Beschränktheit, Monotonie, Ste < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Mo 11.07.2005 | | Autor: | akr |
Hallo,
kann mir jemand sagen, wie man die Funktion
f(x)= 3x²+5x+1
x²+2
auf Stetigkeit (ist sie stetig, weil alle rationalen Funktionen per se stetig sind?)
und
f(x)= 2
3+5x
in ihrem maximalen Definitionsbereich auf Beschränktheit und Monotonie untersucht???
Schnelle Hilfe wäre toll!!!
Liebe Grüße und schöne Nacht noch!
Alex
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> Hallo,
> kann mir jemand sagen, wie man die Funktion
> f(x)= 3x²+5x+1
> x²+2
> auf Stetigkeit (ist sie stetig, weil alle rationalen
> Funktionen per se stetig sind?)
Hallo,
Du hast recht, die rationalen Funktionen sind per se stetig - auf ihrem Definitionsbereich. Den muß man sich genau angucken.
Nun, bei der ersten Fkt. ist alles in Butter. Der Nenner kann nicht null werden, also D= [mm] \IR.
[/mm]
>
> und
> f(x)= [mm] \bruch{2}{3+5x}
[/mm]
> in ihrem maximalen Definitionsbereich auf Beschränktheit
> und Monotonie untersucht???
Bei der zweiten muß der Punkt, an welchem 3+5x=0 ist, also x=- [mm] \bruch{3}{5}, [/mm] ausgenommen werden.
Für die Beschränktheit interessiert das Verhalten für x [mm] \to \pm \infty [/mm] und das Verhalten im Bereich der Definitionslücken. Also Grenzwert betrachten.
Für x [mm] \to \infty [/mm] z.B. bekommt man für die erste Fkt. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3x²+5x+1}{x^2+2}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{1}{x^2}(3x²+5x+1)}{\bruch{1}{x^2}(x^2+2)}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3+5 \bruch{1}{x}+ \bruch{1}{x^2}}{1+2 \bruch{1}{x^2}}=3, [/mm] für die zweite sieht man sofort, daß es gegen null geht. Hier ist der Bereich der Definitionslücke interessanter. Da läuft die Fkt. rechts nach [mm] \infty, [/mm] links nach - [mm] \infty, [/mm] also ist sie nicht beschränkt.
Für die Monotonie würde ich die jeweiligen Intervalle angeben für Wachsen und Fallen. Bei der zweiten Fkt. sieht man das ja schnell, und kann es so begründen: für - [mm] \bruch{3}{5}
Ansonsten: die erste Ableitung. Wo ist sie >0 und wo kleiner?
> Liebe Grüße und schöne Nacht noch!
> Alex
Einen guten Morgen!
Angela
>
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