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| Aufgabe | Das Volumen eines Körpers wurde durch die folgende Formel berechnet:
V= [mm] \integral_{0}^{\pi}{\pi*(cos(x))^{2} dx}.
[/mm]
Beschreiben Sie die Form des Körpers und fertigen Sie eine Skizze an. |
Hallo, ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank.
Ich habe bisher die Stammfunktion des Integranden gebildet und
[mm] \pi*\bruch{1}{2}*(x+sin(x)*cos(x)) [/mm] erhalten. Dies an der oberen Grenze - dies an der unteren Grenze lieferte mir [mm] \bruch{1}{2}*\pi, [/mm] doch hat es mir zur Beschreibung und Anfertigung der Skizze leider nicht geholfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und wäre über weitere Denkanstöße bis hin zur Lösung sehr dankbar.
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Mit Hilfe eines Integrals wird nicht nur die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse berechnet.
Wenn man den Graphen einer Funktion um die x-Achse rotieren lässt, entsteht ein sogenannter Rotationskörper, der von dem rotierenden Graphen begrenzt wird. So wird aus einem rotierenden oberen Halbkreis eine Kugel, aus einer Ursprungsgeraden von x=0 bis x=a ein quer liegender Kegel der Höhe a usw.
Die Formel für die Volumenberechnung eines solchen Körpers, dessen Graph der Funktion f(x) von x=a bis x=b geht und um die X-Achse rotiert, lautet
V = [mm] \pi \integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx}.
[/mm]
Lässt man also den Graphen der Kosinus-Funktion von x=0 bis [mm] x=\pi [/mm] um die x-Achse rotieren, so hätte der Rotationskörper genau dieses Volumen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Allerdings lässt sich das Ganze nicht umkehren: Ein Körper, der sich so berechnen lässt, muss nicht genau auf diese Weise entstanden sein. Ein Würfel aus lauter Notizzetteln mit der Kantenlänge a hat das Volumen [mm] a^3, [/mm] aber wenn man ihn schräg verschiebt ("Scherung"), hat er noch das selbe Volumen mit der selben Formel, ist aber kein Würfel mehr.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der zu deiner Formel passende Körper kann, muss aber nicht so aussehen /entstanden sein.
Würde man den Körper z.B. in hauchdünne senkrechte Scheiben zerschneiden und diese auf die x-Achse nebeneinander legen, so würde daraus der abgebildete körper entstehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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