Beschränktheit einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 So 15.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | Sei D [mm] \not= \emptyset, [/mm] f: D --> [mm] \IR, \IC [/mm] (n=1,2,...)
zz: Sei [mm] f_{n} [/mm] --> f glm. auf D, dann gilt:
f ist beschr. [mm] \gdw [/mm] nahezu alle [mm] f_{n} [/mm] beschr. |
Hi an alle!
Habe hier irgendwie keinen rechten Ansatz.
[mm] f_{n} [/mm] --> f glm: also [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \exists n_{0} [/mm] = [mm] n_{0}(\varepsilon) [/mm] | [mm] f_{n}(x)-f(x) [/mm] | < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0} \forall [/mm] x
muss also zeigen, dass f beschr. ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ab einem gewissen index die Funktionsfolge beschränkt ist.
[mm] "\Rightarrow" [/mm] da f beschränkt [mm] \exists M\ge0, [/mm] sodass | f(x) | [mm] \le [/mm] M [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D.
Aber weiter fällt mir nichts ein.
Kann mir hier jemand vielleicht weiterhelfen?
Würde mich sehr freuen!
Lg Sr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 15.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei D [mm]\not= \emptyset,[/mm] f: D --> [mm]\IR, \IC[/mm] (n=1,2,...)
> zz: Sei [mm]f_{n}[/mm] --> f glm. auf D, dann gilt:
> f ist beschr. [mm]\gdw[/mm] nahezu alle [mm]f_{n}[/mm] beschr.
> Hi an alle!
> Habe hier irgendwie keinen rechten Ansatz.
>
> [mm]f_{n}[/mm] --> f glm: also [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0: [mm]\exists n_{0}[/mm]
> = [mm]n_{0}(\varepsilon)[/mm] | [mm]f_{n}(x)-f(x)[/mm] | < [mm]\varepsilon \forall[/mm]
> n [mm]\ge n_{0} \forall[/mm] x
> muss also zeigen, dass f beschr. ist. Dies ist genau dann
> der Fall, wenn ab einem gewissen index die Funktionsfolge
> beschränkt ist.
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] da f beschränkt [mm]\exists M\ge0,[/mm] sodass | f(x)
> | [mm]\le[/mm] M [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D.
> Aber weiter fällt mir nichts ein.
> Kann mir hier jemand vielleicht weiterhelfen?
Tipp: Dreiecksungleichung. Was folgt für [mm] $|f_{n}(x)-f(x)| [/mm] + |f(x)|$?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 15.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
> Tipp: Dreiecksungleichung. Was folgt für [mm]|f_{n}(x)-f(x)| + |f(x)|[/mm]?
>
> Viele Grüße
> Rainer
Meinst du so:
[mm] |f_{n}(x)| [/mm] = [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x) + f(x)| [mm] \le |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| + |f(x)|
wobei [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| [mm] \le \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
und |f(x)| (beschränkt, also) [mm] \le [/mm] M
also [mm] |f_{n}(x)| \le \varepsilon [/mm] + M, damit beschränkt ab Index größer gleich [mm] n_{0}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 15.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Tipp: Dreiecksungleichung. Was folgt für [mm]|f_{n}(x)-f(x)| + |f(x)|[/mm]?
>
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> Meinst du so:
>
> [mm]|f_{n}(x)|[/mm] = [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x) + f(x)| [mm]\le |f_{n}(x)[/mm] -
> f(x)| + |f(x)|
> wobei [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x)| [mm]\le \varepsilon \forall[/mm] n [mm]\ge n_{0}[/mm]
>
> und |f(x)| (beschränkt, also) [mm]\le[/mm] M
>
> also [mm]|f_{n}(x)| \le \varepsilon[/mm] + M, damit beschränkt ab
> Index größer gleich [mm]n_{0}[/mm]
> ?
Ja, genau, wobei du dir einen festen Wert für [mm] $\varepsilon$ [/mm] wählen solltest.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 So 15.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
Ja genau stimmt!
ok super danke!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 15.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
müsste ich nicht streng genommen die andere seite auch noch zeigen? [mm] ("\Leftarrow")
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mo 16.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Rolli,
> müsste ich nicht streng genommen die andere seite auch
> noch zeigen? [mm]("\Leftarrow")[/mm]
Ja, du musst die Dreiecksungleichung noch einmal bemühen.
Viele Grüße
Rainer
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