Beschränktheit von Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:14 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Sei X ein endlich dimensionaler Vektorraum und seien [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] und [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] ' zwei Normen auf X. Zeigen Sie, dass eine Menge B [mm] \subset [/mm] X dann und nur dann bzgl. [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] beschränkt ist, wenn es auch bzgl. [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] ' ist. |
Hallo,
ich habe ein paar Vorüberlegungen gemacht, aber komme irgendwie nicht weiter, könnt ihr mir bitte mal eine Stütze geben? Vielen Dank. Weiß irgendwie nicht was ich da jetzt rechnen soll.
Die Menge ist beschränkt, falls diam(x) < [mm] \infty
[/mm]
d.h. X ist genau dann beschränkt, wenn X in einer genügend großen Kugel enthalten ist, d.h. wiederum wenn ein Pkt. a [mm] \in [/mm] X und eine Zahl r [mm] \in \IR [/mm] : r > 0 existiert, sodass X [mm] \subset [/mm] Br(a). Es gilt
diam Br(a) [mm] \le [/mm] 2r
andere Überlegung war: x [mm] \in [/mm] Br [mm] \subset [/mm] X [mm] \exists [/mm] M > 0 : [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel \le [/mm] M und
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ' [mm] \le [/mm] M
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Fr 17.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein endlich dimensionaler Vektorraum und seien
> [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel[/mm] und [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel[/mm] ' zwei
> Normen auf X. Zeigen Sie, dass eine Menge B [mm]\subset[/mm] X dann
> und nur dann bzgl. [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel[/mm] beschränkt ist,
> wenn es auch bzgl. [mm]\parallel[/mm] . [mm]\parallel[/mm] ' ist.
> Hallo,
> ich habe ein paar Vorüberlegungen gemacht, aber komme
> irgendwie nicht weiter, könnt ihr mir bitte mal eine Stütze
> geben? Vielen Dank. Weiß irgendwie nicht was ich da jetzt
> rechnen soll.
>
> Die Menge ist beschränkt, falls diam(x) < [mm]\infty[/mm]
> d.h. X ist genau dann beschränkt, wenn X in einer genügend
> großen Kugel enthalten ist, d.h. wiederum wenn ein Pkt. a
> [mm]\in[/mm] X und eine Zahl r [mm]\in \IR[/mm] : r > 0 existiert, sodass X
> [mm]\subset[/mm] Br(a). Es gilt
> diam Br(a) [mm]\le[/mm] 2r
>
> andere Überlegung war: x [mm]\in[/mm] Br [mm]\subset[/mm] X [mm]\exists[/mm] M > 0
> : [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel \le[/mm] M und
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] ' [mm]\le[/mm] M
Bei Deinen obigen Ausführungen zur Beschränktheit, sollte es wohl überall B statt X heißen
Tipp: da X endlichdimensional ist, sind je 2 Normen auf X zueinander äquivalent.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Ultio |
Erstmal Danke für die rasche Antwort.
Also muss ich den allgemeinen Beweis von Einheitskugeln verwenden, aber daran erkenne ich doch nicht, dass die Mengen, von denen in der Aufgabe die Rede ist, beschränkt sind?
mit freundlichen Grüßen
Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:21 Di 21.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Felix!
> Erstmal Danke für die rasche Antwort.
> Also muss ich den allgemeinen Beweis von Einheitskugeln
> verwenden, aber daran erkenne ich doch nicht, dass die
> Mengen, von denen in der Aufgabe die Rede ist, beschränkt
> sind?
Beschraenkt heisst doch einfach, dass du die Einheitskugel gross genug aufblasen kannst, so dass sie die Menge enthaelt.
Wenn fuer alle $x [mm] \in [/mm] B$ gilt [mm] $\| [/mm] x [mm] \| \le [/mm] C$ fuer ein $C > 0$, dann ist $B$ etwa komplett in [mm] $B_{2 C}(0) [/mm] = [mm] \{ x \mid \|x\| < 2 C \} [/mm] = 2 C [mm] \cdot B_1(0)$ [/mm] enthalten.
LG Felix
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