Beschränktheit einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 So 01.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm] x_{1},x_{2},... [/mm] eine konvergente Folge von Punkten in X.Man zeige, dass [mm] \{x_{n};n \in \IN\} [/mm] beschränkt ist. |
Hallo zusammen^^
Ich habe den Beweis versucht, aber komme leider nicht mehr weiter.
Es wäre lieb,wenn mir jemand helfen könnte.
[mm] \{x_{n}\} [/mm] ist konvergent,konvergiert also gegen ein x [mm] \in [/mm] X.Das bedeutet es existiert ein N [mm] \in \IN:d(x_{n},x)<\varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N, [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Und ich muss jetzt zeigen, dass [mm] \{x_{n}\} [/mm] beschränkt ist, d.h. [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X, M >0: [mm] \{x_{n}\} \subseteq [/mm] K(x,M).
Jetzt ist [mm] K(x;M)=\{y \in X:d(x,y)
Also intuitiv ist das schon klar, dass jede konvergente Folge beschränkt sein muss, aber mir fehlt irgendwie der Anfang des Beweises.
Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich anfangen kann?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 So 01.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Moin,
> Sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm]x_{1},x_{2},...[/mm] eine
> konvergente Folge von Punkten in X.Man zeige, dass
> [mm]\{x_{n};n \in \IN\}[/mm] beschränkt ist.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich habe den Beweis versucht, aber komme leider nicht mehr
> weiter.
> Es wäre lieb,wenn mir jemand helfen könnte.
>
> [mm]\{x_{n}\}[/mm] ist konvergent,konvergiert also gegen ein x [mm]\in[/mm]
> X.Das bedeutet es existiert ein N [mm]\in \IN:d(x_{n},x)<\varepsilon \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N, [mm]\varepsilon[/mm] >0.
>
> Und ich muss jetzt zeigen, dass [mm]\{x_{n}\}[/mm] beschränkt ist,
> d.h. [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X, M >0: [mm]\{x_{n}\} \subseteq[/mm] K(x,M).
> Jetzt ist [mm]K(x;M)=\{y \in X:d(x,y)
>
> Also intuitiv ist das schon klar, dass jede konvergente
> Folge beschränkt sein muss, aber mir fehlt irgendwie der
> Anfang des Beweises.
> Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich anfangen kann?
Wähle dir zum Beispiel [mm] $\varepsilon [/mm] = 1$. Da [mm] $\{x_n\}$ [/mm] konvergiert, existiert ein $N [mm] \in \IN: d(x_i,x) \leq [/mm] 1 [mm] \;\;\forall [/mm] i [mm] \geq [/mm] N$, oder anders ausgedrückt, [mm] $x_i \in [/mm] K(x,1) [mm] \;\;\forall [/mm] i [mm] \geq [/mm] N$.
Das heißt, du weit schonmal, dass die Folge ab einem gewissen N beschränk ist. Nun musst du noch [mm] $\{x_i\}_{i=1}^{N-1}$ [/mm] betrachten. Diese Menge ist endlich, du kannst dir also einfach das [mm] $x_i$ [/mm] raussuchen, das zu x den größten Abstand hat. Hilft dir das weiter?
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 So 01.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Wähle dir zum Beispiel [mm]\varepsilon = 1[/mm]. Da [mm]\{x_n\}[/mm]
> konvergiert, existiert ein [mm]N \in \IN: d(x_i,x) \leq 1 \;\;\forall i \geq N[/mm],
> oder anders ausgedrückt, [mm]x_i \in K(x,1) \;\;\forall i \geq N[/mm].
>
> Das heißt, du weit schonmal, dass die Folge ab einem
> gewissen N beschränk ist. Nun musst du noch
> [mm]\{x_i\}_{i=1}^{N-1}[/mm] betrachten. Diese Menge ist endlich, du
> kannst dir also einfach das [mm]x_i[/mm] raussuchen, das zu x den
> größten Abstand hat. Hilft dir das weiter?
Ja vielen Dank. Das hat mir auf jeden Fall weitergeholfen. Kann ich jetzt nicht einfach so argumentieren, dass ich sage ich wähle [mm] x_{j},welches [/mm] den größten Abstand zu x hat,dieser ist [mm] \delta. [/mm] Dann setze ich einfach [mm] \varepsilon=\delta. [/mm] Das heißt es existiert ein N [mm] \in \IN: d(x_j,x) \leq \delta \;\;\forall [/mm] j [mm] \geq [/mm] N und [mm] x_{j} \in K(x,\delta) \forall [/mm] j [mm] \ge [/mm] N.
Geht das so?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 So 01.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> > Wähle dir zum Beispiel [mm]\varepsilon = 1[/mm]. Da [mm]\{x_n\}[/mm]
> > konvergiert, existiert ein [mm]N \in \IN: d(x_i,x) \leq 1 \;\;\forall i \geq N[/mm],
> > oder anders ausgedrückt, [mm]x_i \in K(x,1) \;\;\forall i \geq N[/mm].
>
> >
> > Das heißt, du weit schonmal, dass die Folge ab einem
> > gewissen N beschränk ist. Nun musst du noch
> > [mm]\{x_i\}_{i=1}^{N-1}[/mm] betrachten. Diese Menge ist endlich, du
> > kannst dir also einfach das [mm]x_i[/mm] raussuchen, das zu x den
> > größten Abstand hat. Hilft dir das weiter?
>
> Ja vielen Dank. Das hat mir auf jeden Fall weitergeholfen.
> Kann ich jetzt nicht einfach so argumentieren, dass ich
> sage ich wähle [mm]x_{j},welches[/mm] den größten Abstand zu x
> hat,dieser ist [mm]\delta.[/mm] Dann setze ich einfach
> [mm]\varepsilon=\delta.[/mm] Das heißt es existiert ein N [mm]\in \IN: d(x_j,x) \leq \delta \;\;\forall[/mm]
> j [mm]\geq[/mm] N und [mm]x_{j} \in K(x,\delta) \forall[/mm] j [mm]\ge[/mm] N.
> Geht das so?
Ja, das würde schon gehen, aber gewonnen hast du nichts. Du hast einfach ein neues N, von dem du weißt, dass alle [mm] $x_j$ [/mm] mit $j [mm] \geq [/mm] N$ in der Kugel [mm] $K(\varepsilon,x)$ [/mm] liegt.
Wenn du das [mm] $x_j$ [/mm] wählst, welches den größten Abstand zu x hat, nennen wir es [mm] $x_k$ [/mm] und setzen [mm] $d=d(x_k,x)$. [/mm] dann weißt du, dass alle [mm] $x_1,\ldots,x_N$ [/mm] in $K(x,d)$ liegen, da ja [mm] $d(x_j,x)\leq [/mm] d [mm] \;\;\forall [/mm] j [mm] \in \{1,\ldots,N\}$ [/mm] nach unserer Wahl von [mm] $x_k$.
[/mm]
Nun weißt du also, dass alle [mm] $x_j$ [/mm] für $j < N$ in der Kugel $K(x,d)$ liegen, und alle für $j [mm] \geq [/mm] N$ innerhalb von [mm] $K(x,\varepsilon)$. [/mm] Nun nimmst du einfach die größere der beiden Kugeln [mm] $K(x,max\{d,\varepsilon\})$, [/mm] da liegen dann alle Folgengleider drin. Folglich ist die Folge beschränkt.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Di 03.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Wenn du das [mm]x_j[/mm] wählst, welches den größten Abstand zu x
> hat, nennen wir es [mm]x_k[/mm] und setzen [mm]d=d(x_k,x)[/mm]. dann weißt
> du, dass alle [mm]x_1,\ldots,x_N[/mm] in [mm]K(x,d)[/mm] liegen, da ja
> [mm]d(x_j,x)\leq d \;\;\forall j \in \{1,\ldots,N\}[/mm] nach
> unserer Wahl von [mm]x_k[/mm].
>
> Nun weißt du also, dass alle [mm]x_j[/mm] für [mm]j < N[/mm] in der Kugel
> [mm]K(x,d)[/mm] liegen, und alle für [mm]j \geq N[/mm] innerhalb von
> [mm]K(x,\varepsilon)[/mm]. Nun nimmst du einfach die größere der
> beiden Kugeln [mm]K(x,max\{d,\varepsilon\})[/mm], da liegen dann
> alle Folgengleider drin. Folglich ist die Folge
> beschränkt.
Ahhh ok. Ich habs verstanden, vielen vielen Dank, das hast du echt super erklärt.
lg
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