Bestimme eine Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien <(1, 0, 1, 2, 1), (1, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1, 1)>=: U1,
<(1, 1, 1, 1, 2), (0, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 0)>=: U2.
Man bestimme eine Basis von U1 [mm] \cap [/mm] U2. |
hallo, ich brauche dringend hilfe bei dieser aufgabe.
also ich weiß das ich eine basis erstellen und prüfen muss, ob sich die basisvektoren als lk der anderen darstellen lässt.
ich hab probiert das zu machen aber ich bekomme nicht mal einen ansatz hin, geschweige denn den weiteren rechenweg.
ich hoffe mir kann jemand helfen, wäre echt super
|
|
| |
|
Hallo mathe-trottel,
was bedeutet denn die Vereinigung der beiden Unterrraüme? Nichts anderes als das ein Vektor x in [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] sowohl in [mm] U_{1} [/mm] als auch in [mm] U_{2} [/mm] liegt., d.h. x ist sowohl durch die Basis von [mm] U_{1} [/mm] als auch durch die Basis von [mm] U_{2} [/mm] darstellbar.
Jetzt lass uns x doch mal darstellen:
mit der Basis von [mm] U_{1}
[/mm]
x = a* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1} [/mm] + b * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + c* vektor{0 [mm] \\ [/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 1 [mm] \\ [/mm] 1} für beliebige a,b,c.
Jetzt mach das gleiche mal mit der Basis von [mm] U_{2} [/mm] und beliebige a',b' und c'.
Dann setze das gleich (also x aus Basis [mm] U_{1} [/mm] = x aus Basis [mm] U_{2}) [/mm] und schaue mal was die entsprechende Gleichung impliziert.
Ich galube das kannst du.
Grüße Steffen
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | also ich würde dann für u2 folgendes machen:
x= a´ * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + b´* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + c´* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] für beliebige a´,b´,c´ |
ist das so richtig?
und wie meinst du das mit dem gleichsetzen?das verstehe ich nicht.ich hoffe du hilfst mir da weiter
|
|
|
| |
|
Vielleicht verstehst du es ja an einem verständlchen Beispiel
Wenn du im [mm] $\IR^3$ [/mm] zwei Ebenen in Parameterform [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] hast, wie berechnest du dann [mm] $E_1 \cap E_2$? [/mm] (Das wäre ja der Schnitt der beiden Ebenen, meistens als ne Grade) Du setzt die beiden Gleichungen gleich, hast dann ein Gleichungssystem aus drei Zeilen und 4 Unbekannten, und kannst dann Ergebnisse für drei Unbekannte angeben, die aber wohl immer von der vierten abhängig sein werden.
Dann nimmst du eine der Ebenen, ersetzt die ausgerechneten Parameter, vereinfachst ein wenig, und bekommst eine Gradengleichung raus!
Zwar sind Ebenen allgemein keine Vektorräume, wenn sie nicht duch den Ursprung gehen, aber das Prinzip ist das gleiche.
Und jetzt hast du den [mm] $\IR^4$ [/mm] und je drei "Richtungsvektoren" für zwei dreidimensionale Unterräume.
Durch die Gleichungen oben hast du quasi die Parameterform für diese 3D-'Ebenen', die du gleichsetzt. Dann kannst du maximal 4 Unbekannte ausrechnen (und durch die letzten beiden ausdrücken).
Die Ergebnisse setzt du in eine der "Parameterformen" ein, vereinfachst etwas, und wirst wohl eine Ebene als Ergebnis bekommen.
Ich denke, jetzt solltest du das schaffen. Wenn nicht, rechne zur Vorübung mal den Schnitt von zwei normalen Ebenen im dreidimensionalen aus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:54 Do 01.06.2006 | | Autor: | hiltrud |
hey die aufgabe muss ich auch rechnen, aber den lösungsweg wie er her vorgeschlagen wird verstehe ich nicht. kann uns da nicht jemand helfen oder kannst du es jetzt?musst du das morgen auch vorstellen in deiner gruppe?
ich hoffe uns kann heir jemand helfen
|
|
|
| |
|
Dann erzähl doch mal, wo dein Verständnisproblem liegt.
Und mach zum Verständnis das, was ich schrieb. Die Lösung will ich hier nicht posten, weil mir das doch recht viel Tipperei hier wird
Nimm dir zwei Ebenen im dreidimensionalen, z.B.
[mm] $E_1: \vec x=\vektor{0\\0 \\0}+s\vektor{1\\1 \\0}+t\vektor{1\\-1 \\0}$
[/mm]
[mm] $E_2: \vec x=\vektor{0\\0 \\0}+u\vektor{1\\ 0 \\1}+v\vektor{1\\0 \\-1}$
[/mm]
Die erste liegt in der xy-Ebene, die letzte in der xz-Ebene. Offensichtlich schneiden sich die beiden Ebene auf der x-Achse.
Wenn du wissen willst, welche Punkte in beiden Ebenen vorhanden sind, setzt du beide Ebenen gleich, und erhälst dadurch ein Gleichungssystem:
s+t=u+v
s-t=0
0 =u-v
Dieses Gleichungssystem liefert z.B. die Lösungen
s=v
t=v
u=v
das kannst du z.B. in die erste Gleichung einsetzen und
[mm] $E_1: \vec x=v\vektor{1\\1 \\0}+v\vektor{1\\-1 \\0}$=v\vektor{1\\0 \\0}
[/mm]
also das, was ich sagte - die Lösung ist die x-Achse.
Und genau das machst du nun auch mit den beiden Basen. Die Basen sind sowas wie die Richtungsvektoren bei den Ebenen, nur daß sie halt 3D-Räume im 4D-Raum beschreiben (kann man sich nicht vorstellen, deshalb mein Beispiel, bei der AUfgabe muß man einfach durchrechnen).
Die beiden Formeln in den ersten Beiträgen sind schion die Parameterdarstellungen, ganz so wie hier [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$. [/mm] Die Rechnung folgt dann analog.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Do 01.06.2006 | | Autor: | hiltrud |
danke für dieses beispiel, aber wenn ich für mich spreche kann ich das nicht anwenden.ich weiß ja nicht ob der/diejenige das kann, die die aufgabe gepostet hat, aber ich kann das alles nicht anwenden. kannst du mir die aufgabe bitte ausnahmsweise mal posten?ich wäre dir für mein leben dankbar,ich muss das auch noch vorstellen, ich tu auch alles für dich, bitte bitte
|
|
|
| |
|
Also bitte, ein lineares Gleichungssystem sollte doch für nen Studenten, der Mathe macht, lösbar sein, oder?
Na gut, aber bitte nicht komplett, OK?
Erstmal habe ich grade gemerkt, daß da ja fünfdimensional ist, nicht vierdimensional. Vielleicht lags daran? Sorry!
Also, die beiden Unterräume sind in Parameterform:
[mm] $a\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 1}+b\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+c\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}$
[/mm]
und
$d [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2}+e \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+f \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}+g \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
Klar?
Ausgeschrieben bekommst du ein GL-System:
I a+ b = d +f
II b+ c = d +e
III a+ b = d +e +f +g
VI 2a+ b+ c = d +e +g
V a+ b+ c = 2d +e +g
===============================
VI-V a = -d
einsetzen in II liefert b=2d+f
das einsetzen III liefert c= -d-f+e
damit hast du a,b,c ausgerechnet, aber es geht noch weiter:
I-III: 0=-e-g -> e=g
Einsetzen von a,b,c in V liefert:
V: e=2d+e-g=2d -> e=g=2d
Wenn man das beachtet, gilt
a = -d
b = 2d+f
c = -d-f+2d=d-f
Beachte: Wir haben 5 Gleichungen, aber 7 Variable. Somit ist das Ergebnis von zwei Variablen abhängig!
Das setzt du jetzt in die erste Formel in diesem Beitrag ein, und sortierst dann, bis du sowas hast: d* Vektor + e* Vektor
Und DAS ist dann dein Unterraum, eine Ebene!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Do 01.06.2006 | | Autor: | hiltrud |
danke für die antwort. ist die nun richtig?
und wenn du mich für doof erklärst, aber in welche formel einsetzen?
|
|
|
| |
|
Die Antwort wurde schon für falsch markiert, ich habe da eben auch irgendwo nen Rechenfehler gefunden, ich meine, es gilt e=-f statt e=f. Habe allerdings grade keine Zeit für genaueres nachrechnen, auch heute morgen hab ich das nur schnell in die Tasten gehauen.
Das prinzip ist aber korrekt, zumal ich nicht denke, an dieser Stelle erklären zu müssen, wie lineare Gleichungssysteme gelöst werden (nicht böse gemeint)
Du sollst die Ergebnisse a,b,c einfach in die erste Gleichung in meinem Posting eintragen, und dann vereinfachen.
Du bekommst dann wieder so eine Parameterdarstellung, und die Vektoren, die dann da stehen, sind Basisvektoren von dem gesuchten Schnitt der beiden Räume.
Schau mal: Du erreichst JEDEN beliebigen Punkt in dem ersten Unterraum, indem du entsprechende Werte für a,b,c angibst.
Die Rechnung besagt nun, wie du a,b,c zu wählen hast, damit das Ergebnis auch im zweiten Unterraum liegt, also im Schnitt der beiden Unterräume.
Hast du mein Beispiel mit den Ebenen im 3D-Raum verstanden??? Evtl selbst ein Beispiel gerechnet?
Wenn du das nicht verstehst, solltest du nicht versuchen, über drei- und vierdimensionale Unterräume im fünfdimensionalen Raum nachzudenken, das wird mangels Vorstellungskraft schief gehen.
|
|
|
|
