}} - {{0^{1-\alpha}} \over {1-\alpha}} = {1 \over {1- \alpha}} [/mm]. Aber [mm] \limes_{\alpha \rightarrow 1} {1 \over {1- \alpha}} = \infty[/mm]. Ist deswegen jetzt [mm]E_1[/mm] unbeschränkt oder doch beschränkt?
Und für [mm]E_2[/mm] folgt: [mm] \| \sin(\omega x) \| \le \max_{0
Und wie weise ich jetzt die Kompaktheit der Mengen nach?
Vielen Dank
Euer GetBack
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Hallo!
> Für [mm]E_1[/mm] bedeutet das doch: [mm]\| x^{-\alpha} \|=\integral_{0}^{1} {\left| x^{-\alpha} \right| dx}={{1^{1-\alpha}} \over {1-\alpha}} - {{0^{1-\alpha}} \over {1-\alpha}} = {1 \over {1- \alpha}} [/mm].
> Aber [mm]\limes_{\alpha \rightarrow 1} {1 \over {1- \alpha}} = \infty[/mm].
> Ist deswegen jetzt [mm]E_1[/mm] unbeschränkt oder doch beschränkt?
Keine Unsicherheit vorschützen! Die Menge [mm] $E_1$ [/mm] ist in der Tat unbeschränkt.
> Und für [mm]E_2[/mm] folgt: [mm]\| \sin(\omega x) \| \le \max_{0
> Damit ist [mm]E_2[/mm] also beschränkt.
So ist es. Ich würde höchstens [mm]\| \sin(\omega x) \| \le \max_{0\le x\le 1} \left| \sin(\omega x) \right| \le 1 [/mm] schreiben, aus Sicherheitsgründen. Für sehr kleine Werte von [mm] $\omega$ [/mm] kann es durchaus passieren, dass das Maximum von [mm] $|\sin(\omega [/mm] x)|$ nicht 1 ist.
> Und wie weise ich jetzt die Kompaktheit der Mengen nach?
Für [mm] $E_1$ [/mm] gestaltet sich das ganz recht einfach: Eine Menge, die unbeschränkt ist, kann nicht kompakt sein.
Um [mm] $E_2$ [/mm] zu untersuchen, würde ich mal mein Glück mit offenen Überdeckungen versuchen.
Es gibt schließlich eine offene Überdeckung von [mm] $\IR$, [/mm] die keine endliche Teilüberdeckung hat...
Gruß, banachella
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