Beschränktheit einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo MatheForum!
Gegeben ist die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{5n} [/mm] die auf Monotonie und Beschränktheit (Konvergenz) untersucht werden soll.
Was die Beschränktheit angeht, habe ich folgendes herausbekommen:
[mm] \bruch{1}{5} \le a_n \le \bruch{2}{5}
[/mm]
In der Lösung ist aber von s=0 und S=1 die Rede.
Das kommt mir aber seltsam vor
Wegen der strengen Monotonie müsste S= [mm] \bruch{2}{5} [/mm] doch stimmen.
Die größte untere Schranke s entspricht dem grenzwert, also s= [mm] \bruch{1}{5} [/mm] .
Das waren jedenfalls meine Überlegungen.
Was stimmt? bzw. Wo liegt mein Denkfehler?
LG eli
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo MatheForum!
>
> Gegeben ist die Folge [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{5n}[/mm] die auf
> Monotonie und Beschränktheit (Konvergenz) untersucht werden
> soll.
>
> Was die Beschränktheit angeht, habe ich folgendes
> herausbekommen:
> [mm]\bruch{1}{5} \le a_n \le \bruch{2}{5}[/mm]
>
> In der Lösung ist aber von s=0 und S=1 die Rede.
> Das kommt mir aber seltsam vor
>
> Wegen der strengen Monotonie müsste S= [mm]\bruch{2}{5}[/mm] doch
> stimmen.
> Die größte untere Schranke s entspricht dem grenzwert,
> also s= [mm]\bruch{1}{5}[/mm] .
> Das waren jedenfalls meine Überlegungen.
>
> Was stimmt? bzw. Wo liegt mein Denkfehler?
>
> LG eli
also zunächst mal sind Deine Überlegungen auch absolut richtig, zudem sollte die Folge (streng) monoton fallend sein, sofern ich das richtig sehe.
Zu Deiner Frage:
Wenn ich Dir nun sage, dass ja offensichtlich:
$0 [mm] \le \frac{1}{5}$ [/mm] und $1 [mm] \ge \frac{2}{5}$ [/mm] gilt, ist Deine Frage dann damit beantwortet? Bei den Schranken für eine Folge ist ja nicht je von einer bestmöglichen Schranke die Rede. Dein Lehrer hätte genausogut sagen können, dass $-10 [mm] \le a_n \le 10^4$ [/mm] für alle $n$ gilt. Denn dass diese Abschätzung auch stimmt, folgt ja auch aus [mm] $\frac{1}{5} \le a_n \le \frac{2}{5}$ [/mm] für alle $n$.
Und es ist oft sogar mehr oder weniger Zufall, wenn man direkt eine Schranke so findet, dass sie sogar der Grenzwert der Folge ist.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Vielen Dank!
Ich habe verstanden.
Wäre aber nach der kleinsten oberen Schranke und der größten unteren Schranke gefragt, wäre meine Lösung die richtige, oder?
Ich dachte bisher, dass der Grenzwert einer Folge immer eine größte untere (bei streng fallender Monotonie) bzw. kleinste obere Schranke (bei streng steigender Monotonie) darstellt
Du sagst, dass es sich dabei um einen Zufall handelt.
Kannst du mir vielleicht ein Beispiel machen, wo der Grenzwert keiner Schranke entspricht?
Das wäre nett.
LG Eli
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Eli,
> Vielen Dank!
>
> Ich habe verstanden.
> Wäre aber nach der kleinsten oberen Schranke und der
> größten unteren Schranke gefragt, wäre meine Lösung die
> richtige, oder?
>
Genau!
> Ich dachte bisher, dass der Grenzwert einer Folge immer
> eine größte untere (bei streng fallender Monotonie) bzw.
> kleinste obere Schranke (bei streng steigender Monotonie)
> darstellt
Das ist auch richtig.
> Du sagst, dass es sich dabei um einen Zufall handelt.
Wenn Du keine Grenzwertuntersuchung machst, sondern nur durch eine Abschätzung eine Schranke suchst, findest Du in der Regel nicht den Grenzwert als untere Schranke (bei fallenden Folgen) bzw. als obere (bei steigenden Folgen=
Gruß
Sigrid
>
> Kannst du mir vielleicht ein Beispiel machen, wo der
> Grenzwert keiner Schranke entspricht?
Das geht nur bei nicht monotonen.
>
> Das wäre nett.
>
> LG Eli
>
>
>
|
|
|
| |
|
Danke, Sigrid!
> >
> > Kannst du mir vielleicht ein Beispiel machen, wo der
> > Grenzwert keiner Schranke entspricht?
>
> Das geht nur bei nicht monotonen.
> >
Wenn Folgen nicht monoton sind, sind sie aber auch nicht konvergent, oder?
LG und einen schönen Abend
Eli
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Elisabeth!
Hier ein Gegenbeispiel zu Deiner Behauptung: [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^n}{n}$ [/mm] .
Diese Folge ist nicht monoton aber dennoch konvergent. Zudem sind die Schranken dieser Folge auch nicht der Grenzwert.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Alles klar, Loddar. Du hast natürlich Recht.
Vielen Dank für das Beispiel!
Wünsche noch einen schönen Abend!
|
|
|
|
