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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 So 16.07.2006 | | Autor: | toxin |
Hallo,
Die Aufgabe lautet:
Es sei L=Q(e^(2 pi i / 5)). Bestimme alle Untergruppen der Gal (L/Q) und die zugehörigen Fixkörper.
Leider komme ich auf keinen Zwischenkörper von Q(e^(2 pi i / 5)) wodurch ich noch nicht mal [L:Q] ausrechnen kann.
Daher würde ich mich darüber freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße toxin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 So 16.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo toxin!
> Die Aufgabe lautet:
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> Es sei L=Q(e^(2 pi i / 5)). Bestimme alle Untergruppen der
> Gal (L/Q) und die zugehörigen Fixkörper.
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> Leider komme ich auf keinen Zwischenkörper von Q(e^(2 pi i
> / 5)) wodurch ich noch nicht mal [L:Q] ausrechnen kann.
Also um $[L:Q]$ auszurechen, brauchst du nur das Minimalpolynom von [mm] $\alpha [/mm] := [mm] e^{2 \pi i / 5}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] auszurechnen. Ein Polynom, welches [mm] $\alpha$ [/mm] als Nullstelle hat, ist schonmal [mm] $x^5 [/mm] - 1 = [mm] (x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x + 1) (x - 1)$. Kann man das noch weiter faktorisieren (ueber [mm] $\IQ$)?
[/mm]
Dann ueberleg dir mal, wieviele Nullstellen das Minimalpolynom in $L$ hat. Dies liefert dir dann die Anzahl der Automorphismen und auch, wie die Automorphismen auf $L$ operieren: Daraus kannst du dann die Gruppenstruktur und somit die Untergruppen ablesen.
Wenn du dann noch Hilfe bei den Zwischenkoerpern brauchst, melde dich doch wieder.
LG Felix
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