Beste Gewinnstrategie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Fr 16.04.2010 | | Autor: | tobius |
| Aufgabe | | Welche Strategie ist aus mathematischer Sicht die beste, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeiten der einzelnen Strategien aufgrund einer zu geringen Anzahl an Ereignissen (N) mehr oder weniger aussagekräftig sind ? |
Hallo zusammen,
puuuh, ich hoffe ich habe jetzt alles richtig gemacht mit dem beitrag....
ich habe ein kleines Problem zur Stochastik und wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir dabei helfen könntet.
Zur Problematik:
Angenommen ich nehm an einem Spiel teil und kann dabei etwas gewinnen.
Nun gibt es z.B.: 10 verschiedene Strategien und ich möchte wissen welche davon die beste ist. Das Problem dabei ist:
Die einzelnen Strategien habe ich zwar selber schon gespielt, aber aufgrund der teilweise geringen Anzahl nur eine mehr oder weniger aussagekräftige Statistik.
Zur Verdeutlichung das Beispiel (Werte sind beispielhaft gewählt):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie kann ich dazu nun die beste Strategie für das nächste Spiel berechnen (vorerst ohne Berücksichtigung der letzten Spalte) ?
Ich weiß, dass je kleiner die Anzahl, destoweniger aussagekräftig die Annahme...trotzdem wird es doch bestimmt eine Formel geben, die dies miteinkalkuliert.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass man die einzelnen Strategien mathematisch exakt differenzieren kann.
Wie sieht es diesbezüglich mit dem Gewinn aus (letzte Spalte)
Nach welcher Strategie mach ich mathematisch gesehen im nächsten Spiel den meisten Gewinn?
Ich hoffe ich hab das jetzt einigermaßen rübergebracht.
Vielen lieben Dank schon mal vorab fürs lesen und anworten.
Gruß
Tobius
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
wie wär's wenn Du jeder Strategie die Zahl
[mm] $\phi(s_i):= \frac1{\psi(s_i)}\int_0^1 E_\theta(s_i)*{n_i\choose k_i}\theta^{k_i}(1-\theta)^{n_i-k_i}\ d\theta$
[/mm]
zuordnest. [mm] $s_i\in\{1,\ldots,10\}$ [/mm] ist die Strategie, [mm] $n_i$ [/mm] die mit der Strategie gespielten Spiele und [mm] $k_i$ [/mm] die gewonnenen.
Du willst ja die beste Strategie in dem Sinne, daß der zu erwartende Gewinn am größten ist. Würden wir die Gewinnwkeiten [mm] $\theta_i$ [/mm] der Strategien kennen, könnten wir ganz leicht entscheiden.
Da wir das aber nicht tun, integrieren wir nun für eine gegebene Strategie über alle möglichen Werte des Parameters (d.h. von 0 nach 1) den zu erwartenden Gewinn der Strategie gegeben [mm] $\theta$ [/mm] (d.h. [mm] $E_{\theta_i}(s_i)$, [/mm] bei Gewinn 1 für alle Strategien wäre das [mm] $E_{\theta_i}(s_i)=\theta_i$) [/mm] mal der Likelihood, daß der Parameter den Wert [mm] $\theta$ [/mm] annimmt.
Da die einzelnen Spiele Bernoulli-Versuche sind, ist [mm] $k_i$ Binomial$(n_i,\theta_i)$ [/mm] verteilt, also ist die Zähldichte der Binomialverteilung auch die Likelihood.
Das Problem ist jetzt allerdings noch, daß die Likelihood für steigende Versuchszahl abnimmt. D.h. man müßte obiges mit
[mm] $\psi(s_i)=\int_0^1 {n_i\choose k_i}\theta^{k_i}(1-\theta)^{n_i-k_i}\ d\theta$
[/mm]
normalisieren.
Und man könnte darüber nachdenken [mm] $E_\theta(s_i)^2$ [/mm] oder höhere Potenzen statt [mm] $E_\theta(s_i)$ [/mm] herzunehmen, um ungesichertere Strategien, die potentielle hohe Gewinnwkeiten haben, auch sicher auszutesten.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 So 18.04.2010 | | Autor: | tobius |
| Aufgabe | Wie kann ich die Formel interpretieren und wie geh ich an das Problem heran?
Kann diese Thematik anhand von einem kleinen Rechenbeispiel demonstriert werden (auch bzgl. des Likelihood-Methode)?
Danke vielmals |
Hallo Stefan,
vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Ich hab mir deine professionelle Antwort jetzt ein paar mal durchgelesen und versuche es nachzuvollziehen zu können. Leider komm ich bei deiner Antwort nicht ganz mit; kannst du mir daher bitte noch ein paar Hinweise geben?
Nochmal kurz zu meiner Problematik:
1.) Beste Strategie für höchste Gewinnwahrscheinlichkeit
2.) Beste Strategie für höchste Gewinnerwartung
Ich glaube deine Antwort hat sich auf 2.) bezogen. Kann ich dann 1.) mit der gleichen Formel berechnen oder sieht das dann anders aus?
Bezieht sich diese Formel auf 1.) oder 2.)?
[mm]\phi(s_i):= \frac1{\psi(s_i)}\int_0^1 E_\theta(s_i)*{n_i\choose k_i}\theta^{k_i}(1-\theta)^{n_i-k_i}\ d\theta[/mm]
Was ist hierbei: [mm] \psi [/mm]; [mm] E_\theta(s_i) [/mm]; [mm] \theta [/mm];
Oder ist die erste Formel die Basisformel und du beschreibst den Weg zur zweiten Formel? Wie heißt diese Formel, damit ich mich bißchen googeln und mich genauer erkundigen kann?
Kann ich die Formel auch anwenden, wenn ich den zu erwartenden Gewinn nicht weiß, da du ihn ja hier mit [mm]\theta[/mm] beschreibst?
> (d.h. [mm]E_{\theta_i}(s_i)[/mm], bei Gewinn 1 für alle Strategien wäre
> das
> [mm]E_{\theta_i}(s_i)=\theta_i[/mm]) mal der Likelihood, daß der
> Parameter den Wert [mm]\theta[/mm] annimmt.
sorry aber die KLammer hab ich nicht ganz verstanden:
Was meinst du mit Gewinn 1 wäre das [mm]E_{\theta_i}(s_i)=\theta_i[/mm]) mal der Likelihood, dass der Parameter den Wert [mm]\theta[/mm] annimmt. ?
Wenn du dann die erste Formel mit:
[mm]\psi(s_i)=\int_0^1 {n_i\choose k_i}\theta^{k_i}(1-\theta)^{n_i-k_i}\ d\theta[/mm]
normalisierst, heißt, dass dies meine relevante Formel ist?
> Und man könnte darüber nachdenken [mm]E_\theta(s_i)^2[/mm] oder
> höhere Potenzen statt [mm]E_\theta(s_i)[/mm] herzunehmen, um
> ungesichertere Strategien, die potentielle hohe
> Gewinnwkeiten haben, auch sicher auszutesten.
Puuh...guter Hinweis, aber wie kann ich das verstehen bzw. welche Potenz ist am besten?
Ich gehe mal davon aus, dass je höher die Potenz, desto genauer, oder?
Welchen Wert muss ich in die Basis einsetzen?
Ich weiß, sind ziemlich dumme Fragen dabei und ich komm mir auch blöd vor diezu stellen...Mein Problem ist, dass ich es meist erst verstehe, wenn konkrete Beispiele mit Zahlen gerechnet werden.
Wäre es vielleicht möglich, dass du anstatt der griechischen Zeichen gleich die Zahlen bspw. aus der 2. oder 3. Strategie einsetzt, dass ich es mir besser vorstellen kann, wie ich alle am besten durchrechne und dann auch vergleichen muss?
Wäre echt super wenn du eine Strategie so, wie du es machen würdest, kurz demonstrieren könntest?
Wäre auch super, wenn du die Sache mit der höheren Potenz noch beschreiben bzw. ein kleines Bsp. zeigen könntest:
[mm]E_\theta(s_i)^2[/mm] oder höhere Potenzen statt [mm]E_\theta(s_i)[/mm]
Falls es dir zu nervig ist, was ich gut verstehe bei den vielen Fragen ;) würd ich mich freuen wenn du mir nur ein paar Stichwörter und Fachbegriffe nennen könntest (wie. z.B.: Likelihood), so dass ich diesbezüglich nach Rechenbeispielen recherchieren kann und diese dann hoffentlich auf meinen Fall anwenden kann.
Vielen lieben Dank vorab
Gruß
Tobius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 So 18.04.2010 | | Autor: | Blech |
> Ich glaube deine Antwort hat sich auf 2.) bezogen. Kann ich
> dann 1.) mit der gleichen Formel berechnen oder sieht das
> dann anders aus?
Das hätte nur Einfluß auf den zu erwartenden Gewinn [mm] $E_{\theta}(s_i)$.
[/mm]
> Bezieht sich diese Formel auf 1.) oder 2.)?
> [mm]\phi(s_i):= \frac1{\psi(s_i)}\int_0^1 E_\theta(s_i)*{n_i\choose k_i}\theta^{k_i}(1-\theta)^{n_i-k_i}\ d\theta[/mm]
>
> Was ist hierbei: [mm]\psi [/mm]; [mm]E_\theta(s_i) [/mm]; [mm]\theta [/mm];
> Oder ist die erste Formel die Basisformel und du
> beschreibst den Weg zur zweiten Formel? Wie heißt diese
Welche zweite Formel? Ich schreib erst die Formel hin und beschreib dann das restliche post über, was ich mir dabei gedacht habe.
[mm] $\psi$ [/mm] ist die Normalisierung, [mm] $E_\theta(s_i)$ [/mm] der Gewinn, den wir vom Einsatz von [mm] $s_i$ [/mm] (da ist ein Fehler in der urspr. Antwort. Die [mm] $s_i$ [/mm] sind die Strategien, [mm] $i\in\{1,\ldots,10\}$) [/mm] erwarten, sofern die Gewinnwkeit der Strategie [mm] $s_i$ $\theta$ [/mm] ist. Wenn Du Dich für die Gewinnwkeit interessierst, dann [mm] $E_\theta(s_i)=\theta$. $\theta$ [/mm] ist einfach nur eine Variable, die ich für das Integral hergenommen hab. Du kannst auch x nehmen. =)
> Kann ich die Formel auch anwenden, wenn ich den zu
> erwartenden Gewinn nicht weiß, da du ihn ja hier mit
> [mm]\theta[/mm] beschreibst?
Lies Dir die Antwort nochmal durch. [mm] $\theta$ [/mm] ist nur die Integrationsvariable. Du integrierst über alle möglichen Werte der Gewinnwahrscheinlichkeit. Du gewichtest jeden möglichen Wert mit der Likelihood, daß Du bei dem gegebenen Wert von [mm] $\theta$, [/mm] die gegebene Anzahl von Gewinnen kriegen würdest.
> > (d.h. [mm]E_{\theta_i}(s_i)[/mm], bei Gewinn 1 für alle Strategien
> wäre
> > das
> > [mm]E_{\theta_i}(s_i)=\theta_i[/mm]) mal der Likelihood, daß der
> > Parameter den Wert [mm]\theta[/mm] annimmt.
> sorry aber die KLammer hab ich nicht ganz verstanden:
> Was meinst du mit Gewinn 1 wäre das
> [mm]E_{\theta_i}(s_i)=\theta_i[/mm])
An dieser Stelle endet die Klammer. Wenn [mm] $s_i$ [/mm] die Gewinnwkeit [mm] $\theta_i$ [/mm] hat, und wir in der Formel nur an der Gewinnwkeit interessiert sind, dann würden wir das ganze als Bernoulli-Experiment betrachten. Hat die Strategie Erfolg, so ist der Gewinn 1, schlägt sie fehl, dann ist er 0.
> Wenn du dann die erste Formel mit:
> [mm]\psi(s_i)=\int_0^1 {n_i\choose k_i}\theta^{k_i}(1-\theta)^{n_i-k_i}\ d\theta[/mm]
>
> normalisierst, heißt, dass dies meine relevante Formel
> ist?
Oben hast Du noch gefragt, was das [mm] $\psi(s_i)$ [/mm] ist... =)
Wir müssen normalisieren, weil die Likelihood, daß [mm] $\theta=0.5$ [/mm] viel geringer ist, wenn 500000 von 1000000 Spiele erfolgreich waren, als wenn 1 von 2 es war.
> Ich weiß, sind ziemlich dumme Fragen dabei und ich komm
> mir auch blöd vor diezu stellen...Mein Problem ist, dass
> ich es meist erst verstehe, wenn konkrete Beispiele mit
> Zahlen gerechnet werden.
Du hast ja noch nichtmal geschrieben, was Dein mathematischer background ist, oder wofür Du es brauchst. Wie soll ich da wissen, wie ich das beantworten soll?
Salopp gesprochen:
Die Formel von oben (jetzt mit 100% weniger griechischen Buchstaben. Ich hab nur das [mm] $\psi$ [/mm] eingesetzt und das [mm] $\theta$ [/mm] durch x ersetzt =)
$$ [mm] \frac{\int_0^1 x {n_i\choose k_i}x^{k_i}(1-x)^{n_i-k_i}\ dx}{\int_0^1 {n_i\choose k_i}x^{k_i}(1-x)^{n_i-k_i}\ dx} [/mm] $$
entspricht der Summe:
0.1*P(Gewinnwkeit ist 0.1 gegeben [mm] n_i [/mm] und [mm] k_i)+0.2*P(Gewinnwkeit [/mm] ist 0.2 gegeben [mm] n_i [/mm] und [mm] k_i)+...+1*P(Gewinnwkeit [/mm] ist 1 gegeben [mm] n_i [/mm] und [mm] k_i)
[/mm]
nur daß wir über alle möglichen Werte von [mm] $\theta$ [/mm] integrieren, anstatt nur in Zehntel-Schritten zu summieren.
ciao
Stefan
Das Prinzip ist ![[]](/images/popup.gif) Bayessche Statistik. Genauer gesagt der a posteriori Erwartungswert des Parameters mit der Gleichverteilung als prior.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 So 18.04.2010 | | Autor: | Blech |
blöder bot. ^^
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