Best. Fläche zw. 2 Fktn. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mo 17.04.2006 | | Autor: | DannySX |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Kurve [mm]C[/mm] mit der Gleichung [mm] y = \bruch{4}{x} ; x \ne 0 [/mm] schneidet keine der Kurven [mm] K_t = f_t(x) = \bruch{4x - 2t}{x^2} ; x \ne 0 ; t > 0 [/mm]
Die Kurven [mm] C [/mm] und [mm] K_t [/mm] sowie die Geraden [mm] x = t [/mm] und [mm] x = z [/mm] mit [mm] z > t [/mm] umschließen eine Fläche mit dem Inhalt [mm] A_t(z) [/mm].
Für welches [mm] z [/mm] ist [mm] A_t(z) = 1 [/mm] ?
Geben Sie [mm] \lim_{z \to \infty}A_t(z) [/mm] an.
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Hallo Leute!
Ich hab ein derbes Problem mit dem Integrieren bei dieser Aufgabenstellung (ich geh diese Aufgaben als Vorbereitung fürs Abitur durch).
Die Beweisführung, dass C und Kt sich nicht schneiden habe ich erbracht, in dem ich die beiden Funktionen gleichgesetzt habe, über Kreuz multipliziert habe und folgendes rausbekommen habe:
[mm] 0 = -2 t x [/mm]
Da ja t > 0 und x ungleich null sein sollen, kann diese Bedingung nciht erfüllt werden.
Mein Problem liegt nun in der Flächenberechnung!
So ist also mein Ansatz:
[mm] A_t(z) = \int_{t}^{z}\bruch{4}{x} - \bruch{4x - 2t}{x^2} \, dx = \int_{t}^{z}\bruch{4}{x}\, dx - \int_{t}^{z} \bruch{4x - 2t}{x^2} \, dx = 4*ln \left| x \right|^z_t [/mm]
Da ist jetzt der Knackpunkt! Ich weiss nicht wie ich den zweiten Teil ([mm]K_t[/mm]) integrieren soll!
Ich komm da auf abenteuerliche Sachen wie:
[mm] 2*ln \left| x^2 \right| + t * ln\left| x \right| * ln \left| x^2 \right| [/mm]
Selbst wenn es richtig sein sollte komm ich später bei der Berechnung f+r At(z) = 1 nicht weiter... ich habe da:
[mm] 1 = -2t * ln z * ln z - 2t * ln t * ln t [/mm]
Und da weiss ich echt nimmer Weiter!
Würde gerne von euch wissen, ob die Integration von Kt richtig ist und wie ich dann in der letzten Zeile weitermachen soll!
Würde mich sehr über eine Lösung freuen!!!
Mit freundlichen Grüßen
Danny(SX)
(Das erste Matheforum in dem ich registriert bin, wow OO)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Mo 17.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Danny
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich denk, alle deine Probleme sind gelüst, wenn du K umschreibst :
[mm]K_t = f_t(x) = \bruch{4x - 2t}{x^2}=\bruch{4}{x}-\bruch{2t}{x^2}[/mm]
Dann siehst du auch, direkt, dass sie nur für t=o gleich sein können,sonst K immer unter C!
Und integrieren ist ja jetzt auch Baby!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mo 17.04.2006 | | Autor: | DannySX |
ok! so hatte ich es dann auch, nur dass ich in 4x/x² das x nicht ausgeklammert habe und dadurch nicht gesehen habe das im endeffekt wirklich nur
[mm] \bruch{2t}{x^2} [/mm] zu integrieren ist.
Also das sieht nun folgender maßen bei mir aus:
[mm] A_t(z) = \int_{t}^{z} \bruch{2t}{x^2}\, dx = (-t) * ln \left| x \right| * ln \left| x^2 \right| ^z_t = (-2t) * (ln \left| x \right|)^2[/mm]
So jetzt kommts:
[mm] A_t(z) = 1 = (-2t) * ((ln \left| z \right|)^2 - (ln \left| t \right|)^2) [/mm]
Wenn ich jetzt noch weiter umstelle komm ich dann am Ende auf:
[mm] ln \left| z \right| = \wurzel{\bruch{1}{-2t} - (ln \left| t \right|)^2} [/mm]
Wie kann ich jetzt noch weiter umstellen (also direkt nach z) oder was ist daran falsch?
Danke für die Hilfe
Danny(SX)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Di 18.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Danny
[mm] 1/x^{2} [/mm] integriert da denkst du an [mm] x^{-2} [/mm] dann ist das Integral [mm] -1*x^{-1}
[/mm]
NUR 1/x macht da ne Ausnahme und gibt lnx
Wenn du integriert hast, differenzier immer dein Ergebnis zur Sicherheit, dann vermeidest du viele Fehler!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Di 18.04.2006 | | Autor: | DannySX |
Aso.. ich dachte es mir schon ^^
Also mal gucken:
[mm] A_t(z) = \bruch{2t}{x} ^z_t[/mm]
[mm]A_t(z) = 1 = \bruch{2t}{z} - \bruch{2t}{t} = \bruch{2t}{z} - 2[/mm]
[mm]3 = \bruch{2t}{z}[/mm]
[mm]z = \bruch{2}{3}t[/mm]
endlich mal ein sinnvolles Ergebnis!
Man, dass mir das nit selber eingefallen ist!
Müsste jetzt eigentlich richtig sein oder?
Wäre einer etwaigen Korrektur dankbar.
EDIT:
Noch was?
Wie geb ich denn jetzt richtiges limes an? Ist so lang her, dass wir das im unterricht hatten?
[mm] \lim_{z \to \infty}A_t(z) = \lim_{z \to \infty}\bruch{2t}{z}-2 = -2 [/mm]
müsste doch -2 sein, oder? Da ja z gegen unendlich geht wird der Bruch 0 und die -2 subtrahiert wären dann halt -2.
MFG Danny(SX)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Di 18.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Danny
> Aso.. ich dachte es mir schon ^^
> Also mal gucken:
>
> [mm]A_t(z) = \bruch{2t}{x} ^z_t[/mm]
FALSCH richtig: [mm]A_t(z) =- \bruch{2t}{x}| ^z_t[/mm]
> [mm]A_t(z) = 1 = \bruch{2t}{z} - \bruch{2t}{t} = \bruch{2t}{z} - 2[/mm]
>
> [mm]3 = \bruch{2t}{z}[/mm]
>
> [mm]z = \bruch{2}{3}t[/mm]
>
>
> endlich mal ein sinnvolles Ergebnis!
>
> Man, dass mir das nit selber eingefallen ist!
>
> Müsste jetzt eigentlich richtig sein oder?
>
> Wäre einer etwaigen Korrektur dankbar.
>
> EDIT:
>
> Noch was?
>
> Wie geb ich denn jetzt richtiges limes an? Ist so lang her,
> dass wir das im unterricht hatten?
>
> [mm]\lim_{z \to \infty}A_t(z) = \lim_{z \to \infty}\bruch{2t}{z}-2 = -2[/mm]
>
> müsste doch -2 sein, oder? Da ja z gegen unendlich geht
> wird der Bruch 0 und die -2 subtrahiert wären dann halt
> -2.
Richtiges Argument nur das Ergebnis hat ja das falsch Vorzeichen!
/den Fehler kannst du direkt merken: die Funktion ist ja überall positiv, also muss auch die Fläche positiv sein!(
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Di 18.04.2006 | | Autor: | DannySX |
Man ey.. ^^
Ich sollte Mathe nicht so spät abends machen, dann wäre meine Konzentration vielleicht besser.
Tut mir leid, dass es so lange gedauert hat bis es richtig wurde.
habe mein Fehler gefunden.
Dadurch, dass die Fläche = C - Kt ist, muss man ja, wenn man Kt umschreibt, diese Funktion in Klammern setzen... Deswegen hatte ich am Ende das falsche Vorzeichen!
Also ich hab jetzt raus:
z = 2t
und fürs lim dann +2 halt
Dankeschön für deine Hilfe!
Sehr nett =)
MFG Danny(SX)
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