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| Aufgabe | DIe Funktion f: [mm] \IR^{2} \rightarrow \IR [/mm] ist durch f(x,y) = 6xy [mm] -x^{3} [/mm] - [mm] y^{3}
[/mm]
gegeben.
A) Bestimmen Sie alle statonären Punkte von f! Welche davon sind lokale Minima, welche lokale Maxima und welche Sattelpunkte?
B) Berechnen Sie die Richtung des steilsten Anstieges von f im Punkt (1,1)!
c) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (1,1)? |
Ich habe hier erstmal die Funktion nach x bzw. nach y abgeleitet:
f'(x) = [mm] 6y-3x^{2}
[/mm]
f'(y) = [mm] 6x-3y^{2}
[/mm]
Ich habe jetzt beide Funktionen 0 gesetzt und untere nach y aufgelöst
[mm] y=\wurzel\bruch{6x}{3} [/mm]
Die habe ich nun in die erste Gleichung eingesetzt:
f'(x) = [mm] 6*\wurzel\bruch{6x}{3}-3x^{2}
[/mm]
Mein Taschenrechner sagt mir, dass es 2 Nullpunkte gibt.
NP1: 0
NP2: 2
Stimmt das bis hier hin?
Wie verfahre ich weiter?
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Hallo Mareike,
> DIe Funktion f: [mm]\IR^{2} \rightarrow \IR[/mm] ist durch f(x,y) =
> 6xy [mm]-x^{3}[/mm] - [mm]y^{3}[/mm]
> gegeben.
> A) Bestimmen Sie alle statonären Punkte von f! Welche
> davon sind lokale Minima, welche lokale Maxima und welche
> Sattelpunkte?
> B) Berechnen Sie die Richtung des steilsten Anstieges von
> f im Punkt (1,1)!
> c) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Punkt
> (1,1)?
>
>
> Ich habe hier erstmal die Funktion nach x bzw. nach y
> abgeleitet:
>
> f'(x) = [mm]6y-3x^{2}[/mm]
> f'(y) = [mm]6x-3y^{2}[/mm]
Autsch, das kannst du doch so nicht schreiben. Die partiellen Ableitungen sind doch wie f Funktionen in 2 Variablen!!
Schreibe [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6y-3x^2[/mm] für die partielle Ableitung nach [mm]x[/mm]
Oder [mm]f_x(x,y)=6y-3x^2[/mm]
Analog für die partielle Ableitung nach [mm]y[/mm]
>
> Ich habe jetzt beide Funktionen 0 gesetzt und untere nach y
> aufgelöst
>
> [mm]y=\wurzel\bruch{6x}{3}[/mm]
>
> Die habe ich nun in die erste Gleichung eingesetzt:
>
> f'(x) = [mm]6*\wurzel\bruch{6x}{3}-3x^{2}[/mm]
>
> Mein Taschenrechner sagt mir, dass es 2 Nullpunkte gibt.
>
> NP1: 0
> NP2: 2
>
> Stimmt das bis hier hin?
Das sin mögliche Werte für [mm]x[/mm].
Du brauchst Lösungstupel [mm](x,y)[/mm] für die stat. Punkte.
Berechne die zugeh. y-Werte
> Wie verfahre ich weiter?
Stelle die Hessematrix von f auf und werte sie in den errechneten statinonären Punkten aus.
Dann bestimme die Definitheit der Hessematrix in diesen stat. Punkten.
Gruß
schachuzipus
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Dass man das so aufschreibt, weiß ich eigentlich, war wohl schon halb am schlafen.
Die möglichen Werte für y sind doch die selben?
Was genau sind Lösungstupel?
Wie die Hesse Matrix erstellt wird, wird mir nicht ganz ersichtlich. So wie ich das sehe, wird die nach x abgeleitete Funktion nochmal nach y abgeleitet, aber das will bei den Werten die ich habe auch nicht so richtig Sinn machen. Könntest du mir da helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mo 25.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] f_x=0 \gdw [/mm]
(1) [mm] 2y=x^2
[/mm]
und es ist [mm] f_y=0 \gdw
[/mm]
(2) [mm] 2x=y^2
[/mm]
Aus (1) und (2) sehen wir schon mal: x,y [mm] \ge [/mm] 0.
Weiter folgt mit (1) und (2):
$2y= [mm] x^2=(\bruch{y^2}{2})^2= \bruch{y^4}{4},$
[/mm]
also ist y=0 oder y=2.
Ist y=0 , so ist x= 0. Ist y=2 , so ist x=2
Somit hat f die stationären Punkte (0,0) und (2,2)
Die Hessematrix in einem Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] sieht so aus:
[mm] \pmat{ f_{xx}(x_0,y_0) & f_{xy}(x_0,y_0) \\ f_{xy}(x_0,y_0) & f_{yy}(x_0,y_0)}
[/mm]
FRED
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mmm...
Ich sehe dass doch richtig, dass du die eine in die andere Funktion einsetzt und dann die gemeinsamen Nullstellen berechnest, nicht war?
wenn ich also die Nullstelle 4 finde, heißt dass dann, dass f den stationären Punkt (4,4) hat?
Die Form der Hesse Matrix kenne ich, aber wie wird da genau abgeleitet. Das kann gerne auch an einer anderen Funktion vorgeführt werden, dann werde ich das analog an meiner Funktion üben und aufzeigen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mo 25.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> mmm...
>
> Ich sehe dass doch richtig, dass du die eine in die andere
> Funktion einsetzt und dann die gemeinsamen Nullstellen
> berechnest, nicht war?
Ich habe die Punkte (x,y) ermittelt, für die gilt: [mm] f_x(x,y) [/mm] =0= [mm] f_y(x,y)
[/mm]
>
> wenn ich also die Nullstelle 4 finde, heißt dass dann,
> dass f den stationären Punkt (4,4) hat?
Quatsch ! Wie kommst Du auf sowas ?
>
> Die Form der Hesse Matrix kenne ich, aber wie wird da genau
> abgeleitet. Das kann gerne auch an einer anderen Funktion
> vorgeführt werden, dann werde ich das analog an meiner
> Funktion üben und aufzeigen.
Nehmen wir $f(x,y)= 2x^2y+4y^3x$
[mm] f_x= 4xy+4y^3
[/mm]
[mm] f_{xx}=4y
[/mm]
[mm] f_{xy}=4x+12y^2
[/mm]
[mm] f_y= 2x^2+12y^2x
[/mm]
[mm] f_{yy}= [/mm] 24xy
FRED
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Ok, das mit der Hessematrix ist so, wie ich mir das gedacht habe. Ich muss das nochmal mit ein paar Aufgaben überprüfen, weil mich da ein Ergebnis in Bezug auf das Ableiten mit x y z stutzig gemacht hat.
Das mit den Punkten versteh ich noch nicht, weil man doch im Grunde die eine Ableitung in die andere einfügt und die Nullstellen berechnet. So ist man doch auf 0 und 2 gekommen? Das sind doch quasi 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Ich verstehe nicht, wie du auf die zweite Koordinate jeden Punktes kommst?
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Halo,
> wie zweite Koordinate
es gilt für die stationären Punkte [mm] $f_{x}=0$ [/mm] und [mm] $f_{y}=0$ [/mm] . Wenn du ein x hast dann muss das y so gewählt werden, dass das erfüllt wird.
Gruss
kushkush
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Zum klarstellen:
Ich leite, wenn ich so eine Funktion habe, erstmal die Funktion jeweils nach x und y ab. Dann habe ich zwei Gleichungen, die ich jeweils null setzte.
Versuch ich jetzt irgendwelche x Werte und y Werte zu finden, die die Formel 0 werden lassen, oder löse ich die eine der beiden Gleichungen nach z.B. x auf und füge sie in die andere Gleichung ein und versuche ein y zu finden ( in der Gleichung, die jetzt nur noch y Werte enhält) oder wie?
Da muss es doch ganz einfach zu beschreibende Reihenfolgen geben, die immer nach dem gleichen Prinzip aufgebaut sind?
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Hallo Mareike85,
> Zum klarstellen:
>
> Ich leite, wenn ich so eine Funktion habe, erstmal die
> Funktion jeweils nach x und y ab. Dann habe ich zwei
> Gleichungen, die ich jeweils null setzte.
Ja.
>
> Versuch ich jetzt irgendwelche x Werte und y Werte zu
> finden, die die Formel 0 werden lassen, oder löse ich die
> eine der beiden Gleichungen nach z.B. x auf und füge sie
> in die andere Gleichung ein und versuche ein y zu finden (
> in der Gleichung, die jetzt nur noch y Werte enhält) oder
> wie?
>
Jetzt wird letzteres gemmacht.
> Da muss es doch ganz einfach zu beschreibende Reihenfolgen
> geben, die immer nach dem gleichen Prinzip aufgebaut sind?
Das Prinzip nennt sich ![[]](/images/popup.gif) Einsetzungsverfahren.
Gruss
MathePower
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ok, soweit hab ich das verstanden.
Das bringt mir bei zwei Unbekannten und zwei Gleichungen 2 Werte. Egal in welche der zwei abgeleiteten Gleichungen ich nun x und y einsetze, ist die Gleichung doch dann 0? Ich versteh den simplen Schritt zu den 2 Koordinaten nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mo 25.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo mareike,was du beschreibst ist soweit richtig, aber es sind ja i. A. keine linearen Gl. für y oder x, die gl für y hatte bei dir doch 2 Lösungen , je nach gleichung können es auch mehr als 2 sein. Und wenn du y hast musst du aus einer der gl. noch das zugehörige x ausrechnen! Bei dir sind zufällig die x und y Werte gleich, aber das ist bei dieser speziellen fkt so, bei der die dir felix vordifferenziert hat wär das nicht so.
gruss leduart
Gruss leduart
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Ich habe doch bei seinen Formel folgende Ableitungen:
0= [mm] 4xy+4y^{3} [/mm] und 0= [mm] 2x^{2}+12y^{2}x
[/mm]
Ich löse nun erstere nach x auf:
[mm] -4xy=4y^{3}
[/mm]
[mm] -4x=\bruch{4y^{3}}{y}
[/mm]
[mm] x=-y^{2}
[/mm]
Diese setzt ich jetzt in die zweite ein:
0= [mm] 2(-y^{2})^{2}-12y^{2}y^{2}
[/mm]
Mein Taschenrechner sagt, dass die Nullstelle bei 0 liegt.
Die zweite Gleichung nach y auflöst ergibt:
[mm] \wurzel{\bruch{-2x^{2}}{x*12}}=y
[/mm]
[mm] \wurzel{-\bruch{x}{6}}=y
[/mm]
In erste Gleichung eingesetzt ergibt:
0= [mm] 4x(\wurzel{-\bruch{x}{6}})+4(\wurzel{-\bruch{x}{6}})^{3}
[/mm]
mmm. grade hat ich noch keinen negativen Ausdruck unter der Wurzel
da habe ich jetzt bestimmt ein Fehler gemacht, aber gerade hat die auch nur eine 0 ergeben.
Muss man prinzipiell so vorgehen?
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Hallo,
> muss man das
nein
> prinzipiell richtig
ja
du hast hier für den kritischen Punkt y=0 bekommen durch einsetzen von [mm] $f_{x}$ [/mm] in [mm] $f_{y}=0$, [/mm] das jetzt in [mm] $f_{x}=0$ [/mm] und [mm] $f_{y}=0$ [/mm] eingesetzt und du erhältst: [mm] $f_{x}(x,0)= [/mm] 0$ und [mm] $f_{y}(x,0)= 2x^{2}=0$
[/mm]
damit ist dein kritischer punkt (0,0) .
Jetzt H-Matrix anwenden.
Gruss
kushkush
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ah, ok. Also habe ich zwei Punkte (0,0) und (0,0).
Wenn ich das in in die Hesse Matrix einsetze, wie berechne ich die in der Aufgabenstellung geforderten Punkte?
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Halo,
> zwei Punkte
was meinst du damit? (0,0) und (0,0) sind doch derselbe punkt?
> Aufgabenstellung geforderten Punkte
du hast die Punkte bzw. den Punkt bereits gerechnet für freds aufgabe, du musst sie noch in die H-Matrix einsetzen und damit dann überprüfen um was für kritische Punkte es sich handelt!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Di 26.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe doch bei seinen Formel folgende Ableitungen:
>
> 0= [mm]4xy+4y^{3}[/mm] und 0= [mm]2x^{2}+12y^{2}x[/mm]
>
> Ich löse nun erstere nach x auf:
>
> [mm]-4xy=4y^{3}[/mm]
> [mm]-4x=\bruch{4y^{3}}{y}[/mm]
> [mm]x=-y^{2}[/mm]
>
> Diese setzt ich jetzt in die zweite ein:
>
> 0= [mm]2(-y^{2})^{2}-12y^{2}y^{2}[/mm]
>
> Mein Taschenrechner sagt, dass die Nullstelle bei 0 liegt.
Kann das sein: Du benötigst einen Taschenrechner , um die Gleichung [mm] $-10y^4=0$ [/mm] nach y aufzulösen ?
Ja es folgt: y=0.
>
> Die zweite Gleichung nach y auflöst ergibt:
>
> [mm]\wurzel{\bruch{-2x^{2}}{x*12}}=y[/mm]
> [mm]\wurzel{-\bruch{x}{6}}=y[/mm]
>
> In erste Gleichung eingesetzt ergibt:
>
> 0=
> [mm]4x(\wurzel{-\bruch{x}{6}})+4(\wurzel{-\bruch{x}{6}})^{3}[/mm]
>
> mmm. grade hat ich noch keinen negativen Ausdruck unter der
> Wurzel
> da habe ich jetzt bestimmt ein Fehler gemacht, aber gerade
> hat die auch nur eine 0 ergeben.
mein Gott, was treibst Du da ? Wir wissen: y=0. Weiter wissen wir: [mm]x=-y^{2}[/mm]. Somit ist auch x=0. Fertig !
FRED
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> Muss man prinzipiell so vorgehen?
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