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| Aufgabe | Sei [mm] \pi [/mm] eine Permutation der Ziffern 1,2,3 und
[mm] \alpha_{\pi} [/mm] : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}
[/mm]
die lineare Abbildung
[mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) \mapsto (x_{\pi(1)},x_{\pi(2)},x_{\pi(3)})
[/mm]
Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von [mm] {\alpha}_{\pi}. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bitte um Hilfe zur obigen Aufgabe, da mir hier so ziemlich gänzlich ein Ansatz fehlt.
Als erstes hab ich zu dieser Permutation folgende Matrix aufgestellt:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ x_{\pi(1)} & x_{\pi(2)} & x_{\pi(3)} }
[/mm]
Aber jetzt weiß ich schon nicht mehr weiter, da wir bisher den Eigenwert immer über
(A - [mm] \lambda [/mm] * E) * x = 0
bestimmt haben. Aber die Subtraktion kann ich hier ja nicht anwenden, da A nicht quadratisch und E quadratisch ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Sa 05.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst mal musst du A bestimmen! machs erst mal mit einer bestimmten Permutation, die du dir aussuchen kannst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Mathemage |
Hey, danke für den Tipp. Aber ich steh immer noch ziemlich auf dem Schlauch. Also als A habe ich bisher folgende Matrix angenommen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ x_{\pi(1)} & x_{\pi(2)} & x_{\pi(3)}}
[/mm]
Für die 2. Zeile wähle ich dann eine Permutation und es folgt
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
Wie es jetzt weitergehen soll, weiß ich allerdings nicht, da ich (A - [mm] \lambda [/mm] * E) * x = 0 aufgrund einer nicht quadratischen Matrix A nicht anwenden kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Sa 05.02.2011 | | Autor: | pyw |
Hi,
> Sei [mm]\pi[/mm] eine Permutation der Ziffern 1,2,3 und
> [mm]\alpha_{\pi}[/mm] : [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm]
> die lineare Abbildung
> [mm](x_{1},x_{2},x_{3}) \mapsto (x_{\pi(1)},x_{\pi(2)},x_{\pi(3)})[/mm]
>
> Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von
> [mm]{\alpha}_{\pi}.[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich bitte um Hilfe zur obigen Aufgabe, da mir hier so
> ziemlich gänzlich ein Ansatz fehlt.
> Als erstes hab ich zu dieser Permutation folgende Matrix
> aufgestellt:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ x_{\pi(1)} & x_{\pi(2)} & x_{\pi(3)} }[/mm]
Für die Berechnung der Eigenwerte macht diese Matrix wenig Sinn.
>
> Aber jetzt weiß ich schon nicht mehr weiter, da wir bisher
> den Eigenwert immer über
> (A - [mm]\lambda[/mm] * E) * x = 0
> bestimmt haben. Aber die Subtraktion kann ich hier ja
> nicht anwenden, da A nicht quadratisch und E quadratisch
> ist.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Die Matrix für die Abbildung [mm] a_\pi [/mm] ist auch eine 3x3 Matrix. Da [mm] \pi [/mm] eine Permutation ist, ist sie der Einheitsmatrix sogar sehr ähnlich, in Abhängigkeit von der Permutation können aber Spalten vertauscht sein.
Vielleicht hilft dir diese (Indikator-)Funktion:
[mm]f:\{0,1,2\}\times\{0,1,2\}\to \{0,1\}, f(i, j)=\begin{cases} 1, & \pi(j)=i \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
Setze dann [mm] A_{ij}=f(i, [/mm] j) als Matrixeinträge (i Zeilenindex, j Spaltenindex).
Gruß, pyw
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Hallo,
danke pyw, ich glaub das hilft mir weiter.
Ich hab die Indikatorfunktion mal folgendermaßen an eine beliebig gewählte Permutation angewandt:
f: {1,2,3} x {2,3,1} [mm] \to [/mm] {0,1}
[mm] \Rightarrow [/mm] A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Ist das richtig so weit und kann ich jetzt mit dem bekannten Ansatz (A - $ [mm] \lambda [/mm] $ * E) * x = 0 weiter machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo.
für die Permutation ist das richtig-
gruss leduart
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Hallo,
ich habe dann mal weiter gerechnet und über [mm] det(A-\lambda [/mm] * E) = 0 das charakteristische Polynom [mm] -\lambda^{3} [/mm] + 1 = 0 erhalten. Dessen Nullstelle ist [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1.
Über (A - [mm] \lambda_{1} [/mm] * E) * v = 0 habe ich den Eigenvektor v = [mm] \vektor{x \\ x \\ x} [/mm] mit x [mm] \in \IR [/mm] erhalten; also z.B. [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Stimmt das und ist das jetzt die allgemeine Lösung zur Aufgabe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt kannst du das doch sicher auf eine andere permutation anwenden, dann siehst du sicher, wie es mit anderen geht und kannst verallgemeinern. dass (1,1,19 ein Eigenvektor ist kann man ja wohl sofort sehen auch ohne die matrix. bleibt zu überlegen, ob das für alle Permutationen dasselbe ist, und er der einzige.
gruss leduart
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Also ich hab das alles mal für sämtliche 6 Permutationen durchgerechnet und bei den Eigenwerten kommt entweder nur die 1 oder 1 und -1 raus, aber die Eigenvektoren gehen schon ziemlich weit auseinander.
Wie soll ich das irgendwie verallgemeinern? Mir fehlt da komplett ein Ansatz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
Moin,
ich habe jetzt noch nicht so weit gerechnet, vielleicht kannst du deine bisherigen Ergebnisse einmal knapp posten.
Gruß, pyw
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 So 06.02.2011 | | Autor: | Mathemage |
Meine Lösungen sind:
{1,2,3}x{1,2,3}:
[mm] \lambda_{1,2,3} [/mm] = 1
[mm] v_{1,2,3} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}
[/mm]
{1,2,3}x{1,3,2}:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -1; [mm] \lambda_{2,3} [/mm] = 1
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ x_{2} \\ -x_{2}}
[/mm]
[mm] v_{2,3} [/mm] = [mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{2}}
[/mm]
{1,2,3}x{2,1,3}:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -1; [mm] \lambda_{2,3} [/mm] = 1
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{ x_{1} \\ -x_{1} \\ 0}
[/mm]
[mm] v_{2,3} [/mm] = [mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{1} \\ 0}
[/mm]
{1,2,3}x{2,3,1}:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{1} \\ x_{1}}
[/mm]
{1,2,3}x{3,1,2}:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{1} \\ x_{1}}
[/mm]
{1,2,3}x{3,2,1}:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -1; [mm] \lambda_{2,3} [/mm] = 1
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{ x_{1} \\ 0 \\ -x_{1}}
[/mm]
[mm] v_{2,3} [/mm] = [mm] \vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{1}}
[/mm]
Jetzt hab ich allerdings keine Ahnung, wie ich ne allgemeine Lösung zu den Eigenwerten und Eigenvektoren aufstelle.
Gruß,
Mathemage
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
Hi,
also was mir auffällt ist, dass der Eigenwert -1 genau dann auftaucht, wenn sich die Permutation in genau eine Transpositionen zerlegen lässt (Vorzeichen der Permutation ist -1).
Angenommen, die Permutation [mm] \pi [/mm] vertauscht nur zwei Spalten der Einheitsmatrix (Produkt aus 1 Transposition). Sei die Abbildungsmatrix [mm] E_\pi. [/mm] Wir berechnen [mm] det(\lambda E_3-E_\pi) [/mm] für das charakteristische Polynom. Auf der Hauptdiagonale findet sich dann einmal [mm] \lambda-1 [/mm] und zweimal [mm] \lambda. [/mm] Nach Sarrus wird [mm] (\lambda-1)(-1)(-1)=\lambda-1 [/mm] (die Diagonale auf der die beiden vertauschten Einsen liegen) abgezogen. Also ist [mm] p_{E_\pi}(\lambda)=(\lambda-1)\lambda^2-(\lambda-1)=(\lambda-1)^2(\lambda+1). [/mm] Zwei Eigenwerte, 1 und -1.
Angenommen, die Permutation [mm] \pi [/mm] vertauscht alle Spalten der Matrix (Produkt aus 2 Transpositionen). Dann sind die Einträge auf der Hauptdiagonale der Abbildungsmatrix [mm] E_\pi [/mm] gleich Null. Also [mm] p_{E_\pi}(\lambda)=det(E_\pi)=\lambda^3+1=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1), [/mm] denn auf einer Diagonale wird noch einmal 1 dazu addiert (nochmal drüber nachdenken ).
[mm] E_\pi [/mm] hat hier also 1 als einzigen reellen Eigenwert.
So wirklich schön ist diese Verallgemeinerung nicht, zumal du ja noch die EVs haben möchtest.
Dazu ist mir noch aufgefallen, dass in den EVs immer die Komponenten gleich sein müssen, wo die Permutation die Spalten vertauscht hat.
Für den EW 1 ist ein EV relativ klar, wurde auch schonmal angesprochen: (1,1,1)
Für den EW -1 kannst du es dir nach Belieben selbst noch einmal allgemein überlegen.
Ich glaube, dass sich bei der Aufgabe nicht wesentlich mehr verallgemeinern lässt. Kann sein, dass dich das nicht zufriedenstellt...
Gruß, pyw
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