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| Aufgabe | Folgendes Spiel:
Auf einem Tisch liegen 100 verschlossene Briefumschläge. In jedem Umschlag ist ein Geldbetrag (bzw. Scheck) in unbekannter Höhe. Man soll nun einen Umschlag ziehen, sich den Inhalt ansehen und dann entscheiden, ob man den Betrag haben will oder einen weiteren Umschlag ziehen will.
Man macht so lange weiter, bis man einen Umschlag akzeptiert.
Falls man bis zum hundertsten Umschlag gelangt, hat man keine andere Wahl, als diesen zu akzeptieren.
Frage:
Was wäre hier die beste Strategie, um einen möglichst hohen Betrag zu bekommen?
Hinweis:
Es ist nicht bekannt, wie die Beträge verteilt sind, was die Gesamtsumme ist, was der kleinste und größte Betrag ist etc. |
Also mal angenommen, der erste Umschlag enthält 50 Euro.
Theoretisch könnte das der kleinste Betrag sein, und alle anderen Umschläge enthalten Beträge, die weit über 1.000 Euro liegen. Dann wäre man angeschmiert, falls man die 50 Euro akzeptiert.
Die 50 Euro könnten aber auch der größte Betrag sein, und alle anderen Umschläge enthalten Beträge, die alle unter 10 Euro liegen. Dann wäre es natürlich klug gewesen, die 50 Euro zu nehmen.
Beides ist aber recht unwahrscheinlich, da die Wahrscheinlichkeit dafür jeweils 1 % ist, bereits beim ersten Ziehen den kleinsten bzw. größten Betrag gezogen zu haben.
Hat Jemand eine Idee, wie man strategisch klug vorgehen sollte?
(Ich habe mal für einem ähnliches Problem eine sehr "kreative" Lösung gelesen, aber ohne eine mathematische Begründung)
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 22:20 So 12.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich glaube mich zu erinnern, dass die beste Strategie folgendermaßen abläuft :
Man teilt 100 durch e. Soviele Umschläge öffnet man und merkt sich den größten Betrag. Danach wird der erste Betrag akzeptiert, der noch größer ist.
Leider habe ich den Beweis vergessen und heute Abend keine Zeit mehr, ihn zu rekonstruieren.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 So 12.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
Ja, so muss es sein.
Ich wusste nicht mehr, dass man 100 durch e teilen muss. Ich wusste nur noch, dass es 37% sind (das käme ja hin).
Auf diese Weise soll man sich seinen Ehepartner auswählen: Wenn man also vorhat, 100 potentielle Partner kennen zu lernen, dann soll man die ersten 37 ablehnen und sich nur merken, welcher einem am besten gefallen hat.
Und sobald man anschließend jemanden findet, der einem noch besser gefällt (als der Beste der ersten 37), dann soll man den nehmen, weil es unwahrscheinlich ist, dass anschließend ein noch besserer kommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 So 12.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich verstehe nicht genau, wieso das die Lösung sein soll.
Was versichert mir denn, dass nach dem 37ten mal etwas besseres kommt?
Dann müsste die Wahrscheinlichkeit, dass nichts besseres kommt, fast 0 sein?
Angenommen ich gehe alle 37 durch und habe mein "bestes" gefunden. Bennen wir es doch mit A.
Dann müsste die Wahrscheinlichkeit MINDESTENS ein A' zu finden derart, sodass A'>A gilt, sehr groß sein, oder?
Gruß
DieAcht
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> Hallo,
>
> Ich verstehe nicht genau, wieso das die Lösung sein soll.
>
> Was versichert mir denn, dass nach dem 37ten mal etwas
> besseres kommt? Oder ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> nichts besseres kommt fast 0?
>
> Gruß
> DieAcht
Hallo DieAcht,
es ist wichtig, die Voraussetzungen zu beachten. Man geht
bei dieser Aufgabe davon aus, dass 100 voneinander
verschiedene Zahlen in ganz zufälliger Anordnung vorliegen.
Zudem soll der Spieler, der die Wahl hat, absolut keinerlei
Ahnung von der Größenordnung der Beträge haben. Nur
unter dieser Voraussetzung eines "totalen Blindflugs" macht
die Aufgabe mathematisch gesehen Sinn. Man kann dann
aber zeigen, dass die vom wahrscheinlichkeitstheoretischen
Standpunkt gesehen beste Strategie ist, zuerst 100/e [mm] \approx [/mm] 37
Werte einfach zur Kenntnis zu nehmen und dann bei der
nächstbesten Gelegenheit, wenn eine Zahl eintrifft, die das
Maximum der ersten 37 Werte übertrifft, zuzugreifen.
Damit maximiert man die Wahrscheinlichkeit dafür, sich
die insgesamt größte Zahl unter den 100 zu sichern.
Es wird dabei keineswegs behauptet, dass die größte
Zahl nie unter den ersten 37 Zahlen liege. Es geht eben
nur um die beschriebene Extremwertaufgabe. Es ist auch
gar nicht schwer, sich Zahlenanordnungen auszudenken,
bei denen der, der dieser Strategie folgt, ganz kläglich
scheitern würde und am Schluss z.B. mit der allerkleinsten
verfügbaren Zahl vorlieb nehmen müsste.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 So 12.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Guten Abend Al,
Natürlich kann das schief gehen.
Man nehme einfach eine monoton fallende Nullfolge natürlicher Zahlen..
Ich habe noch etwas edtiert:
Angenommen ich gehe alle 37 durch und habe mein "bestes" gefunden. Bennen wir es doch mit A.
Dann müsste die Wahrscheinlichkeit MINDESTENS ein A' zu finden derart, sodass A'>A gilt, sehr groß sein, oder?
bzw. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich kein A' finde müsste fast 0 sein..
Stimmt das?
Gruß
DieAcht
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> Guten Abend Al,
>
> Natürlich kann das schief gehen.
> Man nehme einfach eine monoton fallende Nullfolge
> natürlicher Zahlen..
>
> Ich habe noch etwas edtiert:
>
> Angenommen ich gehe alle 37 durch und habe mein "bestes"
> gefunden. Bennen wir es doch mit A.
> Dann müsste die Wahrscheinlichkeit MINDESTENS ein A' zu
> finden derart, sodass A'>A gilt, sehr groß sein, oder?
Woraus willst du schließen, dass diese W'keit sehr
groß sein soll ? Dazu besteht kein Grund.
> bzw. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich kein A' finde müsste
> fast 0 sein.. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Stimmt das?
Nein.
Ich habe jetzt eine Webseite zu diesem Problem
gefunden: ![[]](/images/popup.gif) Sekretärinnenproblem
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Mo 13.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Angenommen ich gehe alle 37 durch und habe mein "bestes"
> gefunden. Bennen wir es doch mit A.
> Dann müsste die Wahrscheinlichkeit MINDESTENS ein A' zu
> finden , dass A'>A gilt, sehr groß sein, oder?
>
> bzw. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich kein A' finde müsste
> fast 0 sein..
>
> Stimmt das?
Nein. Die Wahrscheinlichkeit, kein A' zu finden, ist 37%. Das ist zwar nicht "fast Null", aber immerhin kleiner als Fifty-Fifty.
Aber darum geht es ja auch gar nicht, sondern um die bestmögliche Strategie. Und die liegt - wie Mathematiker rausgefunden haben (die sind echt schlau) - darin, so zu verfahren, wie in der Lösung angegeben.
Wenn es um Wahrscheinlichkeiten und Strategien geht, wird man selten mit hundertprozentiger Sicherheit einen Erfolg erzielen. Das wäre ja auch zu schön. Dann würden wir ja alle ohne Arbeit reich werden - nur mit todsicheren Systemen, sei es an der Börse, im Spiel oder sonstwo.
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> Ja, so muss es sein.
>
> Ich wusste nicht mehr, dass man 100 durch e teilen muss.
> Ich wusste nur noch, dass es 37% sind (das käme ja hin).
>
> Auf diese Weise soll man sich seinen Ehepartner auswählen:
> Wenn man also vorhat, 100 potentielle Partner kennen zu
> lernen, dann soll man die ersten 37 ablehnen und sich nur
> merken, welcher einem am besten gefallen hat.
>
> Und sobald man anschließend jemanden findet, der einem
> noch besser gefällt (als der Beste der ersten 37), dann
> soll man den nehmen, weil es unwahrscheinlich ist, dass
> anschließend ein noch besserer kommt.
Hallo rabilein1,
ich erinnere mich auch an die Lösung, wie Sax sie ange-
geben hat. Die Begründung dazu ist allerdings nicht so
ganz simpel. Zudem ist diese Lösung nur brauchbar, wenn
wirklich klar bewertbare und vergleichbare (aber noch
nicht bekannte) Fälle vorliegen und wenn im Voraus
bekannt ist, wie viele Einzelfälle maximal getestet
werden können. Ich habe so meine Zweifel, ob diese
Voraussetzungen z.B. bei der Partnerwahl erfüllt sind.
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Mo 13.01.2014 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich habe so meine Zweifel, ob diese Voraussetzungen z.B. bei der Partnerwahl erfüllt sind.
Genau von der Partnerwahl her kannte ich das Problem. Ich hatte es dann nur etwas anders (mit den Geld-Briefumschlägen) umformuliert, und daraus diese Mathe-Aufgabe gemacht.
Klar muss man sich vorher vornehmen, bis wann man den Partner gefunden haben will. Aber aus der Tatsache, dass die Lebenszeit nicht unbegrenzt ist, ergibt sich schon eine Obergrenze.
Daraus würde dann folgen: Würde der Mensch ewig leben, dann würde er niemals einen Partner finden, weil dann die Hundertprozent im Unendlichen liegen, und demzufolge auch die 37% niemals erreicht werden.
Man hätte also ewig die Hoffnung, noch Jemand besseren zu finden, und käme dadurch nie zum Ziel.
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> ......... Würde der Mensch ewig leben,
> dann würde er niemals einen Partner finden, weil dann die
> Hundertprozent im Unendlichen liegen, und demzufolge auch
> die 37% niemals erreicht werden.
>
> Man hätte also ewig die Hoffnung, noch Jemand besseren zu
> finden, und käme dadurch nie zum Ziel.
Naja, sind die entsprechenden "Probleme" nicht schon
längst gelöst, wenigstens seit der Zeit, als es nicht
mehr ein absolutes Tabu mehr war, nacheinander (oder
auch sogar gleichzeitig) mehr als nur einen einzigen
Partner zu haben ?
Wer sich für die Ewigkeit wappnen möchte, sollte da
schon ein bisschen großzügig sein ... 
Gruß ,
Al
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