Beschränktheit &Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Fr 07.12.2012 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachfolgenden Zahlenfolgen auf Beschränktheit und bestimmen Sie gegebenenfalls die Häufungspunkte.
a) [mm] a_{n}:= (1+\bruch{(-1)^{n}}{n})^{n} [/mm] |
Hallo,
nach ausrechnen der ersten Werte und Werte für 9 Mio und 9 Mio+1 gehe ich davon aus, dass Häufungspunkte bei etwa 2,7 und 0,37 liegen..dahin würden für gerade bzw. für ungerade n die Teilfolgen konvergieren. Das Problem ist wir hatten Häufungspunkte noch nicht in der Vorlesung weil der Prof in der Vorlesung nicht soweit kam aber er meinte wir sollen es trotzdem probieren, weils halt auf dem Übungsblatt steht..demnach hab ich jetzt erst mal gegoogelt und ne Definition von Häufungspunkten gesucht (=Grenzwerte von Teilfolgen). Aber ich weiß leider nicht wie ich an den Beweis rangehen soll :( Zudem muss ich ja die Beschränktheit noch nachweisen und bin auch hier ein bisschen überfragt weil wir da noch kein Beispiel mit Folgen hatten. Das Kriterium ist ja hier dass [mm] |a_{n}| \le [/mm] k für k [mm] \ge [/mm] 0 und für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Kann mir bitte jemand Tipps geben, ich wäre euch überaus dankbar!!
Liebe Grüße
Tamara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Fr 07.12.2012 | | Autor: | sYcore |
Du kannst dir die Teilfolgen für gerade, bzw. ungerade n angucken. Dies sind gerade zwei konvergente Teilfolgen, woraus die Antwort auf deine Fragen sofort folgt, denn konvergente Folgen sind beschränkt, und damit auch die gesamte Folge und desweiteren hat die Folge dann genau zwei Häufungspunkte und zwar die Grenzwerte der Teilfolgen.(Konvergente Folgen haben genau einen Häufungspunkt und zwar ihren Grenzwert!) Guck dir in dem Zusammenhang mal die e-Funktion an, dann siehst du auch schon wie die Näherungswerte, welche du angegeben hast mit den beiden Folgen in Verbindung stehen ;)
Zur Beschränktheit kann man folgern [mm]0\leq a_{2n+1}\leq a_1\leq a_{2n}\leq a_2\leq 3[/mm], wobei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n+1}=a_1[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n}=a_2[/mm]
Das folgt daraus, dass beide Teilfolgen streng monoton wachsend sind.
Außerdem (zur Definition) kann man auch formulieren:
[mm]x\in \IR[/mm] ist Häufungspunkt [mm]\Leftrightarrow[/mm] in jeder [mm]\varepsilon[/mm]- Umgebung von [mm]x[/mm] liegen unendlich viele Folgenglieder.
Ich denke Beschränktheit sollte klar sein, wenn man sich die Definition des Betrages anschaut.
Ich hoffe das hilft ein wenig.
LG syc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Sa 08.12.2012 | | Autor: | tmili |
Hallo,
erst einmal vielen Dank für deine Idee mit den Teilfolgen. Somit geht die Teilfolge für gerade n gegen e und die für ungerade n gegen [mm] \bruch{1}{e}.
[/mm]
Jaja ich habe den Zusammenhang gefunden ;)
Gibt es da einen Beweis dafür, dass [mm] lim(1+\bruch{1}{n})^{n}=e [/mm] bzw. [mm] lim(1-\bruch{1}{n})^{n}= \bruch{1}{e}. [/mm] Oder ist das einfach so definiert und ich kann es so stehen lassen?
Wenn das alles so stimmt habe ich ja meine Schranke nach oben auch gefunden, die dann hiermit e wäre und durch die Bernoulli-Ungleichung finde ich heraus, dass die Teilfolge für gerade n nach unten durch 2 beschränkt ist, wobei die Teilfolge für ungerade n nach unten durch 0 beschränkt ist. Damit könnte ich doch dann auf die Beschränktheit der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] schließen und sagen [mm] 0\le (a_{n})
Hier habe ich auch eine Frage zu deiner Antwort. Du hast 3 als obere Schranke gewählt, aber da der Limes der Teilfolge gegen e läuft müsste e doch auch passen oder? Zudem leuchtet mir nicht ein warum lim [mm] a_{2n+1} =a_{1} (a_{1} [/mm] ist doch Null und nicht [mm] \bruch{1}{e}) [/mm] und lim [mm] a_{2n}=a_{2} (a_{2} [/mm] ist doch 2,25 und nicht e). Hoffe du verstehst was ich meine!
Vielen Dank im Voraus!
Tamara
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Hallo Tamara,
nun, ich nehme an, dass euch die Definition von e über den Grenzwert gegeben wurde. Von daher ist ein Beweis, dass [mm] a_{2n}\to{e} [/mm] und [mm] a_{2n+1}\to{1/e} [/mm] sicherlich überflüssig.
Ein möglicher Beweis geht über die Reihendarstellung von e.
Wie auch immer. Ich nehme an, dass euch jedoch diese Grenzwertdefinition gegeben wurde.
Die Beschränktheit musst du auch nicht nachweisen, denn [mm] a_{2n} [/mm] und [mm] a_{2n+1} [/mm] sind beide konvergent.
Es gilt der Satz:
Eine konvergente Folge ist beschränkt.
Es erscheint geradezu logisch, dass, wenn beide Teilfolgen beschränkt sind auch die Folge an sich beschränkt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Di 11.12.2012 | | Autor: | sYcore |
> Hallo,
> erst einmal vielen Dank für deine Idee mit den
> Teilfolgen. Somit geht die Teilfolge für gerade n gegen e
> und die für ungerade n gegen [mm]\bruch{1}{e}.[/mm]
> Jaja ich habe den Zusammenhang gefunden ;)
> Gibt es da einen Beweis dafür, dass
> [mm]lim(1+\bruch{1}{n})^{n}=e[/mm] bzw. [mm]lim(1-\bruch{1}{n})^{n}= \bruch{1}{e}.[/mm]
> Oder ist das einfach so definiert und ich kann es so stehen
> lassen?
> Wenn das alles so stimmt habe ich ja meine Schranke nach
> oben auch gefunden, die dann hiermit e wäre und durch die
> Bernoulli-Ungleichung finde ich heraus, dass die Teilfolge
> für gerade n nach unten durch 2 beschränkt ist, wobei die
> Teilfolge für ungerade n nach unten durch 0 beschränkt
> ist. Damit könnte ich doch dann auf die Beschränktheit
> der Folge [mm](a_{n})[/mm] schließen und sagen [mm]0\le (a_{n})
> oder?
> Hier habe ich auch eine Frage zu deiner Antwort. Du hast 3
> als obere Schranke gewählt, aber da der Limes der
> Teilfolge gegen e läuft müsste e doch auch passen oder?
> Zudem leuchtet mir nicht ein warum lim [mm]a_{2n+1} =a_{1} (a_{1}[/mm]
> ist doch Null und nicht [mm]\bruch{1}{e})[/mm] und lim [mm]a_{2n}=a_{2} (a_{2}[/mm]
> ist doch 2,25 und nicht e). Hoffe du verstehst was ich
> meine!
> Vielen Dank im Voraus!
> Tamara
Hallo Tamara,
Tut mir echt leid... War wohl ne sehr doofe Wahl der Variablen der Grenzwerte als [mm]a_1[/mm] bzw.[mm]a_2[/mm]. Natürlich waren nicht die Folgenglieder gemeint, sondern [mm]e[/mm] und [mm]1/e[/mm]. Sorry fürs Verwirrung stiften. Und das mit dem e stimmt natürlich auch, wenn du gezeigt hast, dass die Folge monoton wachsend ist ;)
LG syc
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